初中几何旋转典型例题归类
初中几何旋转典型例题归类
1、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长？
解：
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA＝90°
所以∠ABP＋∠CBP＝90°
所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°
所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45
因为PA=a，PB=2a，PC=3a
所以PQ＝2√2a，CQ＝a
所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2
所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2
所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°
所以∠BQC＝90°＋45°＝135°
所以∠BPA＝∠BQC＝135°
作BM⊥PQ
则△BPM是等腰直角三角形
所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a
所以根据勾股定理得：
AB^2＝AM^2＋BM^2
＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2
＝[5＋2√2]a^2
所以AB＝[√(5＋2√2)]a
三个已知距离为1、2、3的问题：
2、在正方形ABCD中有一点P，PA=2，PB=4，角APB=135度，求PC的长？
解：
将△ABP旋转到△BCM，连接PM
显然BP＝BM＝4，CM＝PA＝2，∠ABP＝∠CBM，∠BMC＝∠APB＝135°
所以∠PBM＝∠ABC＝90°
所以△PBM是等腰直角三角形
所以PM＝√2*PB＝4√2，∠PBM＝45°
所以∠PMC＝135°－45°＝90°
所以三角形是直角三角形
根据勾股定理得：PC^2＝PM^2＋CM^2＝36
所以PC＝6
3、有正方形ABCD,E是其内一点，且E到B,C,D距离之比为3：2：1，求角CED=？
解：
将△CDE绕C点旋转90°使CD与CB重合，E点旋转后到F点，连接EF
因为△CDE≌△CBF
所以DE＝BF，CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，∠CED＝∠CFB
因为四边形ABCD是正方形
所以∠BCD＝90°
所以∠DCE＋∠BCE＝90°
所以∠BCF＋∠BCE＝90°
即∠ECF＝90°
所以△CEF是等腰直角三角形
所以EF＝√2*CE，∠CFE＝45
因为BE∶CE∶DE＝3∶2∶1
所以可设BE＝3K，CE＝2K，DE＝K
所以EF＝2√2K，BF＝K
所以BE^2＝9K^2，EF^2＋BF^2＝8K^2＋K^2＝9K^2
所以BE^2＝EF^2＋BF^2
所以△BEF是直角三角形且∠BFD＝90°
所以∠CFB＝90°＋45°＝135°
所以∠CED＝∠CFB＝135°
这是一道典型的利用旋转变换进行解答的几何问题，与等边三角形中此类问题是同种问题4、如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数。
解：
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA＝90°
所以∠ABP＋∠CBP＝90°
所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°
所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45
因为PA=1，PB=2，PC=3
所以PQ＝2√2，CQ＝1
所以CP^2＝9，PQ^2＋CQ^2＝8＋K＝9
所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2
所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°
所以∠BQC＝90°＋45°＝135°
所以∠BPA＝∠BQC＝135°
5、p为正方形ABCD内任意一点。PA=1.PB=5.PC=7.则正方形的边长为？
解：
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ 因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA＝90°
所以∠ABP＋∠CBP＝90°
所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°
所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45°
因为PA=1，PB=5，PC=7
所以PQ＝5√2，CQ＝1
所以CP^2＝49，PQ^2=50,CQ^2＝1
所以PQ^2＝PC^2＋CQ^2
所以△CPQ是直角三角形且∠PCQ＝90°
所以∠PBQ＋∠PCQ＝180°
所以P、B、Q、C四点共圆
所以∠PCB＝∠BQP＝45°
所以CP是∠BCD的平分线
因为四边形ABCD是正方形
所以CA平分∠BCD
所以A、P、C在同一直线上
所以AC＝PA＋PC＝8
所以AB＝AC/√2＝4√2
即正方形的边长是4√2
初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析
初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ） A ．主视图 B ．俯视图 C ．左视图 D ．一样大 【答案】C 【解析】 如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C ． 2．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（ ） A ．210824(3) cm - B ．(2 108123cm - C ．(2 54243cm - D ．(2 54123cm - 【答案】A 【解析】 【分析】 设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9?36ah 求解． 【详解】 解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，
如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°， ∴BD ＝ 12a cm ，AD ＝32 a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ， ∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋23a ）cm ，宽为（4a ＋ 1 2 a ）cm ， 挪动后所在矩形的长为（h ＋2a ＋3a ）cm ，宽为4acm ， 由题意得：（2h ＋23a ）?（h ＋2a ＋3a ）＝5，（4a ＋1 2 a ）?4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9?23， ∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9?23）＝210824(3) cm -； 故选：A ． 【点睛】 本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键． 3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ） A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
随机变量及其分布列经典例题
随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅ ｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;
随机变量及其分布列经典例题教程文件
随机变量及其分布列 经典例题
随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一．离散型随机变量的定义 1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． ①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化. 2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． 3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 二．离散型随机变量的分布列 1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表： 为离散型随机变量X P (X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11 =∑=n i i p ． 三．两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )= n N k n M N k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. 三．二项分布 一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发
旋转相似经典例题知识讲解
旋转与全等、相似中的线段数量关系 基本例题：1、如图，△ABC中，∠C＝90°.（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90，画出旋转后的三角形；（2）若BC＝3，AC＝4，点A旋转后的对应点为A′，求A′A的长 变式1,如图Rt△AB'C'是由Rt△ABC,绕点A顺时针旋转得到的，连接C C'交AB于E, (1)证明：△CA C'∽△BA B' (2)延长C C'交B B'于F，证明：△CA E∽△FBE 变式2，△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、BC、CD的数量关系是 变式3，△ABC绕点B逆时针旋转a°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、
BC、CD的数量关系是 变式4、Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,求：AD、CD、BD的数量关系 变式5、Rt△ABC中，AC=kBC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,探究：AD、CD、BD的数量关系 变式6、如图，在△OAB和△OCD中，∠A＜90°，OB=KOD（K＞1），∠AOB=∠COD，∠OAB与∠OCD互补，试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论。 变式7.如图AB∥CD,BC∥ED, ∠BCD+∠ACE=180°。 (1)当BC=CD 且∠ACE=90°时如图3探究线段AC和CE之间的数量关系 （2）当BC=CD 时如图2探究线段AC和CE之间的数量关系 （3）当BC=kCD时如图1探究线段AC和CE之间的数量关系（用含k的式子表示） E B C A D C A D B
80中田凌志老师提供 1如图R t △ABC ，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作直线MN ∥AC,点P 在直线BC 上，∠EPF=∠CAB ，且两边分别交直线AB 于E ，交直线MN 于F 。如图（1）（2）(3)探究PE 与PF 之间的数量关系，并证明 P N M F E C B A _ P _ N _ M _F _E _ C _ B _ A 图1 图2
初一几何证明典型例题
初一几何证明典型例题 1、已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC 在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=2ADBC 2、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2ABCDEF21证明：连接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴△BCF≌△EDF (S、 A、S)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在△BEF中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF。∵ ∠ABC=∠AED。∴ ∠ABE=∠AEB。∴ AB=AE。在△ABF和△AEF中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴△ABF≌△AEF。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBACDF21E 过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE ＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝ ∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC＝CG又 EF＝CG∴EF＝ACA 4、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD ＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝
备战中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附详细答案
备战中考数学初中数学旋转-经典压轴题附详细答案 一、旋转 1．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝ ∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE． (1)在图1中证明小胖的发现； 借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题： (2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD； (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =1 2 m°. 【解析】 分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可； （2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明 △ABD≌△CBE即可解决问题； （3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到 M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=1 2 m°. 详（1）证明：如图1中， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中，
AD AE DAB EAC AB AC ?? ∠∠??? ＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC ， ∴BD=EC ． （2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ． ∵DB=DE ，∠BDC=60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠ABD=∠CBE ， ∵AB=BC ， ∴△ABD ≌△CBE ， ∴AD=EC ， ∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ． ∴AD+CD=BD ． （3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ． 由（1）可知△EAB ≌△GAC ， ∴∠1=∠2，BE=CG ， ∵BD=DC ，∠BDE=∠CDM ，DE=DM ， ∴△EDB ≌△MDC ， ∴EM=CM=CG ，∠EBC=∠MCD ，
选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
2-3随机变量及其分布 -- HW) T数字特征11 …. --- L-W Array「(两点分布〕 5店殊分布列)--憊几何分祠 -(二项分利 十［并件相互独立性)一価立重复试劇 5J ~(条件概率) ”、r<正态分布密度曲绚 f正态分布)一 要点归纳 一、离散型随机变量及其分布列 1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关 系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示?在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量?通常用字母X, Y, E, n等表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随 机变量. (3) 离散型随机变量的分布列： 一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i, X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率 P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下： X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i， i = 1，2，…，n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①P i>0，i = 1，2，…，n； n ②P i = 1. i = 1
(5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X = 其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0, p / AB) 称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率. ⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1； ② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A). (3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则 称事件 A 与事件B 相互独立?如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立. (4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试 验称为n 次独立重复试验. c M c N-/i c N k = 0, 1, 2, ,m,即 n 件，其中恰有 k)=
初一几何典型例题难题
初一几何典型例题 1、如图，/ AOB=90 , 0M 平分/ AOB ，将直角三角尺的顶点P 在射线0M 上移动，两直角分别与 0A , 0B 相较于C , D 两点, 则PC 与PD 相等吗？试说明理由。 PC=PD 证明：作PE 丄0A 于点 V 0M 是角平分线 ??? PE=PF / EPF=90 V/ CPD=90 ???/ CPE= / DPF V/ PEC= / PFD=90 ???△ PCEPDF ??? PC=PD AF 丄 BE 证明： V CD=CE , CA=CB , / ACD= / BCE=90 ???△ ACD 尢 BCE ???/ CBE= / CAD V/ CBE+ / BEC=90 ???/ EAF+ / AEF=90 ???/ AFE=90 ??? AF 丄 BE E , PF 丄0B 于点F D 在BC 上，连接AD 、BE , AD 的延长线交BE 于点F 。试判断AF 与 0 D 2、如图，把两个含有45°角的三角尺按图所示的方式放置, BE 的位置关系。并说明理由。
3、如图，已知直线11 II 12,且13和11、12分别交于A、B两点，点P在直线AB上。 (1)如果点P在A、B两点之间运动，试求出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系，并说明理由; (2)如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与A、B不重合)，试探究/ 1、/ 2、/ 3之间的关系，请画出图形，并说明理由。解：(1)/ 1 + / 2= / 3; 理由：过点P作11的平行线PQ， V 11 // 12, ???11 // 12 / PQ, ? / 1 = / 4，/ 2= / 5. V/ 4+/ 5= / 3，(2)同理：理由：当点? / 1 + / 2= / 3; / 1-/2= / 3 或/2- / 1 = / 3. P在下侧时，过点P作11的平行线PQ， V 11 // 12 ? 11 // 12 / PQ， ?/ 2=/ 4，/ 1= / 3+/ 4， ?/ 1-/2= / 3; 当点P在上侧时，同理可得/ 2- / 1 = / 3 ? 4、D、E是三角形^ ABC内的两点，连接BD、DE、EC，求证AB+AC > BD+DE+EC 解答：延长DE分别交AB、AC于F、G。 由于FB+FD>BD AF+AG>FG EG+GOEC 所以FB+FD+FA+AG+EG+GOBD+FG+EC
中考数学初中数学 旋转-经典压轴题及详细答案
中考数学初中数学旋转-经典压轴题及详细答案 一、旋转 1．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b． （1）如图1，当a＝42时，求b的值； （2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值； （3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式． 【答案】（1）422）b＝8；（3）ab＝32． 【解析】 试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝2，∠ACB＝45°． 再CE＝a＝2∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC； （2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得； （3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得. 试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝2，∠ACB＝45°． ∵CE＝a＝2∴∠CAE＝∠AEC＝45 2? ＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°， ∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42 （2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC． 又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CF EC CA =，∴ 42 442 =∴CF＝ 8，即b＝8．（3）ab＝32． 提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CF EC CA =，∴ 42 42 =，∴ab＝32． 2．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况． （1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即
旋转经典题型
01 分点突破 知识点1中心对称与中心对称图形 1. 图形的是 C 1) 2.（齐齐哈尔屮考）下列汉字或字母既是屮 心对称图形又是轴对称图形的是 知识点2平面直角坐标系与旋转 （阜新屮考）ri 章末复习 旋转 A. Bl cH D Z （济宁中考）下列图形是中心对称 如图，正方形OABC 在平面直角坐标系屮，点 A 的坐标为 （2, 0）,将正方形OABC 绕点0顺时针旋转45 0得到正方形 标为（ ） OA B' C 则点C'的坐 A. ( .2, .2) C. ( . 2, — . 2) B. (— 2, . 2) D. (2 .2, 2 .2) 3. 4. （宁夏中考）如图，在平面直角坐标系xOy
中，△ A'B'由込ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 . 5. __________________________ （北京中考）如图，在平面直角坐标系xOy中, 4AOB可以看作是AOCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的, 写出一种由△ OCD得到△ AOB的过程:
知识点 3 6.（天津 屮考）如图, 将厶 ABC 绕 点B 顺时针 旋转60 ° E 恰好落在AB 的延长线上，连 接AD.下列结论一定正确的是（） AC = 5 cm, BC = 12 cm. 将厶ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△ BDE ，连接DC 交AB 于点F,则厶ACF 和厶BDF 的周长之和为 cm. 8?（徐州中考）如图，已知AC 丄BC,垂足为C, AC 二4, BC 二3. 3,将线 段AC 绕 点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AD,连接DC, DB. (1)线段 DC 二 4; （2）求线段DB 的长度. 02 中考题型演练 9. （聊城中考）如图，将AABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点 B'处，此时，点A 的对应点A'恰好落在BC 的延长线上，下列结论错误的是（） 得"DBE,点 C 的对应点 旋转屮的让算问题 4 A. Z ABD 二Z E B. Z CBE 二Z C C. AD II BC D. AD =BC E B
初一几何典型例题
初一几何典型例题 1、如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角尺的顶点P在射线OM上移动，两直角分别与OA，OB相较于C，D两点，则PC与PD相等吗？试说明理由。 PC=PD 证明：作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F ∵OM是角平分线 ∴PE=PF ∠EPF=90° ∵∠CPD=90° ∴∠CPE=∠DPF ∵∠PEC=∠PFD=90° ∴△PCE≌△PDF ∴PC=PD 2、如图，把两个含有45°角的三角尺按图所示的方式放置，D在BC上，连接AD、BE，AD的延长线交BE于点F。试判断AF与BE的位置关系。并说明理由。 AF⊥BE 证明： ∵CD=CE，CA=CB，∠ACD=∠BCE=90° ∴△ACD≌△BCE
∵∠CBE+∠BEC=90° ∴∠EAF+∠AEF=90° ∴∠AFE=90° ∴AF⊥BE 3、如图，已知直线l1‖l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上。 （1）如果点P在A、B两点之间运动，试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由； （2）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与A、B不重合)，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系，请画出图形，并说明理由。解：（1）∠1+∠2=∠3； 理由：过点P作l1的平行线PQ， ∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ， ∴∠1=∠4，∠2=∠5. ∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3； （2）同理：∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3． 理由：当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ， ∵l1∥l2 ∴l1∥l2∥PQ， ∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，
当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3． 4、D、E是三角形△ABC内的两点，连接BD、DE、EC，求证AB+AC＞BD+DE+EC 解答：延长DE分别交AB、AC于F、G。 由于FB+FD>BD AF+AG>FG EG+GC>EC 所以 FB+FD+FA+AG+EG+GC>BD+FG+EC 即AB+AC+FD+EG>BD+FD+EG+DE+EC 所以AB+AC>BD+DE+EC 5、D为等边△ABC的边BC上任意一点，延长BC至G。作∠ADE＝60°(E.C在AD同侧)与∠ACG的角平分线相交于E，连AE。求证：ADE为等边三角形。 解：如图，作DF‖AC交AB于F. ∵DF‖AC.等边△ABC. ∴等边△BFD.
数学中考压轴题旋转问题(经典)
数学中考压轴题旋转问 题(经典) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
旋转 一、选择题 1. （广东）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】 A ．π B ．3 C ． 33+42π D ．113 + 124 π 2. （湖北）如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④AOBO S =6+33四形边；⑤AOC AOB 93 S S 6+ 4 +=．其中正确的结论是【 】 A ．①②③⑤ B ．①②③④ C ．①②③④⑤ D ．①②③ 3. （四川）如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A ：P′C=1：3，则P′A ：PB=【 】。 A ．1：2 B ．1：2 C ．3：2 D ．1：3 4. （贵州）点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于【 】 A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 5. （广西）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切 于 点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回 到与AB 相 切于点D 的位置，则⊙O 自转了：【 】 A ．2周 B ．3周 C ．4周 D ．5周 二、填空题 6. （四川）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是 ▲ cm.
旋转 典型例题(精品解析)
典型例题一 例 如图，以点O 为旋转中心，将ABC ?顺时针旋转45°，画出图形． 分析 当旋转中心O 在图形之外时，O 是一个孤立的点，没有从O 出发的线段或射线作参照，就无法确定旋转的角度，因此，首先还须将O 与图形上的某点（或某些点）连结起来． 解 如图，连结OA 、OB 、OC ．将这三条线段绕O 点分别顺时针旋转45°，得C O B O A O '''、、，则C B A '''?就是按题目要求得到的旋转后的图形． 说明： 图形旋转后的效果有时不像平移那样直观，画图出现错误时可能不易发现，因此画图时要特别细心． 典型例题二 例 如图，正方形ABCD 中，E 是正方形内的一点，把AED ?绕着点A 按逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答： （1）图中有哪些等线段和等角？ （2）哪两个三角形形状、大小都一样？ 分析 一个图形绕它的对称中心旋转一个角度后，图形中的每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．本例中可以发现AD 旋转90°后，刚好与AB 重合，于是将AE 旋转90°到E A '的位置，使?='∠90E EA ，确定点E '，连E B '，则E AB '?就是ADE ?按要求旋转的三角形．（1）（2）中，根据图形旋转的特征，图形从一个位置旋转到另一个位置，形状和大小都没有改变，可确定相等的线段、相等的角以及形状相同的三角形． 答案 （1）相等的线段有：E B DE E A AE CD BC AB AD '='====,,．相等的角有：E E E AB ADE E BA DAE '∠=∠'∠=∠'∠=∠,,．
（2）ADE ?与E AB '?的形状和大小都一样． 典型例题三 例 如图，把一块砖ABCD 直立于地面上，然后将其轻轻推倒．在这个过程中，A 点保持不动，四边形ABCD 旋转到B C D A '''位置． （1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转的角度是多大？ （2）指出图中的对应线段． 分析（1）由于四边形B C D A '''是由四边形ADCB 旋转得到的，A 点保持不动，所以A 是旋转中心．又由于D A B ',,三点在一条直线上，且AB AD ⊥，所以旋转的角度是90°．（2）由于D C B A ,,,的对应点分别是D C B A ''',,,，所以不难找出图中的对应线段． 答案 （1）A 是旋转中心，旋转的角度是90°． （2）CD BC AD AB ,,,的对应线段分别是D C C B D A B A '''''',,,． 典型例题四 例 （1）把长方形ABCD 绕着顶点A 逆时针旋转60°．如图． （2）把长方形ABCD 绕着长方形内一点P 逆时针旋转60°． 解 （1）①AB 绕A 点逆时针旋转60°到B A '位置，.,60AB B A AB B ='?='∠ ②连结AC ，作.,60AC C A AC C ='?='∠ ③作.,60AD D A AD D ='?='∠ 连结B C C D '''',，则四边形D C B A '''是四边形ABCD 逆时针旋转60°得到的图形． （2）①连结AP ，作?='∠60PA A ，使.AP P A =' ②用同样的方法作出D C B '''、、，连结A D D C C B B A ''''''''、、、．
初一几何证明典型例题
初一几何证明典型例题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
戴氏教育达州西外校区名校冲刺 戴氏教育温馨提醒： 暑假两个月是学习的最好时机，可以在两个月里，复习旧知识，学习新知识，承上，还能启下。在这个炎热的假期，祝你学习轻松愉快。 初一典型几何证明题 1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3、 4、证明：连接BF 和EF A B C D E F 2 1 A D B C
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF≌△
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 已知：∠1=∠2，CD=DE ， EF P 是∠BAC 平 分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 2.1.3超几何分布 教学目标：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用． 教学重点：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用 教学过程 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数 值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个 数值的情形. 3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1) 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即 ?? ?+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 5.二点分布：如果随机变量X 的分布列为： 二、讲解新课： 在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m 则()m M m n N n M N C C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布 1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n 图形旋转练习题 1. 如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。 2. 如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。 A B C D P 3.设点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上滑动且保持∠EAF=450， A P ⊥EF 于点P （1） 求证：AP=AB ，（2）若AB=5，求ΔECF 的周长。 4.如图17，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． （1）若∠EAF=45o．求证：EF=BE+DF ． （2）若⊿AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF=45o，问⊿CEF 的周长是否随⊿AEF 位置的变化而变化？ （3）已知正方形ABCD 的边长为1，如果⊿CEF 的周长为2．求∠EAF 的度数． 5ABC 中，∠ABC=90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE. ⑴求∠DCE 的度数； ⑵当AB=4，AD ∶DC=1∶3时，求DE 的长. F E D C B A A A F P P B B C C 6．如图所示，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，使AB 落到AC 上，则P 落到点P '处。如果AP=1，则PP '=___________． 7．如图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90o，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，若线段AE=5，则S 四边形ABCD ＝ 。 8．如图所示，已知P 是正方形ABCD 内一点，以B 为 旋转中心，把△PBC 沿逆时针方向旋转90°得到△P BA '，连接PP '， 则∠P PB '的度数是______。 9、如图，将△ABC 绕点A 旋转一定角度后能与△ADE 重合，如果△ABC 的面积是 12cm 2 ，那么△ADE 的面积是 。 10、如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上的点，∠BAD ＝15°， △ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，那么旋转角的度数是 . 11、如图，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，A ＇B ＇交AC 于点D ，若∠A ＇DC=900，则∠A 的度数是__________。 E D C B A 11 .选择题 1. 如果三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和，那么这个三角形一定是( ) (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形 2. 下列给出的各组线段中，能构成三角形的是( ) (A)5 , 12 , 13 (B)5 , 12 , 7 (C)8 , 18 , 7 (D)3 , 4, 8 3 .一个三角形的三边长分别是15 , 20和25 ,则它的最大边上的高为( ) (A) 12 (B) 10 (C) 8 (D) 5 4. 两条边长分别为2和8 ,第三边长是整数的三角形一共有( ) (A)3个(B)4个(C)5个(D)无数个 5. 下列图形中，不是轴对称图形的是( ) (A)线段MN (B)等边三角形(C)直角三角形(D) 钝角ZAOB 6. 直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为( ) (A)125 0(B)135 0(C)145 °(D)150 0 7. 已知Z a , Z 3是某两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角，若Za= 50°,则Z。葡) A . 40 ° B. 50 ° C. 130 ° D . 140 ° 8. 如图，下列推理中正确的是( A. 若Z 1 = Z2,贝U AD //BC B. 若Z 1 = Z2 ,贝U AB //DC C. 若Z A = Z3，贝U AD //BC D. 若Z3 = Z4，贝U AB // DC 9. 下列图形中，可以折成长方体的是（ D. 10. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ） A. B. C_ D 11. 如图1，在AABC中，AB = AC，点D在AC边上，且BD = BC = AD，则Z A的度数为（ ） A . 30 ° B . 36 ° C . 45 ° D . 70 ° 12. 、如图2 , AB II CD , AC ± BC于C,贝U图中与/ CAB互余的角有（） 几何图形旋转常见问题 一、填空题 1.如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为cm． 4.如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD 以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 . 6.如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶 片F 1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F 2 ，再将F 1 、F 2 同时 绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F 3、F 4 .根据以上过程，解答下列问题： (1)若点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2，1)，写出此时点B的坐标； (2)请你在图6－2中画出第二个叶片F 2 ； (3)在(1)的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？ 7.如图7，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1,0)，将线段OP 按逆时针方向旋转 45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1 ；又将线段OP 1 按逆时针方向旋转45°， 长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2 ；如此下去，得到线段OP 3 ，OP 4 ，…，OP n （n为正整数）. （1）求点P 6 的坐标； （2）求△P 5OP 6 的面积； （3）我们规定：把点P n (x n ,y n )（n=0,1,2,3,…）的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后 得到的新坐标(|x n |,|y n |)称之为点P n 的“绝对坐标”．根据图中点P n 的分布规律，请你猜 想点P n 的“绝对坐标”，并写出来． 8.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H （如图8）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．超几何分布教学案
图形旋转练习题(经典题)
(完整版)初一上册几何练习题50道
(整理)中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答