大学物理第一章习题解答
习题解答
（注：无选择题，书本已给出）
习题一
1-6 ｜r ?｜与r ? 有无不同?t
d d r 和t
d d r 有无不同? t
d d v 和
t
d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明．
解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即
r ?12r r -=，1
2r r r
-=?；
（2）t
d d r 是速度的模，即t
d d r
=
=v t
s d d .
t
r d d 只是速度在径向上的分量.
∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则t
?r ?t
r t
d d d d d d r r
r += 式中t
r d d 就是速度径向上的分量，
∴t
r t
d d d d 与r 不同如题1-1图所示.
题1-6图
(3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d
=，t
v d d 是加速度a 在切向上的分量.
∵有ττ
(v =v 表轨道节线方向单位矢），所以
t
v t v t v d d d d d d ττ
+= 式中
dt dv
就是加速度的切向分量. (t
t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
1-7 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
出r ＝2
2
y x +，然后根据v =t
r
d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度
的分量，再合成求得结果，即
v =2
2d d d d ???
??+??? ??t y t x 及a =2
22222d d d d ???
? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r
+=，
j
t
y i t x t r a j
t
y i t x t r v
22
2222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为
2
22
2
22
2
22
22
2d d d d d d d d ?
??
? ??+???? ??=+=?
?
? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
22d d d d t
r a t
r
v ==
其二，可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r
d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22d d t
r
也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
的一部分???
?
??????? ??-=2
22d d d d t r t r a θ径。
或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r
及速度v 的方向随间的变化率对速度、加速
度的贡献。
1-8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为
x =3t +5, y =
2
1t 2
+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s
时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
解：（1） j t t i t r
)432
1
()53(2
-+++=m
(2)将1=t ,2=t 代入上式即有
j i r
5.081-= m j j r
4112+=m j j r r r
5.4312+=-=?m
(3)∵ j i r j j r 1617,454
0+=-= ∴ 104s m 534
201204-?+=+=--=??=j i j i r r t r v (4) 1s m )3(3d d -?++==j t i t
r
v
则 j i v 734+= 1
s m -?
(5)∵ j i v j i v
73,3340+=+=
204s m 14
44-?==-=??=j v v t v a (6) 2s m 1d d -?==j t
v
a
这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。
▲ 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以
0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图▲
解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知
2
22s h l +=
将上式对时间t 求导，得
t
s
s t l l d d 2d d 2= 题▲图
根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，
∴ t
s
v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳
即 θ
cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-
=船 或 s
v s h s lv v 02/1220)(+==船
将船v 再对t 求导，即得船的加速度
3
2
0222
02
2
002)(d d d d d d s
v h s v s l s v s
lv s v v s t s
l t l s
t v a =+-=+-=-==船
船 1-9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62
x ，a 的单位为2
s m -?，x 的单位为 m. 质点在x ＝0处，速度为101
s m -?,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ x
v
v t x x v t v a d d d d d d d d ===
分离变量： x x adx d )62(d 2
+==υυ 两边积分得
c x x v ++=32
222
1 由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c
∴ 13s m 252-?++=x x v
1-10 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2
s m -?，开始运动时，x ＝5 m ，
v
=0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t
v
a 34d d +==
分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 12
2
34c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c
故 22
34t t v += 又因为 22
3
4d d t t t x v +==
分离变量， t t t x d )2
34(d 2
+=
积分得 232
2
12c t t x ++=
由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 52
123
2
++=t t x 所以s 10=t 时
m
7055102
1
102s m 190102
3
10432101210=+?+?=?=?+
?=-x v
1-11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 θ=2+33
t ，θ式中以弧度计，t 以秒计，求：(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
解： t t
t t 18d d ,9d d 2====
ωβθω (1)s 2=t 时， 2
s m 362181-?=??==βτR a
2222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n
(2)当加速度方向与半径成ο
45角时，有
145tan ==
?n
a a τ
即 βωR R =2
亦即 t t 18)9(2
2= 则解得 923=t 于是角位移为
rad 67.29
2
32323=?
+=+=t θ
1-12 质点沿半径为R 的圆周按s ＝2
02
1bt t v -
的规律运动，
式中s 为质点离圆周上某点的弧长,0v ，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于b ． 解：（1） bt v t
s
v -==
0d d R
bt v R v
a b t
v
a n 20
2
)(d d -==-==
τ 则 2
4
02
22
)(R
bt v b a a a n
-+=+=τ 加速度与半径的夹角为
2
0)(arctan
bt v Rb a a n --==τ? (2)由题意应有
2
4
02
)(R
bt v b b a -+== 即 0)(,)(4
02
402
2
=-?-+=bt v R
bt v b b ∴当b
v t 0
=
时，b a = ▲ 半径为R 的轮子，以匀速0v 沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B 的运动方程为x ＝R )sin (t t ωω-，y ＝R )cos 1(t ω-，式中0v =ω/R 是轮子滚动的角速度，当B 与水平线接触的瞬间开始计时．此时B 所在的位置为原点，轮子前进方向为x 轴正方向；(2)求B 点速度和加速度的分量表示式．
)
sin (sin 2
cos
2
sin 200t R t R R t v R t v x ωωθ
θ
θ
-=-=-=解：依题意作出下图，由图可知
题▲图 (1)
)
cos 1()cos 1(2
sin
2sin 2t R R R y ωθθ
θ-=-== (2)
???
???
?==-==)sin d d )cos 1(d d t R t y v t R t
x v y x ωωω ???
???
?====t v t R a t
v t R a y
y x x d d cos d d sin 22
ωωωω ▲ 以初速度0v ＝201
s m -?抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，
求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题▲图
(1)在最高点，
o 0160cos v v v x ==