习题解答(第1章)

1

第1章 习题答案

三、解答题

1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.

2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤， 又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以

(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==0.6.

(2) 1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )． 解：因为)()(B A P AB P =，

即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ， 所以 .1)(1)(p A P B P -=-=

4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．

解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)(=-=AB P AB P .

5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

解：显然总取法有4

10C n =种，以下求至少有两只配成一双的取法k ： 法一：分两种情况考虑：15C k =24C 2

12)(C +25C 其中：2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数 法二：分两种情况考虑：!

21

61815

C C C k ??=+2

5C

其中：!

2161815

C C C ??为恰有1双配对的方法数, 2

5C 恰有2双配对的方法数

法三：分两种情况考虑：)(1

42815C C C k -=+25C 其中：)(142815C C C -为恰有1双配对的方法数

法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815C C k =-2

5C

2 法五：考虑对立事件：410C k =-4

5C 412)(C 其中：45C 412)(C 为没有一双配对的方法数 法六：考虑对立事件：!

41

4

1618110410

C C C C C k ???-=

其中：!414

1618110C C C C ???为没有一双配对的方法数

所求概率为.21

13

410==C k p

6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．

解：(1) 法一：12131025==C C p ，法二：121

3

10

2513==A A C p (2) 法二：20

131024==C C p ，法二：201

3

102413==A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则

834

)(33

41==A M P , 1694)(324232=?=A C M P , 161

4)(3143

==C M P 8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？

解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则

3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2

512131==C C C M P ,1.0)(25

2

2

1==C C M P

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．

解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则

φ==2121M M M M M 且.

所以.28

13

C C C C )()()()(282

328252121=+=+==M P M P M M P M P

10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间Ω = {(x ，y )：0 ≤ x ，y ≤ 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ∈ Ω ： x + y ≤ 6/5} 因此

25

17154211)(2

=

?

?

? ???-=Ω=的面积的面积A A P ． 图？

3

11．随机地向半圆220x ax y -<

<（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面

积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于

4

π

的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，θ表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 Ω={(x ，y )：220,20x ax y a x -<<<<}

事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4

π

” ={(x ，y )：4

0,20,202π

θ<

<-<<<

因此

2112

14121)(222+=+=Ω=πππa a

a A A P 的面积的面积．

12．已知2

1

)(,31)(,41)(===

B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,1213141)()()(=?=

=A B P A P AB P ,6

1

21121)|()()(=÷==B A P AB P B P .3

1

1216141)()()()(=-+=

-+=AB P B P A P B A P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；

321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ，15

2

)(2102

4==C C B P ，

5

132/152)()()()()|(====

A P

B P A P AB P A B P 14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？

解：设A =“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则

52

)(,5

3)(151

2===A P C C A P ，由全概率公式得

,45

23

5253)|()()|()()(191

41915=?+?=+=C C C C A B P A P A B P A P B P

4 由贝叶斯公式得

.23

15

4523/53)()|()()|(191

5=?==C C B P A B P A P B A P

15．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？

解：设M =“原发信息是A ”，N =“接收到的信息是A ”， 已知

,01.0)|(,02.0)|(==M N P M N P .3

2

)(=M P

所以

,99.0)|(,98.0)|(==M N P M N P ,3

1

)(=M P

由贝叶斯公式得

.197

196

)01.03198.032(98.032)|()()|()()|()()|(=?+?÷?=+=

M N P M P M N P M P M N P M P N M P

16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为4

1

,31,51，问三人中至少有一人能将此密

码译出的概率是多少？

解：设A i =“第i 个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知,41)(,31)(,51)(321===

A P A P A P 所以,4

3)(,32)(,54)(321===A P A P A P 至少有一人能将此密码译出的概率为

.5

3

4332541)()()(1)(1221321=??-=-=-A P A P A P A A A P

17．设事件A 与B 相互独立，已知P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.7，求)(A B P . 解：由于A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B ),且

P (A ∪B )=P (A )+ P (B ) - P (AB )= P (A )+ P (B ) - P (A )P (B )

将P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.7代入上式解得 P (B ) = 0.5， 由于A 与B 相互独立,所以A 与B 相互独立，所以

.5.05.01)(1)()(=-=-==B P B P A B P

18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？

解：设A =“甲命中目标”，B =“乙命中目标”，M =“目标被命中”， 已知P (A )=0.6, P (B )=0.5. 由于甲乙两人是独立射击目标.所以

.75.05.06.05.06.0)()()()()(=?-+=-+==AB P B P A P B A P M P

75.08

.06

.0)()()()()|(====

M P A P M P AM P M A P

5

19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？

(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？

解：设A i =“第1种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2,3； B i =“第2种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2.

（1）根据题意，P (A 1)=0.7，P (A 2)=0.8，P (A 3)=0.9，P (B 1)=0.7,P (B 2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为

P (A 1A 2A 3)= P (A 1)P (A 2)P (A 3)=,504.09.08.07.0=??

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=,56.08.07.0=?

可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P (B 1)=P (B 2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为

P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=.49.07.07.0=?

可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

（B ）

1．设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件ABC = ?，,2

1

)()()(<

==C P B P A P 且已知16

9

)(=

C B A P ，求P (A )． 解：因为ABC = ?，所以P (ABC ) =0,

因为A ，B ，C 两两相互独立，),()()(C P B P A P ==所以

2)]([3)()()()()()()()()(A P C P A P C P B P B P A P AC P BC P AB P =++=++

由加法公式)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 得

16

9

)]([3)(32=

-A P A P 即 0]1)(4][3)(4[=--A P A P 考虑到,21)(<

A P 得.4

1)(=A P 2．设事件A ，B ，C 的概率都是

2

1

，且)()(C B A P ABC P =，证明： 2

1

)()()()(2-++=BC P AC P AB P ABC P ．

证明：因为)()(C B A P ABC P =，所以

)]()()()()()()([1)(1)(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P ABC P +---++-=-= 将

2

1

)()()(=

==C P B P A P 代入上式得到

6 )]()()()(2

3

[1)(ABC P AC P BC P AB P ABC P +----=

整理得

.2

1

)()()()(2-++=AC P BC P AB P ABC P

3．设0 < P (A ) < 1，0 < P (B ) < 1，P (A |B ) +1)|(=B A P ，试证A 与B 独立． 证明：因为P (A |B ) +1)|(=B A P ，所以

,1)

(1)

(1)()()()()()(=--+=+B P B A P B P AB P B P B A P B P AB P 将)()()()(AB P B P A P B A P -+= 代入上式得

,1)

(1)

()()(1)()(=-+--+B P AB P B P A P B P AB P 两边同乘非零的P (B )[1-P (B )]并整理得到

),()()(B P A P AB P =

所以A 与B 独立.

4．设A ，B 是任意两事件，其中A 的概率不等于0和1，证明)|()|(A B P A B P =是事件A 与B 独立的充分必要条件．

证明：充分性，由于)|()|(A B P A B P =，所以

,)

()

()()(A P B A P A P AB P =即 ,)

(1)()()()(A P AB P B P A P AB P --= 两边同乘非零的P (A )[1-P (A )]并整理得到),()()(B P A P AB P =所以A 与B 独立. 必要性：由于A 与B 独立，即),()()(B P A P AB P =且,0)(,0)(≠≠A P A P 所以 一方面

),()

()

()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===

另一方面

),()

()()()()()()()()()|(B P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P A B P =-=-==

所以).|()|(A B P A B P =

5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为

2

p

. (1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．

解：设A i =“第i 次及格”，i=1，2.已知,2

)|(,)|(,)(12121p

A A P p A A P p A P === 由全概率公式得

7

2

)

1()|()()|()()(21211212p p p A A P A P A A P A P A P -+=+=

(1) 他取得该资格的概率为

.

2

32)1(),|()()()()()()()(22

2

12121212121p p p p p p p A A P A P A P A P A A P A P A P A A P -=--++=-+=-+=

(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为

.122

)1()()|()()()()|(2212122121+=-+?===

p p

p p p p p A P A A P A P A P A A P A A P

6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．

解：设A i =“一箱产品有i 件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”. 已知,3

1

)()()(210===A P A P A P ,1.0)|(,02.0)|(==M N P M N P 由全概率公式

,10

9)1081091(31)|()()|()()|()()(221100=++=++=A M P A P A M P A P A M P A P M P ,10

1

1091)(1)(=-

=-=M P M P 又,98.002.01)|(1)|(=-=-=M N P M N P 由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为

.892.01.010

1

98.0109)|()()|()()(=?+?=

+=M N P M P M N P M P N P 7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．

解：A =“一产品真含有杂质”，B i =“对一产品进行第i 次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.

已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B 1，B 2发生了，而B 3未发生. 又知,9.0)|(,8.0)|(==A B P A B P i i ,4.0)(=A P 所以

,1.0)|(,2.0)|(==A B P A B P i i ,6.0)(,4.0)(==A P A P

所求概率为,)

|()()|()()|()()()()|(321321321321321321A B B B P A P A B B B P A P A B B B P A P B B B P B B AB P B B B A P +==

由于三次检验是独立进行的，所以

8 .

905.09

.01.01.06.02.08.08.04.02

.08.08.04.0)

|()|()|()()|()|()|()()

|()|()|()()|(321321321321=???+??????=

+=A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P B B B A P

8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？

解：设A i =“第i 次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知,3.0)()(31==A P A P ,35.0)()(42==A P A P 所以

,7.0)()(31==A P A P ,65.0)()(42==A P A P

(1) 火炮被击毁的概率为

356475

.035.07.065.07.035.07.0)()()()()()()

()()(432121432121432121=???+?=+=+=A P A P A P A P A P A P A A A A P A A P A A A A A A P

坦克被击毁的概率为

4365

.03.065.07.03.0)()()()()

()()(321132113211=??+=+=+=A P A P A P A P A A A P A P A A A A P

(2) 都不被击毁的概率为

.207025.065.07.065.07.0)()()()()(43214321=???==A P A P A P A P A A A A P

9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是

2

1

，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率． 解：A i =“甲第i 局获胜”， B i =“乙第i 局获胜”，C i =“丙第i 局获胜”，i=1,2,….， 已知,...2,1,2

1

)()()(==

==i C P B P A P i i i ，由于各局比赛具有独立性，所以 在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为

,

71...212121...)(9

6

3

987654321654321321=+??

?

??+??? ??+??? ??= C C A B C A B C A C C A B C A C C A P 同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为,7

1

丙得冠军的概率为,7

2712=?甲、乙得冠军的概率均为.145)721(21=-