快速傅里叶变换原理及其应用(快速入门)
快速傅里叶变换的原理及其应用
摘要
快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。
关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用
Abstract
Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance.
Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used
目录
摘要………………………………………………………………………………１ABSTRACT………………………………………………………………………２
绪论………………………………………………………………………………４快速傅里叶变换原理……………………………………………………………５快速傅里叶的实际应用…………………………………………………………７１快速傅里叶变换在喇曼光谱信号噪声平滑中的应用…………………７
引言………………………………………………………………………７
实验原理及结果…………………………………………………………８
结论………………………………………………………………………９２采用异步实现的快速傅里叶变换处理器………………………………９引言……………………………………………………………………９
实验原理及结果………………………………………………………１０
结论……………………………………………………………………１０３快速傅里叶算法在哈特曼夏克传感器波前重构算法中的应用………１１引言……………………………………………………………………１１
实验原理及结果………………………………………………………１１
结论……………………………………………………………………１２参考文献…………………………………………………………………………１３
绪论
傅立叶变换在生产生活中的重要性非常突出，它将原来难以处理的时域信号相对比较容易地转换成了易于分析的频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，把信号转化为可以对其进行各种数学变化的数学公式，对其进行处理。最后还可以.利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号，它是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。然尔，它在运算上过于复杂，过于宏大的运算过程，对于一些相对简单的低功耗处理器来说，难以自如应对，因此，快速傅里叶变换则显出了它的优越性。快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。对于计算机处理信号方面上是一大进步。系统的速度不但取决于本身的速度，而且还在相当大的程度上取决于算法，算法运算量的大小直接影响着对设备的控制质量。通过傅立叶变换（DFT），运用测试软件进行检测，可以看出快速傅里叶变换大大的提高了运算速度，它为各系统的设计提供了简单算法，有着十分重要的意义。
Ⅰ.快速傅里叶变换原理
数字信号的傅里叶变换,通常采用离散傅里叶变换(DFT)方法。DFT 存在的不足是计算量太大,很难进行实时处理。计算一个N 点的DFT ,一般需要2
N 次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算.因此,当N 较大或要求对信号进行实时处理时,往往难以实现所需的运算速度。1965年,J.W.Cooly 和J.W.Tukey 发现了DFT 的一种快速算法,经其他学者进一步改进, 很快形成了一套高效运算方法,这就是现在通用的快速傅里叶变换, 简称FFT( The Fast
Fourier Transform)。快速傅里叶变换的实质是利用式(1)中的权函数nk N W 的对称性和周期
性,把N 点DFT 进行一系列分解和组合,使整个DFT 的计算过程变成一系列叠代运算过程,使
DFT 的运算量大大简化,为DFT 及数字信号的实时处理和应用创造了良好的条件。
快速傅里叶变换算法如下：
由(1)式可知，对每一个n ，计算X(ｎ)须作N 次复数乘法及N-1次复数加法，要完成这组变换共需
次乘法及N(N-1)次复数加法。但以下介绍的快速傅里叶变换的算法，可大大
减少运算次数，提高工作效率。 当2r N =时，n 和k 可用二进制数表示：
1212012022r r r r r r n n n n n n n ------=+++= 1212012
022r r r r r r k k k k k k k ------=+++=
又记 N
W e ρπ-=,则（1）式可改写为
00
110
1
1112
0012
00
()()r p r r r r k k k X n n n x k k k W =-=----==∑∑
∑
（2）
式中：1212120120(22)(22)r r r r r r r r P nk k k k n n n --------==+++?+++
1211221201
1202
(22)2(22)2r r r r r r r r r r r r n n n k n n n k P
W W
W
------------++++++=
1
20120(22)
r r r r K n n n W ----+++ (3)
因为22[]1r
r
N N W
W
e πρ
===所以（2）可改成
00
110
1
1112
001200
()()
r r r r r k k k X n n n x k k k =-=----=∑∑
∑
1
211
221
21201
1202
0120(2
2)2(2
2)2(2
2)
r r r r r r r r r r r r r r r r n n n k n n n k K n n n W W W ----------------+++++++++ （4）
20
1
2013
0002
0()()r r r k
x n n k k x n k k -=--=∑102(2)22r n n r k W -+- (5)
120011()()r r r r X n n n x n n n ---=
则式（５）即为式（４）的分解形式。将初始数据代入式（５）的第一个等式，可得每一组计算数据，一般将痗L-1组计算数据代入式（５）的第L 个等式，计算后可得第L 组计算数据（L ＝１，２，…，γ），计算公式也可表示为
10
1
102
00120()()r r r r k
x n k k x k k k -=---=∑121200
(22)r r r r n n n k W
----+++=
1012120101212
0(0)(0)P l r r r l r r r x n n n k k k x n n n k k k W --------+ （6）
式中121120222r r r l l P n n n -----=+++ （7） 根据式（６），第
L
个数组中每个12
0120()()l l r r r r x k x n n n k k k ----=
的计算只依赖于上一个数组的两个数据这两个数据的标号相差12/2Y l N -=，即/2l j i n =+，
而且这两个数据只用于计算第L 个数组中标号的数据（等号右端为二进制数）。当1l n -分别取０和１时，分别有,/2l k i k j i n ===+。因此，用上一组的两个数据计算所得的两个新数据仍可储存在原来位置，计算过程中只需要N 个存储器。将()l x i 与(/2)l l x i n +称为第L 个数组中的对偶结点对。计算每个对偶结点对只需一次乘法，事实上由式（６）可得
1
1()()[]2
p l l l N x i x i i W -=++
2
11()()[]22p l l l l l
N N x i x i x i W --+
=++ 式中：l r l r n P ---++=2...22210n ；02222...22n n P l
r l r l r ----+++=别为式（７）中1-l n 取０，１时对应的P 值。因2/21112N P P P R +=+=-，于是对偶结点的p
W 有如下关系： 1112
2
2
]
[P N
P N
N
P P W e W W -===+
-+
ρπ,因此式（６）可表示为
1111()()[]2()()[]22p l l l l
p
l l l l l N x i x i x i W N N x i x i x i W ----=++
+=++
P 的求法：在)(i x l 中，i 写成二进制数01110......k k n n n l r l ---右移l r -位，就成为
110...0...0-l n n n 颠倒位序得),...,2,1(0...0...011r l n n n p l ==-式（５）吕，前面的γ个等式，每个
等式均对应一组数据进行计算，每组数据都有N/２对结点，根据式（９），每对结点只需作１次乘法和２次加法，因此，每组数据只需N/2次乘法和N 次加法，因而完成γ组数据的计算共需N γ/2次乘法和N γ次加法。
Ⅱ.快速傅里叶的实际应用:
一．快速傅里叶变换在喇曼光谱信号噪声平滑中的应用
１．引言
电探测系统是光信号的转换、传输及处理的系统. 系统的各个部分在工作时总会受到一些无用信号的干扰,给光谱峰的检测判别及进一步的数据处理带来了不利因素.对光谱信号进行数字滤波,以获得更真实的光谱信息，显得格外重要. 目前最为通用和有效的信号滤波处理方法是快速傅立叶变换方法.纯水是一种较弱的喇曼散射介质,需要专用的喇曼散射光谱仪器才能获得高信噪比的喇曼光谱.我们以增强型的CCD 探头为探测器,结合普通的分光单色仪,在YAG 激光器532 nm 激光线的激励下获得低信噪比的纯水的喇曼光谱. 信噪比较差的喇曼光谱经过FFT 变换后,,用FFT 的逆变换将滤除噪声后的频谱信号转换成为光谱信号,最终获得信噪比较高的纯水的喇曼光谱.
２．实验原理及结果
傅里叶变换的基本表达式为
)
1...1,0(,)()(1
0 -==∑-=N k W n x k x N n nk
N （１）
]
2exp[N kn
W nk N π-
= （２）
式（1）中的x （n ）(n=0,2,…N-1)是列长为N 的输入序列，即实验采集到的时域上的切片数据;x(k)(=0,1,…N-1)是列长为N 的输出序列，即经过傅里叶变换后的频域上的数据。
对数字化后的光谱信号而言, x(n)是一组离散的实数信号；而X(k)分为实部x(v)和虚部y(ν)2部分。x(ν)和y(ν)又可组成振幅谱A(ν)和相位谱P(ν)：
)
()()(22v y v x V A += （３）
)()
(arctan
)(v x v y v p = （４）
通过对式(3)和式(4)性能的考察,发现A(ν)和P(ν)中既含有目标信号的信息,也含有噪声的信息,如果二者所在的区域不同, 则可以通过傅里叶变换分析出噪声信息, 将之从捕获的信号中去除,从而达到噪声平滑的目的, 获得高信噪比的目标信号.
纯水普通喇曼散射的信号很弱,我们在532nm 脉冲激光泵浦液滴的条件下获得其散射光谱.由于样品信号极其微弱,在将CCD 的增益调至最大时,获得如图1 所示的纯水的喇曼光谱. 光谱的信噪比值用如下方式估算:
设(n)x λ, 为含噪声图像(n)y λ, 为消除噪声后的图像,
图像的均方根误差为
η=
(5)
信噪比定义为除噪声后的信号与均方根误差之比
1
[(]/N
N Y N
SNR =λ,N)=
η
∑ (6)
计算出642. 86 ～ 643. 62 nm 光谱区的信噪比为 SN R ≈ 17.
图１
多通道光谱分析仪采集的含有噪声的纯水普通喇曼散射信号
图2 傅里叶
变换后的频谱图
对图2 幅度谱纵轴取对数得图噪声幅度门限值低于2 ×105 ,经门限滤波处理,在频谱图中将幅度谱低于该门限值的频率成分去除,获得的频谱用FFT 的逆变换返回得到门限滤波曲线如图5 所示.计算出642. 86～643. 62 nm 光谱区的信噪比为SN R≈484. 与图1 相比,光谱的信噪比有了极大的改善.
3 结论
在光谱信号受到光子噪声调制的条件下,如果光谱信号的变化频率低于高频光子噪声的变化频率,则可以通过快速傅里叶变换,获得目标信号和噪声信号的频谱,进行低通滤波和门限滤波后,分别将具有高频和不同振幅的噪声信号去除,实现对弱光谱信号干扰噪声的抑制,得到高信噪比的光谱信号。
快速傅里叶变换在效果上，减轻了噪声的干扰，同时计算也不会带来过于复杂的计算。Ⅱ.采用异步实现的快速傅里叶变换处理器
1.引言
快速傅里叶变换(FFT)是数字信号处理领域一个重要的分析工具,广泛应用于雷达、通讯、图像处理、声纳和生物医学领域。已经开发出多种专用快速傅里叶变换处理器,大大提高了快速傅里叶变换的运算速度。异步集成电路具有功率效率高、电磁兼容性(EMC)好、功耗低和没有时钟歪斜(Skew)的特性,同时又具有潜在的高性能,以及便于系统模块化设
计的优势[1]。异步集成电路运算的性能是平均性能,而不是最差性能。这样,当平均性能与最差性能差别较大时,异步集成电路有希望达到比同步电路更高的潜在性能。异步集成电路采用大量本地时序控制信号来取代整体时钟,避免了当前在超大规模集成电路设计中
遇到的时钟树设计和代价问题。
2.原理及结果
异步实现的快速傅里叶变换处理器的结构如图4所示。处理器的控制由本地的握手信号控制,每个单元独立地工作,避免了同步电路中的时钟分配问题。处理器在输入数据准备好后开始工作,整个运算完成时产生一个完成信号。采用0.6μm 标准CMOS工艺,设计一个8点的异步快速傅里叶变换处理器。该处理器具有2×8 比特的输入,2×15 比特的输出,2×20 比特的内部运算精度。在电路设计完成之后,采用华晶2上华的0.6μm CMOS2P2M 混合电路工艺,建立了异步标准单元库,然后对异步快速傅里叶变换处理器进行了全定制设计。处理器的版图如图5 所示。
图4 异步快速傅里叶变换处理器结构
功能仿真：
用晶体管构成的电路网表描述每个单元(加法器、乘法器等) ,然后用Hspice 进行功能仿真。根据电路Hspice 仿真结果,通过抽象模型,建立每个单元的功能和延迟的逻辑模型。异步逻辑和运算模块的抽象过程比同步模块要复杂得多,因为同步模块只要用功能加上一个最差延迟就可以描述模块的功能性能模型。CMOS 的抽象过程就是用逻辑描述建立FFT的逻辑网表(带延迟) ,再用Verilog 进行逻辑仿真。
性能仿真：
响应时间是异步集成电路性能分析时常用的度量标准[5]。响应时间是指请求信号到完成信号之间的延迟,它主要有两种类型:最差响应时间和平均响应时间。其中, 最差响应时间主要依赖于电路的结构和实现,而平均响应时间不仅与电路结构有关,还与输入的数据相关。文中采用Star2SimXT ,对整个异步快速傅里叶变换处理器进行了电路仿真,得到芯片完成一次变换的最差响应时间为42.85 ns ,平均响应时间为31.15 ns ,功耗约为350.7mW。
3. 结论
设计了一个异步的快速傅里叶变换处理器,该电路可以在异步逻辑控制下工作。性能分析表明,异步快速傅里叶变换处理器的平均性能较同步设计有优势。但是,异步集成电路
完成信号的产生往往需要增加一部分电路。这不仅增加了芯片的面积,而且带来了一定的延迟,异步集成电路性能的优势能否实现,与这部分电路设计是否合理有很大的关系。另外,由于缺少成熟的EDA 工具、算法和设计方法学的支撑,异步集成电路设计技术在超大规模集成方面还面临很多挑战，还需继续改进。
三. 快速傅里叶算法在哈特曼夏克传感器波前重构算法中的应用
1. 引言
哈特曼夏克传感器因其波前测量实时性好等特点而广泛用于自适应光学系统中,随着应用研究的发展,哈特曼夏克波前测量传感器的空间分辨率也要相应提高。哈特曼夏克传感器测量的是波前相位斜率,需要经过波前复原求出相位值,复原的方法主要有区域法和模式法两类,为了满足实时性的要求,哈特曼夏克传感器的子孔径较少,测量的空间分辩率因此比干涉仪低。当增加哈特曼夏克传感器的子孔径数提高空间分辨率、提高测量精度时,区域法和模式法的运算量非常大,实时性降低,限制了高分辨率哈特曼夏克传感器在自适应光学系统等领域的进一步应用。针对实时性问题,提出了分块算法和迭代法进行波前重构。在区域法重构波前的基础上,应用快速傅里叶变换(FFT) 算法,提高波前复原算法的实时性,为高分辨率哈特曼夏克传感器在自适应光学技术及其它领域的应用作算法准备。 2. 实验原理及结果
快速傅里叶变换算法以其运算速度快、所需内存小而被广泛用于数字信号处理领域[9]。在求解由(1)式确定的线性方程组的过程中,需要实现方程系数矩阵的对角化,而这一过程可以通过快速傅里叶变换算法实现,从而实现(1) 式的快速求解。首先,不考虑区域中边界处的相位估计差分方程,在波前重构的区域内,即1≤i ≤M -1,1≤j ≤N -1,(1)式严格成立,并由它导出波前估计的矩阵方程组表示为
(2)
对(2)式的矩阵AO 作正交变换,得:
(4)
??????????????????????==+--≤≤=---=----+-4 1- 1- 0 4 1- 0 1- 4 1- 1- 4)
22(,
0,
11021011
210A A M q A a M M M q j q β??β???β???
???-≤≤=-+-=-+-`
`1``1`1`
2`1),22(,
q j q M q D D β???β??
其中
q
q q Q Q ββ??``q `` , == （５）
应用快速傅里叶变换算法,乘法运算量可由直接作线性变换的
)(23
3NM MN + 次降为)2log 2log (222M MN N MN +次,当哈特曼夏克传感器的子孔径数比较大时,运算速度可大幅度提高,从而提高哈特曼夏克传感器波前重构算法的实时性。在波前估计的计算式(2)
中,只考虑了哈特曼夏克传感器区域内的估计点,需要知道区域边界处的相位值,才能准确求解⑵式,而哈特曼夏克传感器测量的是斜率值,给出的是诺依曼边界条件,需要作边界条件的近似求解,求得边界处的相位值。在边界上:
(10)
由于实际被测的波前相位是连续光滑的曲面,则在边界上的相位点是封闭连续的曲线,设:
0,0=φ
则边界上的相位最小二乘解的矩阵表达式为 G A =φ (11)
其中,A 为(2)式中AO 的形式,对角线元素为2,维数[2(M +N)-1]×[2(M +N)-1], [2(M+N)-1]×1维待估计波前、相邻子孔径斜率差分向量,应用高斯消元法,需5[2(M+N)-1]次乘法运算,可得边界处波前相位的最小二乘解,将解得的边界相位值代入(2) 式,即可求得哈特曼夏克传感器的重构波前。 ３.结论 本文在应用区域法对波前进行最小二乘估计的过程中,应用快速傅里叶变换算法,在子孔径数较多的哈特曼夏克传感器的波前重构过程中,使算法的运算量大幅度降低,既节约处理系统的内存,又提高了波前重构的实时性,为解决高分辨率哈特曼夏克传感器实时性上的问题,在算法上提出了一种解决途径。从而可以在不降低哈特曼夏克传感器实时性、稳定性的前提下,进一步提高哈特曼夏克传感器的空间分辨率,提高测量精度。 参考文献 [１] 程佩青. 数字信号处理教程. 第2版[M]. 北京:清华大学出版社, 2001. [２] 张易知. 虚拟仪器的设计与实现[M]. 西安:西安电子科技大学出版社, 2002. [３] 蒋正萍. 数字信号处理[M]. 北京:电子工业出版社, 2004. [４] E. O. 布赖姆. 快速傅里叶变换[M ]. 柳 群译. 上海:上海 ????? ??=+-=+-=+-=+-+++++N i y iN N i N i i y j i i j M x MJ MJ j M j x j j j g g g g ,,,,11,,00,10,1,,1,1,001,0,,εφ?εφ?εφ?εφ? 科学技术出版社, 1979. [５] 付丽琴,桂志国,王黎明. 数字信号处理原理及实现[M] . 北京:国防工业出版社,2004. [６] 林理忠,夏英齐. 光学多道分析仪的原理与应用[M] 昆明:云南科技出版社,1993. [７] 叶嘉雄,常大定. 光电系统与信号处理[M] . 北京:科学出版社,1997. [８] 叶卫平,方安平. 科技绘图及数据分析[M] . 北京:机械工业出版社,2004. 班级信工142 学号 22 姓名何岩实验组别实验日期室温报告日期成绩报告内容：(目的和要求，原理，步骤，数据，计算，小结等) 1.求信号的离散时间傅立叶变换并分析其周期性和对称性； 给定正弦信号x(t)=2*cos(2*pi*10*t),fs=100HZ,求其DTFT。 (a)代码： f=10;T=1/f;w=-10:0.2:10; t1=0:0.0001:1;t2=0:0.01:1; n1=-2;n2=8;n0=0;n=n1:0.01:n2; x5=[n>=0.01]; x1=2*cos(2*f*pi*t1); x2=2*cos(2*f*pi*t2); x3=(exp(-j).^(t2'*w)); x4=x2*x3; subplot(2,2,1);plot(t1,x1); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); xlabel('x(n)');ylabel('x(n)'); title('原信号x1'); xlabel('t');ylabel('x1'); subplot(2,2,3);stem(t2,x2); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); title('原信号采样结果x2'); xlabel('t');ylabel('x2'); subplot(2,2,2);stem(n,x5); axis([0 1 1.1*min(x5) 1.1*max(x5)]); xlabel('n');ylabel('x2'); title('采样函数x2'); subplot(2,2,4);stem(t2,x4); axis([0 1 -0.2+1.1*min(x4) 1.1*max(x4)]); xlabel('t');ylabel('x4'); title('DTFT结果x4'); （b）结果： 2.用以下两个有限长序列来验证DTFT的线性、卷积和共轭特性； (n) x1(n)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];x2(n)=R 10 (1)线性:（a）代码： w=linspace(-8,8,10000); nx1=[0:11]; nx2=[0:9]; x1=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12]; 傅里叶变换在信号处理中的应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、 概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇： 1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子； 2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似； 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； 4.著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； 5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT)). 正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 有関傅立叶变换的FPGA实现 傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。 离散傅里叶变换的应用 DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。）。 1.频谱分析 DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。 2.数据压缩 由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用 傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著，机械工业出版社2012年发行。 定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译 名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于 傅里叶变换在信号处理中的应用 姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013 摘要： 傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。 关键词： 傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。 一傅里叶变换 1.定义 f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ① 傅里叶变换 傅里叶逆变换 2.分类 连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}} \int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω. 河北联合大学 本科毕业设计（论文） 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.360docs.net/doc/4c2615085.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人 《测试信号分析及处理》课程作业 快速傅里叶变换 一、程序设计思路 快速傅里叶变换的目的是减少运算量，其用到的方法是分级进行运算。全部计算分解为M 级，其中N M 2log =；在输入序列()i x 中是按码位倒序排列的，输出序列()k X 是按顺序排列；每级包含2N 个蝶形单元，第i 级有i N 2 个群，每个群有12-i 个蝶形单元； 每个蝶形单元都包含乘r N W 和r N W -系数的运算，每个蝶形 单元数据的间隔为12-i ，i 为第i 级； 同一级中各个群的系数W 分布规律完全相同。 将输入序列()i x 按码位倒序排列时，用到的是倒序算法——雷德算法。 自然序排列的二进制数，其下面一个数总比上面的数大1，而倒序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位仅为而得到的。 若已知某数的倒序数是J ，求下一个倒序数，应先判断J 的最高位是否为0，与2 N k =进行比较即可得到结果。如果J k >，说明最高位为0，应把其变成1，即2 N J +，这样就得到倒序数了。如果J k ≤，即J 的最高位为1，将最高位化为0，即2N J -，再判断次高位；与4N k =进行比较，若为0，将其变位1，即4 N J +，即得到倒序数，如果次高位为1，将其化为0，再判断下一位……即从高位到低位依次判断其是否为1，为1将其变位0，若这一位为0，将其变位1，即可得到倒序数。若倒序数小于顺序数，进行换位，否则不变，防治重复交换，变回原数。 注：因为0的倒序数为0，所以可从1开始进行求解。 二、程序设计框图 （1）倒序算法——雷德算法流程图 (2)FFT算法流程 快速傅里叶变换的原理及其应用 摘要 快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。 关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用 Abstract Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used 傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变； 频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化 快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式 原理及公式 非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为 式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。 有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为： 可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N较大时，这个计算量是很大的。利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点 的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT算法的优越性。 将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即 x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为： 上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。图3为8点FFT的分解流程。 FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。 关于FFT精度的说明： 因为这个变换采用了浮点运算，因此需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。为了FFT的舍入误差，应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。以256为基数、长度为N字节的数 图像傅里叶变换 冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这 三个value可以描述正弦图像中的所有信息。1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低…… 2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。） 3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。 1.前言 1.1背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。 类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。 积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化， 比如乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用 含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函 数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要 积分变换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能 够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号 的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立 叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 Pierre Simon Laplace （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究 中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在 他的著名作品《概率分析理论》之中。即使在19世纪初， 拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研 究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学 家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利 弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算 子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题 很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴 趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依 据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论 的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文 章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关 性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变 换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识 图像处理与傅里叶变换 1背景 傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。 1.1离散傅立叶变换 图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。 对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。则其离散傅立叶变换定义可表示为： 式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为 式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1 在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ 影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱： 能量谱（功率谱） ) 1(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+-= M x N y N vy M ux i y x f MN v u F π) 2(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+= M u N v N vy M ux i v u F MN y x f π) ,(),(),(2 2 v u I v u R v u F +=[] ),(/),(),(v u R v u I arctg v u =?) ,(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +== 1.2快速傅里叶变化 可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换 正变化 逆变换 由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。 正变换 逆变换 由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。 按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F ∑ ∑∑∑ -=-=-=-=? ???? ? ?????? ? = ?? ???? +=1 1 0101 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F N N ux i v u F N N vy ux i v u F NN y x f πππ∑ -=?? ? ???-= 1 2exp )(1)(N x N ux i x f N u F π∑ ∑ ∑∑ -=-=-=-=? ???? ? -?????? ? -= ?? ???? +-= 1 1 101 )(2exp ),(1 )( 2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f N N ux i y x f N N vy ux i y x f NN v u F πππ∑ -=?? ????= 1 2exp )(1)(N u N ux i u F N x f π 5. 图像的频域增强及傅里叶变换 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）;时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频 MATLAB 离散傅里叶变换及应用 一、DFT 与IDFT 、DFS 、DTFT 的联系 1、 序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT) 在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为 1N ,0,1,k , W x(n)DFT [x(n)]X(k)1 N 0n nk N -===∑-= (12-1) 1N ,0,1,n , W X(k)N 1IDFT[X(k)]x(n)1N 0 k nk N -===∑-=- (12-2) 已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT 和IDFT 。要求： (1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg ［X(k)］图形。 (2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT ［X(k)］图形进行比较。 程序源代码： xn=[0,1,2,3,4,5,6,7]; N=length(xn); n=0:(N-1);k=0:(N-1); Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1),stem(n,xn); title('x(n)'); subplot(2,2,2),stem(n,abs(x)); title('IDFT|X(k)|'); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk)); title('|X(k)|'); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk)); title('arg|X(k)|'); 运行图如下： x(n) IDFT|X (k)| 2 4 6 8 |X (k)| 2 4 6 8 arg|X (k)| 从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N 点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N 点的离散序列。 2、 序列DFT 与周期序列DFS 已知周期序列的主值x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］， 实验三快速傅里叶变换及其应用 04012636 陈郁蕾 一．实验目的 1.在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉MATLAB中的有关函数。 2.应用FFT对典型信号进行频谱分析。 3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。 4.应用FFT实现序列的线性卷积和相关。 二．实验原理 1.混叠 采样序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，当采样频率不满足奈奎斯特采样定理的时候，就会发生混叠，使得刺痒后的序列信号的频谱不能真实的反映原采样信号的频谱。 2.泄漏 根据理论分析，一个时间的信号其频带宽度为无限，一个时间无限的信号其频带宽度则为有限。因此对一个时间有限的信号，应用DFT进行分析，频谱混叠难以避免。对一个时间无限的信号虽然频带有限，但在实际运算中，时间总是取有限值，在将信号截断的过程中，出现了展谱线的现象，称之为频谱泄漏或功率泄漏。 3.栅栏效应 DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就在一定意义上看，用DFT来观察频谱就好象通过一个栅栏来观看一个景象一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点和谷点被“尖桩的栅栏” 所挡住，不能被我们观察到。 4.圆周卷积 把序列X（N）分布在N等份的圆周上，而序列Y（N）经反摺后也分布在另一个具有N等份的同心圆的圆周上。两圆上对应的数两量两相乘求和，就得到全部卷积序列。 这个卷积过程称做圆周卷积。 5.互相关函数 反映了两个序列X（N）和Y（N）的相似程度，用FFT可以很快的计算互相关函数。 三．实验内容及结果 1.观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa(n)中参数p=8，改变q的值，使 q分别等于2，4，8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域和幅频特性影响；改变p，使p分别等于8，13，14，观察参数p变化对信号序列的时域和幅频特性影响，注意p等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。 1.1幅频特性曲线 1.1.1p=8,q=2 傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用 王家硕 学号：1252015 一、 Fourier 变换 1. 一维连续傅里叶变换 设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。 （2）具有有限个极点。 （3）绝对可积。 则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ? +∞ ∞ --==ωω)()]([)(； Fourier 逆变换：ωωπ ωd e f t F f t f t j ? ∞ +∞ ---= =)(21)]([)(1 ， 式中：1-= j ，ω 为频域变量。 f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成 F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1) 式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。公式1可表示为指数形式： 式中： F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。 2. 二维连续傅里叶变换 如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞ 第一章 傅里叶变换的应用 5.1 内容要点 ● 利用傅里叶变换求系统响应 ● 无失真传输的定义和判断 ● 理想低通、带通滤波器的传输特性和冲激响应 ● 幅度调制原理及应用 ● 调幅信号通过带通系统的分析方法 ● 从抽样信号中恢复原信号的分析方法 ● 连续时间信号的离散处理方法 ● 内插和抽样的基本应用 5.2 公式摘要 1. 线性时不变系统的频域特性 若激励信号 () x t 的频谱为 () X j ω，响应 () y t 的频谱为 () Y j ω，系统频率响应为 () H j ω，则 ()()() Y J X J H j ωωω= 2. 无失真传输 （1）定义：相对于激励信号而言，系统响应中各频率分量的相对大小没有变化，相对位置也没有改变。 （2）无失真传输系统的条件 时域：()()0h t K t t δ=- 频域： ()0 j t H j Ke ωω-= 3. 理想低通滤波器 （1）频域特性 频率响应： (){ 0,0,j t c c e H j ωωωωωω-≤>= 幅频响应： (){ 1,0,c c H j ωωωωω≤>= 相频特性： (){ 0,0,c c j t j ωωωωω?ω-≤>= （2）时域特性 冲激响应： ()()0c c h t Sa t t ωωπ= -???? 阶跃响应： ()()011 2c g t Si t t ωπ= +-???? （3）上升时间r t 和带宽c ω的关系： 2r c t π ω= 4. 幅度调制 （1）正弦幅度调制 时域： ()()() 0cos y t x t t ω= 频域： ()()(){} 001 2Y jw X j X j ωωωω= ++-???????? （2）自然抽样的脉冲幅度调制 时域： ()()() y t x t p t = ， 其中 ()()()s s n p t u t nT u t nT τ∞ =-∞ = ----???? ∑ 频域： ()()02 s n s n Y j Sa X j n T ωττ ωωω∞ =-∞?? = -?? ?????∑，其中2s s T πω= （3）平顶抽样的脉冲幅度调制 时域： )]()([)()(τ--*=t u t u t x t y s ,其中 ∑∞ -∞ =-=n s s nT t t x t x ) ()()(δ 频域： )] ([)2 ( )(2/s j n s n j X e Sa T j Y ωωωτ τ ωωτ-= -∞ -∞ =∑ ，其中 S s T π ω2= 傅里叶变换光学系统 组号 A13 03光信 陆林轩 033012017 合作人： 邱若沂 一、实验目的和内容 1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。 4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、实验原理 1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 力。图1 在该点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ?后变为(,)L U x y '： 图1 (,)(,)e x p [(,L L U x y U x y j x y ?'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为： 00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （2） （2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。 用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：MAtlab傅里叶变换实验报告
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