几何体中距离的最值
高考加油站2 有关空间几何体中距离的最值问题
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【2016年阜阳二中第一学期期末考试12】如图，在棱长为2的正四面体A BCD -中，平面α与棱
,,,AB AD CD BC 分别交于点,E F ,,G H ,则四边形EFGH 周长的最小值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】如图，把正四面体展开，图（2）把面ABC 沿着AB 翻折到与面ABD 共面；图（3）把面ADC 沿着AD 翻折到与面ABD 共面；图（4）把面BCD 沿着BC 翻折到与面ABD 共面；
EF+FG+GH+HE ≥GE+G 'E ≥GG '=4
等价形构造等价线长即可
C
D
C A
(5)
(4)
(3)
(2)
(1)
B
D
D
B
所以四边形EFGH 周长等于4EF FG GH HE GE G E GG ''+++≥+≥=(四点共线)
【方法点睛】多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而转化为平面图形内两点连线的最短距离长度问题，要注意的是，如果不是指定两点间的某种特殊路径，其表面上两点的距离应是按各种可能方式展开平面图形后各自所得距离中的最小值，旋转体侧面上两点间的最短距离，如同多面体一样，将侧面展开，转化为展开面内两点连线的最短长度问题来解决.
【变式1】正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，侧棱长为1，则动点从A 沿表
面移到点1D 时的最短的路程是 ．
【变式2】一只蚂蚁从棱长为1cm 的正方体的表面上某一点P 出发，走遍正方体的每个面的中
心的最短距离()d f P =，那么d 的最大值是__________．
【变式3】如图，在棱长为2的正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，若P 是棱AC 上一动点，则BP+PE 的最小值为（ ）
.3A .B .1C .D
【参考答案】
【变式1】【解析】
试题分析：如下图所示，作出正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的展开图，
如果动点从A 经侧面通过11,BB CC 移到点1D =；如果动点从A
经经11A B 沿上底面移到点1D 时，根据题目条件，111114BD BB B D =+==，则路程为
=<
考点：1、棱锥的展开图；2、最值问题．
【变式2】
【答案】52
+ 【解析】
试题分析：欲求d 的最大值，先将起始点定在正方体的一个顶点A 点，再将正方体展开，找到6个面的中心点，经观察可知蚂蚁爬行最短程为6个正方体的棱长+展开图形中半个正方形对角线的长．
欲求d 的最大值，先将起始点定在正方体的一个顶点A 点，正方体展开图形为：
则蚂蚁爬行最短程的最大值552
S =+=+ 考点：平面展开-最短路径问题
【方法点睛】折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材；解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化,这
些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向．
暑假立体几何中的距离问题
立体几何中的距离问题 【要点精讲】 1距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线 线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离?因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离； 求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度 点到平面的距离 平面外一点P在该平面上的射影为P',则线段PP的长度就是点到平面的距离；求 法：①"一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。(2)等体积法。 直线与平面的距离： 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的 距离； 平行平面间的距离： 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法， 把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关 距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形. 若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。 异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线AA '的长度为d，在a上有线段A' E = m , b上有线段AF = n，那么EF = 、d2 m2 n2 2mncos (“土”符号由实际情况选定)
立体几何中体积与距离的问题
………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 1 / 1 B A C D 1A 1B C D 1C 1 B 1 A 1 E D C B A 立体几何中体积与距离的问题 考点一：两条异面直线间的距离 例1如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.求证：(1)EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离； 考点二：点到平面的距离 例2如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，当E 为AB 的中点时， （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）求点E 到面ACD 1的距离； 例3正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。 （1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 考点三：几何体的体积 1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC == ，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．求三棱锥ABC P -的体积； 2、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。 (1)证明：BC PDC ⊥平面;(2)求三棱锥P DEF -的体积。 3.已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形， PAD ?是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，G F E ,,分别是 BC PC PD ,,的中点． 1）求平面EFG ⊥平面PAD ；2）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥EFG M -的体积． 练习1、如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;（Ⅱ）若AB=CB=2,A 1C=6，求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积 练习2如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点。(Ｉ) 证明平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。 A B C C 1 A 1 B 1 B 1 C B A D C 1 A 1 图5 B P A D
立体几何中的距离问题
立 体 几 何 中 的 求 距 离 问 题 集美中学数学组 刘 海 江 一、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗？ 1、两点间的距离：连接两点的线段的长。 求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得 （2）用公式，),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则|AB|= 。 （3）利用向量的模，|AB|=|AB … （4）两点间的球面距离 ：A ，B 为半径是R 的球O 上的两点，若＜,＞=θ 则A ，B 两点间的球面距离为 。 2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。 求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。 （2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。 (3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射 影的长，再由勾股定理求出所求的距离。 （4）利用公式：A 0:),,(00=++C By Ax l y x 到直线的距离为 。 基本思想是将点线距转化为点点距。 3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点） （1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和____________的距离，叫做这个点到这个平面的距离。 求法： ①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此 距离； ②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离； ③利用向量、点A ，平面α，满足ααα⊥∈?O A ,,， 则点A 到平面α的距离||n d = （ 是平面α的法向量 ） （2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫做这条直线和这个平面的距离。 （一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等） 求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法） 4、两个平行平面的距离 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。 求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）
高中数学立体几何空间距离问题
立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离
●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.
《立体几何中的角度与距离问题》
二年级下学期小学期末检测 数学试卷 （考试时间：60分钟，满分100分) 题号一二三四五六总分 得分 一、我会算。（12分） 35÷7＝900－700＝73－(13＋27)＝9×9÷9＝ 280＋300＝1000-600＝56－(90－60)= 37＋8÷8= 860－260= 60－27÷3= 4×(78－70)= (40－8)÷4= 二、我会填。（22分） 1、有一个四位数，最高位上是5，十位上是3，其余各位上是0，这个数是（），读作（）。 2、□÷7＝3……□，余数最大是（），当余数最大时，被除数是（）。 3、找规律填数。 537，437，（），237，（）；150，200，（），300，（）。 4、605是（）位数，最高位上的数字是（），这里的5表示（）个（）。 5、（）×7<50，括号里最大能填（）。 6、在（）里填上合适的单位名称： 教室的门高2（）；铅笔长14（）；数学书厚4（）；课桌高8（）。7、在○里填上“>”、“<”、“＝”。 5千米○5000米30mm○3dm纯角○锐角 8、最大的两位数是（），与它相邻的两个数分别是（）和（）。 三、我是小判官。（对的画“√”，错的画“×”）（12分） 1、50÷7＝6……8。…………………………………………………………………（） 2、“333”里的“3”表示的意思一样。…………………………………………（） 3、正方形和长方形都有4条边，4个直角。………………………………………（） 4、角的大小与边的长短有关系。…………………………………………………（） 5、2＋10÷2＝12÷2＝6。…………………………………………………………（） 6、左图中共有6个角。………………………………………………（） 四、我是计算能手。（14分） 1、用竖式计算并验算。（6分） 284＋357923－657
立体几何文科 距离 体积
距离问题 1、如图，四棱锥中，底面， ,,. (1)求证：；(2)求点到平面的距离． 2、如图，已知四棱锥的底面为菱形，，， . （Ⅰ）求证：⊥； （Ⅱ）求点到平面的距离.
3、如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是的中点， . （1）求证:直线平面； （2）求点到平面的距离. 4、在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与的交点，已知 ，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离．
体积问题 【2014高考北京文第17题】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面， AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积. C 1 B 1 A 1 F E C B A 3. 【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中， 平面V AB ⊥平面C AB ，V ?AB 为等边三角形， C C A ⊥B 且C C A =B =O ，M 分别为AB ，V A 的中点． （I ）求证：V //B 平面C MO ； （II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ； （III ）求三棱锥V C -AB 的体积．
5. [2016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ， AD BC ，3AB AD AC ===， 4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN 平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积. 23. 【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱 形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ； （II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -求该三棱锥的侧面积.
立体几何经典难题汇编
立体几何难题汇编1 1. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是（） ①能构成矩形； ②能构成不是矩形的平行四边形； ③能构成每个面都是等边三角形的四面体； ④能构成每个面都是直角三角形的四面体； ⑤能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体． A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】证明题． 【分析】画出图形，分类找出所有情况即可． 【解答】解：作出正方体： 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体z只能有以下四种情况： ①任意一个侧面和对角面皆为矩形，所以正确； ③四面体A 1-BC1D是每个面都是等边三角形的四面体，所以正确； ④四面体B 1-ABD 的每个面都是直角三角形，所以正确； ⑤四面体A 1-ABD 的三个面都是等腰直角三角形，第四个面A1BD是等边三角 形． 由以上可知：不能构成不是矩形的平行四边形，故②不正确． 综上可知：正确的结论个数是4． 故选C． 【点评】全面了解正方体中的任意四个顶点构成的四面体和平面四边形是解题的关键．
【解答】 解：作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平面BEC ，所以CE ⊥AD ， 由题设，B 与C 都是在以AD 为焦点的椭圆上， 且BE 、CE 都垂直于焦距AD ， AB+BD=AC+CD=2a ，显然△ABD ≌△ACD ，所以BE=CE ． 取BC 中点F ，∴EF ⊥BC ，EF ⊥AD ，要求四面体ABCD 的体积的最大值， 因为AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大，因为BC 是定值，所以只需EF 最大即可， 当△ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a ， ∴AB=a ，所以EB= EF= 所以几何体的体积为： ． 故答案为： 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能 力以及计算能力． 4. 如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，已知在直角三角形ABC 中，BC=1，AC=2， AB= ．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）A ∈l ， （2）C ∈α．则B 、O 两点间的最大距离为 _________. 22.a c -22 1.a c --2222112*21*2* 1. 323a c c c a c --=--222 1. 3c a c --5
立体几何中的角度与距离问题
立体几何中的角度与距离问题 【基础知识】 一．空间角度问题 （一）理解空间中各种角的定义及其取值范围 1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的概念。 2．各种角的取值范围：（1）异面直线所成的角的取值范围是：0°< θ ≤90°；（2）直线于平面所成的角的取值范围是： 0°≤ θ ≤90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，通常认为二面角平面角的取值范围是： 0°< θ ≤180° （二）空间中的角的计算 1、用直接法求角的一般步骤是：（1）找出或做出有关角的图形；（2）证明它符合定义（3）计算（一般通过解三角形） 2、异面直线所成的角：用平移转化的方法使它成为相交直线所成的角。 当异面直线垂直时，运用直线垂直平面的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成角是90°. 3． 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段/斜线段及斜线段在平面内的射影。 4． 二面角要转化为其平面角，掌握以下三种基本做法：（1）直接利用定义；（2）利用三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面 另外，还要特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角 注意：1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角来计算的，应熟练掌握这种转化。 2.计算题必须有推理过程。 二．空间距离问题 1．立体几何中的各种距离有：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）平行直线间的距离（4）异面直线间的距离（5）直线与平面的距离（6）两个平面间的距离（7）球面上两点间距离 2．空间七种距离求法，通常是转化为平面上两点间的距离：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它们就是所求的距离；（3）利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算 α β A O P A B O P α β (1) (2) (3)
暑假立体几何中的距离问题
立体几何中的距离问题 【要点精讲】 1．距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度 点到平面的距离 平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。 直线与平面的距离： 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； 平行平面间的距离： 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形． 若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。 异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线 AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝ θcos 2222mn n m d ±++（ “±”符号由实际情况选定） 点到面的距离的做题过程中思考的几个方面:
立体几何空间距离问题
空间距离问题 (专注高三数学辅导:QQ1550869062) 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离 ●案例探究
［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE a a a a a a a a a a a a EF a a a a a ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得. 错解分析：本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1 的距离，这主要是对异面
高中数学立体几何的解题技巧 (1)
立体几何大题的解题技巧 ——综合提升 【命题分析】高考中立体几何命题特点： 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现． 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现． 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. 【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角： “六个距离”： 1两点间距离 221221221)()()(d z z y y x x -+-+-= 2点P 到线l 的距离d = （Q 是直线l 上任意一点，u 为过点P 的直线l 法向量） 3 两异面直线的距离d = （P 、Q 分别是两直线上任意两点u 为两直线公共法向量） 4点P 到平面的距离 d = （Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量） 5直线与平面的距离【同上】 6平行平面间的距离【同上】 “三个角度”： 1异面直线角【0，2π 】cos θ=2 121v v v v 【辨】直线倾斜角范围【0，π） 2线面角 【0，2π 】sin θ=n v vn n v =,cos 或者解三角形 3二面角 【0，π】cos 2 121n n n n ± =θ 或者找垂直线，解三角形
不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例1（福建卷）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力． 解：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥． Q 正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ， AO ∴⊥平面11BCC B ． 连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为 1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥． 在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ． （Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ． 1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角． 在1AA D △ 中，由等面积法可求得AF = A B C D 1 A 1 C 1 B A B C D 1 A 1 C 1 B O F
立体几何中体积与距离的问题
B A C D 1A 1 B 1 C D 1C 1 B 1 A 1 E D C B A 立体几何中体积与距离的问题 考点一：两条异面直线间的距离 例1 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.求证：(1)EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 考点二：点到平面的距离 例2如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，当E 为AB 的中点时， （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）求点E 到面ACD 1的距离； 例3正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。 （1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 考点三：几何体的体积 1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC == ，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．求三棱锥ABC P -的体积； 2、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。 (1)证明：BC PDC ⊥平面; (2)求三棱锥P DEF -的体积。 图5 B P A C D
3.已知在四棱锥ABCD P-中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD ?是正三角形， 平面PAD⊥平面ABCD，G F E, ,分别是BC PC PD, ,的中点． 1）求平面EFG⊥平面PAD；2）若M是线段CD上一点，求三棱锥EFG M-的体积． 练习1、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若AB=CB=2, A1C=6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积 练习2如图，三棱柱ABC－A1B1C1中侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= 1 2AA1，D是棱AA1 的中点。(Ｉ) 证明平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分 体积的比。 A B C C1 A1 B1 B1 D C1 A1
高中数学专题训练(八)——立体几何中求角与距离
高中数学专题训练 ——立体几何中求角与距离1. 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD. （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个 四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD 所成的二面角恒大于90° ) ^
A C D A1 E B1 C1 2 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE= 2 3 ，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ； 、 （2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （3）求二面角B 1—AC —B 的平面角. < * ）
\ 3.已知a—l—β是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β内，?ABC是等腰直角三角形∠ACB=. 900 （I）求三棱锥D—ABC的体积； （2）求二面角D—AC—B的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角. | #
4.已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，~ D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E． （1）求证：AP⊥平面BDE； （2）求证：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比． （ @
！ @ 5.如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点. （1）求证：FD∥平面ABC； （2）求证：AF⊥BD； 》 (3) 求二面角B—FC—G的正切值. @
立体几何存在性问题
立体几何存在性问题 未命名 一、解答题 1．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，,面面，。。 （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点,,试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由? （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离. 2．如图,四棱锥中,底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形,,平面 平面，点分别是棱上的点，平面平面 （Ⅰ)确定点的位置，并说明理由； （Ⅱ）求三棱锥的体积. 3．如图，在长方体中，,点在棱上，，点
为棱的中点，过的平面及棱交于，及棱交于，且四边形为菱形. （1）证明：平面平面； (2）确定点的具体位置（不需说明理由），并求四棱锥的体积. 4．如图2，已知在四棱锥中，平面平面，底面为矩形。 （1）求证：平面平面; (2）若，试求点到平面的距离. 5．如图,三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，分别是棱，的中点． （1）证明：平面平面； （2）若四面体的体积为，求线段的长． 6．如图，在四棱锥中，，，,。
（1）求证：； （2)若，，为的中点． （i)过点作一直线及平行,在图中画出直线并说明理由; （ii）求平面将三棱锥分成的两部分体积的比． 7．如图1所示，在梯形中,//，且,，分别延长两腰交于点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置,使,如图2所示． (1）求证:； (2）若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积. 8．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面,． （1）证明：平面平面； （2)若,为棱的中点，，，求四面体的体积．
9．如图，在梯形中，，,，四边形是矩形，且平面平面，点在线段上. （1）求证：平面； （2)当为何值时，平面？证明你的结论。 10．10．如图,已知菱形的对角线交于点，点为的中点。将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示。 图1图2 (Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）证明：平面平面； （Ⅲ）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在,请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由。
高考数学热点专题高中数学立体几何中折叠问题归纳
高考数学热点专题高中数学立体几何中折叠问题归纳 一、考情分析 立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. 二、经验分享 (1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形,就在图形发生变化的过程中,折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化,我们称其为“不变量”.求解立体几何中的折叠问题,抓住“不变量”是关键. (3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题,从而使问题得到解决,这是求曲面上最短路线的一种常用方法. 三、题型分析 (一) 平面图形的折叠 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据. 1. 折叠后的形状判断 【例题1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上) ①②③
立体几何中的轨迹问答(归纳讲义理解练习)
立体几何中的轨迹问题 在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值． 轨迹问题 【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( ) 解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ， 则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB ∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ， ∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ． 另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π 4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为 锐角，显然也不满足PE ⊥AC ． 评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹． 【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点， N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1． (2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ． (3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)． (4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合 形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ． D D A ． B ． C ． D ． A
立体几何中地轨迹问题
例析空间中点的轨迹问题的转化 求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。 一．轨迹为点 例1已知平面βα||，直线α?l ，点P l ∈，平面βα,之间的距离为8，则在β到P 点的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 ( ) A ．一个圆 B.两条直线 C.两个点 D.四个点 解析:设Q 为β一动点，点P 在β射影为O ，过O, l 的平面与β的交线为l '， PQ=10，∴OQ==-228106点Q 在以O 为圆心6为半径圆上，过Q 作QM l '⊥于M ，又 点Q 到直线l 的距离为9∴QM=178922=-则点Q 在以l '平行距离为17的两条平行线上 两条平行线与圆有四个交点∴这样的点Q 有四个，故答案选D 。 点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。 二． 轨迹为线段 例2． 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）。 β α l M O Q P
A. 线段1B C B.线段1BC C. 1BB 中点与1CC 中点连成的线段 D. BC 中点与11B C 中点连成的线段 解：连结11,,AB AC B C ，易知111BD A AB ⊥所以11111,,AB BD AC BD B C BD ⊥⊥⊥，所以1BD ⊥面1AB C ，若P ∈1B C ，则AP ?平面1AB C ，于是1BD AP ⊥，因此动点P 的轨迹是线段1B C 。 评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点P 的轨迹。 例3 已知圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面(包括圆周)，若MP AM ⊥，则点P 的轨迹是________。形成的轨迹的长度为__________。 解析:在平面SAB 中，过M 作AM 的垂线交AB 于C ，在底面上，过C 作AB 的垂线分别交底面圆于D,E 两点，则AM ⊥面MDE,DE 即为点P 的轨迹，又AO=1,MO= 2 3,AM= 2 7,从而AC=47,OC=43 ,所以 DE=()2 72 4 312=-.所以填上线段； 2 7. 三． 轨迹为直线 例4 (高考题)如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，过点B 作直线l 与AB 垂直，则直线l 与平面α交点的轨迹是 ( ) α A B A ．圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线 解析: 由题意可知直线l 的轨迹应是过点B 且与AB 垂直的平面，该