初三期中数学试题及答案

-第一学期初三期中数学试题

班姓名学号得分

考查内容：判别式、旋转、相似、三角函数、二次函数

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

1、如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是（）A．B．C．D．

2．如果是一元二次方程的解，那么的值是（）

A. 0

B. 2

C. 6

D. -2

3．将二次函数的图像先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的图像的解析式为（）

A．B．C．D．

4．函数和（是常数，且）在同一直角坐标系中的图象可能是（）

5．某汽车销售公司2007年盈利1500万元，2009年盈利2160万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（）．

A． B.

C． D.

6．如图，在平面直角坐标系中，以P (4，6)为位似中心，把

△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点

D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）．

A. (4，2)

B. (4，4)

C. (4，5)

D. (5，4)

7．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，

B点落在位置，A点落在位置，若，

则的度数是（）

1:2

2:11:21:21:4

2

=

x0

2=

+

-m

x

x m

2

2

y x

=

2

2(1)3

y x

=--2

2(1)3

y x

=-+2

2(1)3

y x

=+-2

2(1)3

y x

=++

1

2

2+

-

=x

ax

y a

ax

y+

=a0

≠

a

x

2160

15002=

x2160

)

1(

1500

)

1(

15002=

+

+

+x

x

2160

1500

15002=

+x

x2160

)

1(

15002=

+x

B'A'B

A

AC'

'

⊥

BAC

∠

E D

A

C

B

A ．50°

B ．60°

C ． 70°

D ．40°

8．汽车匀加速行驶路程为，匀减速行驶路程为，其中、为常数. 一汽车经过启动、匀加速行驶、匀速行驶、匀减速行驶之后停车，若把这一过程中

汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是 （ ）

（考查实际问题中二次函数及一次函数的应用）

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 二次函数y=x 2+4x+6的最小值为 .

10．二次函数 的图像与x 轴有两个交点，则m 取值范围是 （考查二次函数图像与判别式关系及二次项系数不为0）

11．函数的图象上有两点,，则 （填“<”或“=”或“>”）. 12．如图，∠DAB ＝∠CAE ，要使∠ABC ∠∠ADE ，则补充 的一个条件可以是 （只需写出一个正确答案即可）．

三、解答题（本题共72分）

13.（本小题5分）计算：．

14．（本题5分）以直线为对称轴的抛物线过点（3，0）,(0，3)，求此抛物线的解析式.

2012s v t at =+

201

2

s v t at =-0v a s t 2

2

(21)1y m x m x =+++2

23y x =-),1(m A (2,)B n m n

60sin 30cos 245tan +-1x =A C

D

B

15．（本题5分）如图，B 是AC 上一点，AD ⊥AB,EC ⊥BC,∠DBE=90°.

求证：△ABD ∽△CEB.

16．（本题6分）如图，在中，，在边上取一点，使，

过作交于，．求的长．

17．（本小题满分6分）

如图，某人在点A 处测量树高，点A 到树的距离AD 为21米，将一长为2米的标杆BE 在与点A 相距3米的点B 处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E 及树的顶点C ，求此树CD 的高．

ABC △90C =∠AB D BD BC =D DE AB ⊥AC E 8

6AC BC ==，DE E

D

C B

A

D

E

C

B

A

18．（本小题满分6分）

如图，在8×11的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的顶点处．

（1）画出△ABC 绕点Ａ顺时针方向旋转90°得到的△；

（2）求点B 运动到点B ′所经过的路径的长．

（考查旋转与格点问题）

19．（本题6分）已知关于的方程. （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2）在（1）中，若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.

AB C ''x 04

332=+

+m

x x

20．（本题6分）列方程解应用题

某商店销售一种食用油，已知进价为每桶40元，市场调查发现，若以每桶50元的价格 销售，平均每天可以销售90桶油，若价格每升高1元，平均每天少销售3桶油， 设每桶食用油的售价为x 元（），商店每天销售这种食用油所获得的利润为y 元. （1）用含有x 的代数式分别表示出每桶油的利润与每天卖出食用油的桶数； （2）求y 与x 之间的函数关系式；

（3）当每桶食用油的价格为55元时，可获得多少利润？

（4）当每桶食用油的价格定为多少时,该商店一天销售这种食用油获得的利润最大?

最大利润为多少?

（考查学生阅读能力及列二次函数关系式及最值） 21．（本题6分）已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将DB 绕点D 顺

时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连结DC 、AE ． （1）求证：△ADE ≌△DFC ；

（2）过点E 作EH ∥DC 交DB 于点G ，交BC 于点H ，连结AH ．求∠AHE 的度数；

（3）若BG =

，CH =2，求BC 的长．

（考查全等、相似、旋转、等边三角形及其基本图形的应用）

50 x 3

2

x y

04

22、（本题7分）对于二次函数，如果当取任意整数时， 函数值都是整数，此时称该点（，）为整点，该函数的图象为整点抛物线 （例如：）．

（1）请你写出一个整点抛物线的解式 ．（不必证明）；

（2）请直接写出整点抛物线与直线围

成的阴影图形

中

（不包括边界）所含的整点个数 ．

23．（本小题满分7分）

如图，已知抛物线y 1=-x 2+bx+c 经过A(1,0)，B(0,-2)两点，顶点为D ． （1）求抛物线y 1 的解析式；

（2）将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AO′ B′ ，将抛物线y 1沿对称轴平移后经过点B′ ，写出平移后所得的抛物线y 2 的解析式；

（3）设（2）的抛物线y 2与轴的交点为B 1，顶点为D 1，若点M 在抛物线y 2上，且满足△MBB 1的面积是△MDD 1面积的2倍，求点M 的坐标．

（考查数形结合的思想、分类讨论的思想、学生解决代数几

何综合题能的能力）

2

(0)y ax bx c a =++≠x y x y 2

22y x x =++2

22y x x =++4y =y

24．（本题满分7分）和是绕点旋转的两个相似三角形，其中与、与为对应角．

（1）如图1，若和分别是以与为顶角的等腰直角三角形，且

两三角形旋转到使点、、在同一条直线上的位置时，请直接写出线段与线段的关系；

（2）若和为含有角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段与线段的关系，并说明理由；

（3）若和为如图3的两个三角形，且=，，在绕点旋转的过程中，直线与夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含、的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．

（考查学生综合运用几何知识解题能力）

ABC ?DBE ?B ABC ∠DBE ∠A ∠D ∠ABC ?DBE ?ABC ∠DBE ∠B C D AD EC

ABC ?DBE ?30?AD EC ABC ?DBE ?ACB ∠αBDE β∠=B AD EC αβ30?

30?

B

C

D

E

图3

A

C

D

E

图2

图1

D C

2010-2011学年度第一学期初三期中数学试题答案

二、选择题（本题共32分，每小题4分）

1C 2D 3 B 4A 5 D 6B 7C 8A 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．2 10. 11. m

13．解：

=-------------------------------------------------------------------- 3分 = ----------------------------------------------------------------------- 4分 =（或）．------------------------------------------------------------ 5分

14．解：设抛物线的解析式为， ………………………………………1分

抛物线过点（3，0）,(0，3). ∴ 解得 … ……………4分

∴抛物线的解析式为. ……………………………………………5分

15．证明：∵AD ⊥AB,EC ⊥BC

∴∠A=∠BCE=90° ……………………1分 又∵∠DBE=90°

∴∠ABD+∠EBC=90° 又∵∠E+∠EBC =90°

∴∠ABD=∠E ……………………3分 ∴△ABD ∽ △CEB ……………………5分 16．解：在中，，

．………………………………………1分 又

，

． ………………………………………2分 ，

．

又， ………………………………………3分

o m m ≠>

且4

1

60sin 30cos 245tan +-2

3

2321+

?

-12

231-

2

32-2

(1)y a x b =-+40,3.a b a b +=??+=?1,4.a b =-??=?

2

23y x x =-++ABC △9086C AC BC ===，，

∠10AB ∴=6BD BC ==4AD AB BD ∴=-=DE AB ⊥90ADE C ∴==∠∠A A =∠∠

．………………………………………4分

．………………………………………5分 ．………………………………………6分

17．解：∠ CD ⊥AD ，EB ⊥AD ，

∠ EB ∥CD.

∠ △ABE ∽△ADC ． …………………………………………………2′

∠ ． …………………………………………………3′ ∠ EB=2，AB=3，AD=21， ∠

． …………………………………………………4′ ∠ CD=14． …………………………………………………5′ 答：此树高为14米． ………………………………………………………6′

18．（1）略 （2）

19（1）解：. . ············································ 1分 ∵ 该方程有两个不相等的实数根， ∴ . ············································································ 2分 解得 .

∴ m 的取值范围是. ······························································ 3分

（2）解：∵，

∴ 符合条件的最大整数是 . ·················································· 4分

此时方程为 ， 解得 .

∴方程的根为 ，. ··································· 6分

20(本小题8分)

AED ABC ∴△∽△DE AD

BC AC

∴

=4

638

AD DE BC AC ∴=

=?=AD

AB

CD EB =

21

3

CD 2=2

5π

m c b a 4

3,3,1=

==m m

ac b 394

3143422-=?

?-=-=?039>-m 3

3

32

=+

+x x 223

14332?

?-±-=x 2

33±-=23

31+-=

x 2

332--=x

（1），或；………………… 2分 （2）设月销售利润为y 元，

由题意， …………………3分

整理，得 …………………4分 （3）当每桶食用油的价格为55元时，

答：当每桶食用油的价格为55元时，可获得利润1125元.…………………6分 （4）

…………………7分 则：当时，y 的最大值为， …………………8分

答：当每桶食用油的价格定为60元时,该商店每天销售这种食用油获得的利润最大。 最大利润为1200元

21．（1）证明：如图9，

∵ 线段DB 顺时针旋转60°得线段DE ， ∴ ∠EDB =60°，DE =DB . ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠B =∠ACB =60°. ∴ ∠EDB =∠B . ∴ EF ∥BC . ······································· 1分 ∴ DB =FC ，∠ADF =∠AFD =60°.

∴ DE=DB=FC ，∠ADE =∠DFC =120°，△ADF 是等边三角形. ∴ AD=DF .

∴ △ADE ≌△DFC . ··································································· 2分

（2）由 △ADE ≌△DFC ，

得 AE =DC ，∠1=∠2. ∵ ED ∥BC ， EH ∥DC ，

∴ 四边形EHCD 是平行四边形. ∴ EH=DC ，∠3=∠4. ∴ AE=EH . ······················································································· 3分 ∴ ∠AEH =∠1+∠3=∠2+∠4 =∠ACB =60°. ∴ △AEH 是等边三角形. ∴∠AHE=60°. ················································································· 4分

（3）设BH =x ，则AC = BC =BH ＋HC = x ＋2，

由（2）四边形EHCD 是平行四边形， ∴ ED=HC .

∴ DE=DB=HC=FC =2. ∵ EH ∥DC ，

∴ △BGH ∽△BDC . ············································································· 5分

∴ .即 .

解得 .

∴ BC =3. ························································································· 6分

元)40(-x 桶240)x 3(+-桶50)-x (390(-)2403)(40(+--=x x y 960036032

-+-=x x y 1125)240553)(4055(=+?--=y 960036032

-+-=x x y 1200)60(32

+--=x y 60=x 1200BC

BH

BD BG =2232

+=x x 1=x

22．解：（1）或或等. …… 3分 （2）4． ………………………………………………………………………………5分

23．（本小题满分7分）

解：(1)已知抛物线y 1=-x 2+bx+c 经过点A(1,0)， B(0,-2)，

∴ 解得

∴ 所求抛物线的解析式为y 1=-x 2 +3x -2 ．

…………………………… 2′

（2）解法1： ∵ A(1,0)，B(0,-2)， ∴ OA=1,OB=2． 由旋转性质可得O′A=OA=1，O′B′=OB=2．

∴ B′ 点的坐标为 (3，-1) ． ∵ 抛物线y 1的顶点D (

,)，且抛物线y 2 是由y 1沿对称轴平移后得到的， ∴ 可设y 2 的解析式为y 2= - (x -)2 +k ．

∵ y 2经过点B′，∴ - (3 -)2 +k= -1．解得k=．

∴ y 2= - (x -)2 +．…………………………………………………………… 4′

解法2：同解法1 得B′ 点的坐标为 (3，-1) ．

∵ 当x=3时，由y 1=-x 2 +3x -2得y=-2，可知抛物线y 1过点 (3，-2) ． ∴ 将抛物线y 1沿y 轴向上平移1个单位后过点B′．

∴ 平移后的抛物线y 2的解析式为：y 2=-x 2 +3x -1 ．…………………………… 4′ （3）∵ y 1=-x 2+3x -2 = -(x -

)2 +，y 2=-x 2 +3x -1= -(x -)2 +， ∴ 顶点D(,)，D 1(,)． ∴ DD 1=1．

又B 1(0，-2)，B 1(0，-1)，∴ BB 1=1． 设M 点坐标为(m ，n) ，

∵ BB 1=DD 1，由，

可知当m ≤0时，符合条件的M 点不存在；…………………………………… 5′

而当0

时，有m=2(-m)，解得m=1； 当m>时，有m=2(m -)，解得m=3．

211122y x x =

++213122y x x =++211

222

y x x =++01b c,200 c.=-++??-=++?b 3,

c 2.=??=-?

321

4

3

2325

4

325

4

3214325

4

3214325

4

11MBB MDD S 2S ??=323

2323

2

当m=1时，n=1； 当m=3时，n=-1．

∴ M 1(1,1)，M 2 (3,-1)．…………………………………………………………… 7′

24．解：（1）线段与线段的关系是 . ………… 2分

（2）如图2，连接、并延长，设交点为点． ∵∽ ，

∴， ∴． ∵， ， ．

．

∴∽ ． …………………… 4分

． 在中，， ， ∴

．…………………… 5分 又

∴，

∴. ∵∽，

∴， ∴，

∴， ∴.

即. ………………………………………… 6分

（3）在绕点旋转的过程中，直线与夹角的度数不改变，且

度. ………………………………… 7分

AD CE ,AD EC AD EC ⊥=AD EC F ABC ?DBE ?AB BC

BD BE =AB BD

BC BE

=90ABC DBE ∠=∠=?1390∴∠+∠=?2390∠+∠=?12∴∠=∠ABD ?CBE ?AD AB

CE BC

∴

=Rt ACB △30,tan AB

ACB ACB BC

∠=?

∠

=

tan 303

?

=

3AD CE =90,30,DBE DEB ∠=?∠=?460∠=?56120∠+∠=?ABD ?CBE ?5307CEB ∠=∠=?+∠7530,61205∠=∠-?

∠=?-∠7690∠+∠=?90DFE ∠=?AD CE ⊥B AD EC ()180AFE αβ∠=--765

4321

F 30?

30?

A

B C

D E

图2