历年导数压轴经典题目

历年导数压轴经典题目

证题中常用的不等式:

① ln 1(0)x x x ≤->②≤ln +1(1)x x x ≤>-（） ③

1x e x ≥+④ 1x

e

x -≥-

⑤ ln 1(1)12x x x x -<>+⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->

⑦ 1≥e^x （1-x ）

1.已知函数

321

()3

f x x ax bx =++,且'(1)0f -=

(1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间；

（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,

1()f x )，N(2x ,2()f x )，

P(,

()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，

并解释以下问题：

（I ）若对任意的m ∈(t, x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；

（II ）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m ,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值围（不必给出求解过程）

2.本小题满分14分）已知函数，，且

是函数

的极值点。

（Ⅰ）数的值； （Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，数

的取值围；

（Ⅲ）若直线是函数

的图象在点

处的切线，且直线与函数

的图象相切于点，，数的取值围。

1 x x

3.已知函数()()

()()201,10.x f x ax bx c e f f =++==且

（I ）若()f x 在区间[]0,1上单调递减，数a 的取值围；

（II ）当a=0时，是否存在实数m 使不等式()224141x f x xe mx x x +≥+≥-++对任意

x R ∈恒成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由

4.已知：二次函数()g x 是偶函数，且(1)0g =，对,()1x R g x x ?∈≥-有恒成立，令

1

()()ln ,()2

f x

g x m x m R =++∈

（I ）求()g x 的表达式；

（II ）当0m 0,使f(x)0成立，求m 的最大值；

（III ）设12,()()(1),m H x f x m x <<=-+证明：对12,[1,]x x m ?∈，恒有

12|()()| 1.H x H x -<

5.已知函数()(a x ax x f ln -=＞)().2

8,0+=x x

x g （I ）求证();ln 1a x f +≥

（II ）若对任意的??????∈32,211x ，总存在唯一的??

????∈e e

x ,1

22（e 为自然对数的底数），使得

()()21x f x g =，数a 的取值围.

6.已知函数2

()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t

（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交

点？若存在，求出m 的取值围；若不存在，说明理由。

7.已知函数()x

f x e kx =-，x ∈R

（Ⅰ）若k=e ，试确定函数f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）若k>0，且对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试数k 的取值围；

（Ⅲ）设函数F （x ）=f （x ）+f （x ）+f （-x ），求证：

1

2

(1)(2)()(2)n n F F F n e +???>+（*n N ∈）

8.（1）已知函数f(x)=x 3=x ，其图像记为曲线C. （i ）求函数f(x)的单调区间；

(ii)证明：若对于任意非零实数x 1，曲线C 与其在点P 1（x 1,f(x 1）处的切线交于另一点P 2（x 2,f(x 2).曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3（x 3 f(x 3)），线段P 1P 2,P 2P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1,S 2，则

1

2

s s 为定值： （Ⅱ）对于一般的三次函数g （x ）=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。

9.已知函数R a ex ax e x f x

∈-+=,)(2

（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切

线与曲线只有一个公共点P 。

10．已知f (x )=

2

22+-x a

x (x ∈R )在区间[-1，1]上是增函数．

（Ⅰ）数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=

x

1

的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立？若存在，求m 的取值围；若不存在，请说明理由．

11.已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝

2

1ax 2

＋b x ，a ≠0. （Ⅰ）若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值围；

（Ⅱ）设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.

12.已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线x

y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足222

13n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，

…．

（I ）证明：数列2n n b b +??

?

???

（2n ≤）是常数数列； （II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增．

13已知函数f (x )=ln 2

(1+x)-2

1x x

+. (I)求函数f (x ) 的单调区间; （Ⅱ）若不等式1(1)a a

e n

++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）.

求α的最大值.

14.已知函数),()(2

R c b c bx x x f ∈++=，对任意R x ∈，恒有).()('x f x f ≤ （I ）证明：当0≥x 时，;)()(2

c x x f +≤

（II ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式)()()(2

2b c M b f c f -≤-恒成立，求M

的最小值.

15.已知函数3

()f x x =

，()g x x =（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数。并说明理由；

（Ⅱ）设数列{n a }（*

n N ∈）满足10(0)a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数

M,使得 对于任意的*

n N ∈，都有n a ≤ M ．

16.已知函数()f x =ax

e x =-，其中a ≠0.

（1） 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.

（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值围；若不存在，请说明理由.

17.

设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =++

+∈为常数，曲线()y f x =与

直线3

2

y x =

在(0，0)点相切。 (Ⅰ)求,a b 的值。

(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6

x

f x x <+。

18.已知函数()()21x

f x x e -=+?()3

,12cos .2

x g x ax x x =+++当[]0,1x ∈时，

（I ）求证：()11-;1x f x x

≤≤

+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，数a 的取值围。 19.已知函数8

()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，

2()3()cos 4(1sin )ln(3)x

g x x x x x π

=--+-

.

证明：（1）存在唯一0(0,)2

x π

∈，使0()0f x =；

（2）存在唯一1(,)2

x π

π∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.

20.已知函数()()()1ln 1,.x

f x x a x a R

g x xe -=--∈=

（I ）求()g x 的极值；

（II ）设2a =，函数()()3

2

2m h x x x f x ??

'=++???

?在区间()2,3上不是单调函数，数m 的取

值围.

（III ）当0a <时，若对任意的 []()()()()()

1212212111

,3,4,x x x x f x f x g x g x ∈≠-<-恒成立，求a 的最小值.

21.已知函数()ln ,().x

f x x

g x e == ⑴若函数φ(x )=f (x )－

1

1

x x ，求函数φ(x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．

22.已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． ⑴求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；

⑵若存在1,x e e ??∈????

（e 是常数，e ＝2.71828???）使不等式2()()f x g x ≥成立，数a 的取

值围；

⑶证明对一切(0,),x ∈+∞都有12

ln x x e ex

>-成立．

23.设函数1

()ln ().f x x a x a R x =-

-∈

⑴讨论函数()f x 的单调性；

⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.

24.已知函数()()3

2

3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()

1,1f 处的切线方程为20y +=．

⑴求函数()f x 的解析式；

⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，数c 的最小值；

⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，数m 的取值围．

25.已知a ∈R ，函数()ln 1,()(ln 1),x a

f x x

g x x e x x

=

+-=-+（其中 2.718e ≈） （I ）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；

（II ）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由。

26.设函数ln ()ln ln(1)1x

f x x x x

=

-+++.

⑴求()f x 的单调区间和极值;

⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a 的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值围;

若不存在,试说明理由.

27.已知函数f （x ）=e x

+ax-1 （a ∈R ）

（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）若函数F （x ）= xlnx- f （x ）在定义域上存在零点，求a 的最大值；

（Ⅲ）若g （x ）=ln （e x

-1）-lnx ，当x ∈（0，+∞）时，不等式f （g （x ））﹤f （x ）恒成立，求a 的取值围。

28.已知函数f(x) =

x

e

k

x +ln （k 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行。 （Ⅰ）求k 的值；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）设g(x)=(x 2+x)'()f x ,其中'()f x 为f(x)的导函数，证明：对任意x ＞0，2

1)(-+

29.设函数f (x )＝

2e

x x

＋c (e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈R )． (1)求f (x )的单调区间、最大值； (2)讨论关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数．

30.已知函数()()x

f x xc x R -=∈

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明

1x >时，()()f x g x >

（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>

31设3

()3

x f x =，对任意实数t ，记2

32()3t g x t x t =-．