高中数学 核心考点突破一 集合、逻辑用语、函数、导数与不等式

核心考点一 集合、逻辑用语、函数、导数与不等式

第1课时 集合与逻辑用语

1．(2012年山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(?U A )∪B 为( )

A ．{1,2,4}

B ．{2,3,4}

C ．{0,2,4}

D ．{0,2,3,4}

2．(2012年陕西)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2

≤4}，则M ∩N ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ．[1,2]

3．(2012年湖南)命题“若α＝π

4

，则tan α＝1”的逆否命题是( )

A ．若α≠π

4，则tan α≠1

B ．若α＝π

4

，则tan α≠1

C ．若tan α≠1，则α≠π

4

D ．若tan α≠1，则α＝π

4

4．(2012年湖北)命题“?x 0∈?R Q ，x 3

0∈Q ”的否定是( )

A ．?x 0??R Q ，x 30∈Q

B ．?x 0∈?R Q ，x 3

0?Q

C ．?x ??R Q ，x 3∈Q

D ．?x ∈?R Q ，x 3

?Q 5．(2012年广东广州一模)已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x ‖x －a |≤1}，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围为________．

6．(2012年福建)下列命题中，真命题是( ) A ．?x 0∈R ，e 0x

≤0

B ．?x ∈R,2x >x 2

C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b

＝－1

D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件

7．(2012年新课标)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )

A ．3个

B ．6个

C ．8个

D ．10个

8．(2011年安徽合肥一模)若A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2

－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是________．

9．命题p ：关于x 的不等式x 2

＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x

是增函数．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．

10．已知p ：x －5x －3

≥2，q ：x 2

－ax ≤x －a .若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范

围．

第2课时 函数的图象与性质

1．(2012年江西)若函数f (x )＝?

???

?

x 2

＋1 x ≤1 ，lg x x >1 ，则f [f (10)]＝( )

A ．lg101

B ．2

C ．1

D ．0

2．(2012年陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝－x 3

C ．y ＝1

x

D ．y ＝x |x |

3．(2012年安徽)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x

4．(2012年江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．

5．(2011年浙江)若函数f (x )＝x 2

－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.

6．函数y ＝ln|x |＋1的图象大致为( )

7．(2012年广东汕尾模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )

A ．(－∞，1] B.?

?????－1，43 C.??????0，32 D ．[1,2) 8．(2012年广东广州调研)定义：若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )

A ．f (x )＝(x －1)2

，T 将函数f (x )的图象关于y 轴对称

B ．f (x )＝2x －1

－1，T 将函数f (x )的图象关于x 轴对称 C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称

D ．f (x )＝sin ? ??

??x ＋π3，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称 9．定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a

，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如

y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．

(1)判断函数f (x )＝－x 2

＋4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；

(2)若函数f (x )＝－x 2

＋mx ＋1在区间[－1,1]上是平均值函数，试确定实数m 的取值范围．

10．对于函数f 1(x )，f 2(x )，h (x )，如果存在实数a ，b 使得h (x )＝a ·f 1(x )＋b ·f 2(x )，那么称h (x )为f 1(x )，f 2(x )的生成函数．

(1)下面给出两组函数，h (x )是否分别为f 1(x )，f 2(x )的生成函数？并说明理由；

第一组：f 1(x )＝sin x ，f 2(x )＝cos x ，h (x )＝sin ?

??

??x

＋π3；

第二组：f 1(x )＝x 2－x ，f 2(x )＝x 2＋x ＋1，h (x )＝x 2

－x ＋1.

(2)设f 1(x )＝x ，f 2(x )＝1

x

(1≤x ≤10)，取a ＝1，b >0，生成函数h (x )使h (x )≥b 恒成

立，求b 的取值范围．

第3课时 函数与方程

1．(2011年福建)若关于x 的方程x 2

＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－1,1)

B ．(－2,2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．(2011年陕西)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根

C ．有且仅有两个根

D ．有无穷多个根

3．(2012年广东汕头二模)已知f (x )＝???

??

log 2x x ≥1 ，

f 2x 0

则???

????????

??23

21f 的值是

( )

A ．－1

B ．1 C.12 D ．－1

2

4．若x 0是方程 x

??

? ??21＝31x 的解，则x 0属于区间( )

A.? ????23，1

B.? ????12，23

C.? ????13，12

D.? ??

??0，13 5．(2012年广东韶关一模)若函数f (x )＝x 3＋x 2

－2x －2的一个正数零点附近的函数值

那么方程x 3＋x A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5

6．(2011年山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，

函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *

，则n ＝________.

7．(2012年上海)已知函数f (x )＝e |x －a |

(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________________．

8．(2012年北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x

－2，若同时满足条件： (1)?x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； (2)?x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0. 则m 的取值范围是________________．

9．(2012年广东广州一模)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2

＋b (a ，b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；

(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．

10．(2012年湖南)某企业接到生产3 000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k (k 为正整数)．

(1)设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间； (2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．

第4课时 函数与导数

1．已知函数f (x )＝a 3

＋sin x ，则f ′(x )＝( )

A ．3a 2＋cos x

B ．a 3

＋cos x

C ．3a 2

＋sin x D ．cos x

2．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )

A ．e 2

B ．e C.ln22

D ．ln2

3．(2011年江西)曲线y ＝e x

在点A (0,1)处的切线斜率为( )

A ．1

B ．2

C ．e D.1

e

4．(2012年陕西)设函数f (x )＝x e x

，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点

5．若函数f (x )＝2x 2

－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________________．

6．函数f (x )＝e x

＋e －x

(e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上( ) A ．有极大值 B ．有极小值 C ．是增函数 D ．是减函数

7．(2011年山东)曲线y ＝x 3

＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15

8．(2012年广东广州调研测试)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( )

A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点

B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点

C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点

D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点

9．(2012年北京东城区模拟)已知函数f (x )＝13

x 3＋mx 2－3m 2

x ＋1(m >0)．

(1)若m ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；

(2)若函数f (x )在区间(2m －1，m ＋1)上单调递增，求实数m 的取值范围． 10．(2012年广东肇庆一模)某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m 元(1≤m ≤3)的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市

场后定价为x 元/本(9≤x ≤11)，预计一年的销售量为(20－x )2

万本．

(1)求该出版社一年的利润L (单位：万元)与每本书的定价x 的函数关系式； (2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L 最大，并求出L 的最大值R (m )．

第5课时 不等式的解法及证明

1．不等式x －1

2x ＋1

≤0的解集为( )

A.? ????－12，1

B.????

??－12，1 C.?

????－∞，－12∪[1，＋∞) D.?

????－∞，－12∪[1，＋∞) 2．(2012年浙江)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2

－2x －3≤0}，则A ∩(?R B )＝( )

A ．(1,4)

B ．(3,4)

C ．(1,3)

D ．(1,2)∪(3,4) 3．函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么|f (x ＋1)|<1的解集是( )

A ．(1,4)

B ．(－1,2)

C ．(－∞，1)∪[4，＋∞) D．(－∞，－1)∪[2，＋∞) 4．(2012年山东)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝____________.

5．不等式ax 2

＋bx ＋c ＞0的解集区间为? ??

??－13，2，对于系数a ，b ，c ，有如下结论：

①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是________．

6．(2012年江苏)已知函数f (x )＝x 2

＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )

7．已知f (x )＝x 3

－3x ＋m ，在[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边的三角形，则m 的取值范围为( )

A ．m >2

B ．m >4

C ．m >6

D ．m >8

8．函数f (x )＝x 3＋ax 2

＋x ＋2在R 上存在极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，3) B ．[－3，3]

C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

9．(2012年新课标)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；

(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．

10．(2012年广东广州调研测试)已知函数f (x )＝－13x 3＋a 2

x 2

－2x (a ∈R )．

(1)当a ＝3时，求函数f (x )的单调区间；

(2)若对于任意x ∈[1，＋∞)都有f ′(x )<2(a －1)成立，求实数a 的取值范围；

(3)若过点?

????0，－13可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．

第6课时 不等式的应用

1．(2012年福建)下列不等式一定成立的是( )

A ．lg ?

????x 2＋14>lg x ，(x >0)

B ．sin x ＋1

sin x ≥2，(x ≠k π，k ∈Z )

C ．x 2

＋1≥2|x |，(x ∈R )

D.1

x 2＋1

>1，(x ∈R ) 2．(2012年广东广州一模)在平面直角坐标系中，若不等式组????

?

x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，

x ≤t

表示

的平面区域的面积为4，则实数t 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．(2012年辽宁)设变量x ，y 满足????

?

x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，

0≤y ≤15，

则2x ＋3y 的最大值为( )

A ．20

B ．35

C ．45

D ．55

4．(2011年北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x

8

天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的

生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )

A ．60件

B ．80件

C ．100件

D ．120件

5．(2012年广东广州调研测试)已知实数x ，y 满足????

?

x ≥0，y ≤1，

2x －2y ＋1≤0.

若目标函数z

＝ax ＋y (a ≠0)取得最小值时，其最优解有无数个，则实数a 的值为( )

A ．－1

B ．－12 C.1

2

D ．1

6．(2011年浙江)设实数x ，y 满足不等式组????

?

x ＋2y －5＞0，

2x ＋y －7＞0，

x ≥0，y ≥0，

若x ，y 为整数，则

3x ＋4y 的最小值是( )

A ．14

B ．16

C ．17

D ．19

7．已知变量x, y 满足约束条件????

?

x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，

y －1≤0，

若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－

3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( )

A ．(3, 5) B.? ??

??12， ＋∞

C ．(－1, 2) D.? ??

??13， 1 8．(2012年山东烟台检测)若实数x ，y ，m 满足 |x －m |＞|y － m |，则称x 比y 远

离m .若x 2

－1比1远离0，则x 的取值范围是________________．

9．(2012年山东济南一中测试)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图5的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地的形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米．

(1)分别写出用x 表示y 和用x 表示S 的函数关系式(写出函数的定义域)； (2)怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？

图5

10．(2012年广东汕头一模)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－(2a ＋3)x ＋a 2

(a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上有极小值点，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0，求实数a 的取值范围．