7.第七讲 概率与统计——古典概型与概率可乘
第七讲概率与统计——古典概型与概率可乘
知识点汇总：
例题练习：
1、一枚硬币连抛4次，求恰有2次正面的概率。
【举一反三】
一枚硬币连抛3次，至少有一次正面向上的概率______。
2、某列车有4节车厢，现有6个人准备乘坐。设每一位乘客进入每节车厢的可能性是相等的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0、1、2、3的概率为多少
3、某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生。现要在6个班中随机选出2个班参加电视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，抽取4名幸运观众。那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为________。
【举一反三】
学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的情况标注在球上(如图)。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率为______。
4、A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表，公正人一共制作了六枚外表一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被选为代表。那么这六人被抽中的概率分别为多少？
5、甲、乙、丙三人投篮，投进的概率分别是：
⑴现三人各投篮一次，求三人都没进的概率；
⑵现三人各投篮一次，求至少两人投进的概率；
小试牛刀
1．阿奇一次掷出了6枚硬币，结果恰有3枚硬币正面朝上的概率是多少？
2．三个人乘同一辆火车，火车有十节车厢，则至少有两个人上同一节车厢的概率是多少？
3．中关村小学五年级有6个班，每个班各有30名学生。现要在6个班中随机选出2个班参加植树活动，活动中发现树苗不够，抽取4名去取树苗。那么五年级学生中小李被抽中的概率为多少？
4．有编号为1、2、3、4的四个人准备抽签决定谁参加公益活动，公证人制作了外表一样的四枚签，其中一枚刻着“去”，四人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“去”
字，即可以参加。那么这四人谁被抽中的概率最大？
5．甲、乙、丙三人在百步之外射箭恰好射到靶心的概率分别为40%、50%、60%，如果该射手在百步之外各射箭一次，
⑴现三人各射箭一次，三人都没有射中的概率是多少？
⑵现三人各射箭一次，求至少两人射中的概率；
概率论与数理统计 第七章习题附答案
习题7-1 1. 选择题 (1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) . (A) X 和S 2 . (B) X 和21 1()n i i X n μ=-∑ . (C) μ和σ2 . (D) X 和 21 1 ()n i i X X n =-∑. 解 选(D). (2) 设[0,]X U θ , 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) . (A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n X ≤≤. (D) 1min{}i i n X ≤≤. 解 选(B). 3. 设总体X 的概率密度为 (1),01, (;)0, x x f x θθθ+<<=???其它. 其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量； (2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为 1 10 1 ()()d (1)d 2 E X xf x x x x θθθθ+∞ +-∞ +==+= +? ?. 令()E X X =, 即12 X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为 21?1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为 1(1),01,0, n n i i i x x L θθ=?? ?+<0且 ∑=++=n i i x n L 1 ln )1ln(ln θθ, 令 1 d ln ln d 1 n i i L n x θ θ== ++∑=0, 得
概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
专题十 概率与统计第三十讲 概率 (1)
专题十 概率与统计 第三十讲 概率 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都 是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3 2．(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 3．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ．8π C ．12 D ．4 π 4．（2017新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随 机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A ． 110 B ．15 C ．310 D ．25 5．（2017天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5 支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ． 45 B ．35 C ．25 D ．15 6．（2016年天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是3 1 ，则甲 不输的概率为 A ． 6 5 B ． 5 2 C ． 6 1 D ． 3 1 7．（2016全国I 卷）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个 花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ． 13 B ．12 C ．23 D ．5 6 8．（2016全国II 卷）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
广东省高考数学第二轮复习 专题七 概率与统计 文
真题试做 1．(2012·课标全国高考，文3)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2， x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )． A ．－1 B ．0 C.12 D ．1 2．(2012·广东高考，文13)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________．(从小到大排列) 3．(2012·辽宁高考，文11)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长 分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )． A.16 B.13 C.23 D.45 4．(2012·广东高考，文17)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求图中a 的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x ∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 从近三年的高考试题来看，概率统计一般是1＋1的模式，一大一小．几何概型是高考一个新的热点，并且它是一个重要的知识交会点，通常会把几何概型与线性规划、解析几何以及其他数学知识综合起来进行考查，且重点考查“长度型”和“面积型”，主要以填空题、选择题的形式出现，试题难度为中、低档，所占分值为5分左右．古典概型是考查的热点，经常在解答题中与统计一起考查，属中、低档题，以考查基本概念为主，同时注重运算能力与逻辑推理能力的考查．而对于统计方面的考查，主要是考查分层抽样、系统抽样的有关计算或三种抽样方法的区别以及茎叶图，频率分布表，频率分步直方图的识图及运用．考查概率与统计知识点的高考试题，既有自身概念的思想体现，如：样本估计总体的思想、假设检验的思想；又有必然与或然思想、函数与方程思想和数形结合思想． 热点例析 热点一 随机抽样和用样本估计总体 【例1】(2012·四川高考，文3)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )．
概率统计第七章
习题七解答 1. 设的分布律为， 求（1）EX ，（2）)1(+-X E ，（3）)(2X E ，（4）DX 。 解 由随机变量X 所以 ()1111111 (1)01236261243E X =-?+?+?+?+?= ()1111112 1210(1)36261243E X -+=?+?+?+?+-?= ()211111135 1014364612424 E X =?+?+?+?+?= 2 2235197()()(())()24372 D X E X E X =-=-= 另外，也可根据数学期望的性质可得： ()()12 11133 E X E X -+=-+=-+= 2.设随机变量X 服从参数为()0>λλ的泊松分布，且已知 ()()[]232=--X X E ，求λ的值。 解 ()()[]()() ()()()()()()2 0452 652 6565322 2 22==+-+=+-+=+-=+-=--λλλλX E X E X D X E X E X X E X X E X
3. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求2X 的数学期望() 2X E 。 解 ()4.0,10~B X 所以 ()()4.26.04.010,44.010=??==?=X D X E 故 ()()()()4.1844.2222=+=+=X E X D X E 4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？ 解 设随机变量Y 表示平均收益（单位：万元），进货量为a 吨 Y= ()a X a X 33-- a x a x ≥< 则 ()()() 80000001400022000 12000 13200014220004000-+-=+-=??a a dx a dx a x Y E a a 要使得平均收益()Y E 最大，所以 ()08000000 1400022 ='-+-a a 得 3500=a （吨） 5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部 件数，试求X 的数学期望()X E 和方差()X D 。 解 X 的可能取值为0，1，2，3，有 ()()()()006 .03.02.01.03092.03.08.01.03.02.09.07.02.01.02398.03.08.09.07.02.09.07.08.01.01504 .07.08.09.00=??===??+??+??===??+??+??===??==X P X P X P X P 所以X 的分布律为
7.第七讲 概率与统计——古典概型与概率可乘
第七讲概率与统计——古典概型与概率可乘 知识点汇总： 例题练习： 1、一枚硬币连抛4次，求恰有2次正面的概率。 【举一反三】 一枚硬币连抛3次，至少有一次正面向上的概率______。 2、某列车有4节车厢，现有6个人准备乘坐。设每一位乘客进入每节车厢的可能性是相等的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0、1、2、3的概率为多少 3、某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生。现要在6个班中随机选出2个班参加电视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，抽取4名幸运观众。那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为________。 【举一反三】 学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的情况标注在球上(如图)。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率为______。 4、A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表，公正人一共制作了六枚外表一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被选为代表。那么这六人被抽中的概率分别为多少？
5、甲、乙、丙三人投篮，投进的概率分别是： ⑴现三人各投篮一次，求三人都没进的概率； ⑵现三人各投篮一次，求至少两人投进的概率； 小试牛刀 1．阿奇一次掷出了6枚硬币，结果恰有3枚硬币正面朝上的概率是多少？ 2．三个人乘同一辆火车，火车有十节车厢，则至少有两个人上同一节车厢的概率是多少？ 3．中关村小学五年级有6个班，每个班各有30名学生。现要在6个班中随机选出2个班参加植树活动，活动中发现树苗不够，抽取4名去取树苗。那么五年级学生中小李被抽中的概率为多少？ 4．有编号为1、2、3、4的四个人准备抽签决定谁参加公益活动，公证人制作了外表一样的四枚签，其中一枚刻着“去”，四人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“去” 字，即可以参加。那么这四人谁被抽中的概率最大？
概率与统计(解析版)
专题10 概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【答案】C 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 【答案】A 【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<< 统计初步与概率 （初中与高中文科生学的内容差不多，与理科生学的概率有很大差别） 统计初步 (一)总体和样本 1．总体和个体：在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体． 2．样本和样本容量：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．样本容量没有单位。 3．数据收集与处理的有关概念 (1)普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查； (2)从总体中抽取一部分个体进行调查称为抽样调查。 (3)利用抽样收集数据时应注意考虑以下三点： ①被调查的对象不得太少． ②被调查的对象应有随机性． ③被调查的数据应是真实的． (二)反映数据集中趋势的特征数 1．平均数 (1)1x ，2x ，…n x 的平均数：121(...)n x x x x n =+++ (2)加权平均数：如果n 个数据中，1x 出现1f 次，2x 出现2 f 次，……，k x 出现k f 次(这里12...k f f f n +++=)，则112212......k k k x f x f x f x f f f +++=+++ (3)平均数的简化计算：当一组数据1x ，2x ，…n x 中各数据的数值较大，并且都与常数a 接近时，设1x a -，2x a -，…n x a -的平均数为'x ，则'x x a =+． 2．中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数． 3．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据的众数可能不止一个． 4．极差：最大值减去最小值的差． (三)反映数据波动大小的特征数 1．方差 (1)1x ，2x ，…n x 的方差：222 212()()...()n x x x x x x s n -+-++-= （2）22222121[(...)]n s x x x nx n =+++- 说明：当1x ，2x ，…n x 为较小的整数时，用该公式计算方差较简便． (3)1x ，2x ，…n x 方差为2 s ，设a 、b 为常数， 限时规范训练十九 概率、随机变量及其分布列 限时45分钟，实际用时 分值81分，实际得分 一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 解析：选B.如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟， 而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12 . 2．(2017·山东济南模拟)4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( ) A.12 B.23 C.34 D.45 解析：选B.记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B ＝{第二次取到的是合格高尔夫球}． 由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (A ∩B )＝3×2＝6，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9，所以P (B |A )＝ n A ∩B n A ＝69＝2 3 . 3．(2017·江西七校联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2 ＋2ax －b 2 ＋π有零点的概率为( ) A.7 8 B.34 C.12 D.14 解析：选B.∵函数f (x )有零点． ∴Δ＝4a 2 －4(π－b 2 )≥0，即a 2 ＋b 2 ≥π， 设事件A 表示“函数f (x )＝x 2 ＋2ax －b 2 ＋π有零点”． 如图所示，试验的全部结果构成的区域是矩形ABCD 及其内部，事件A 发生的区域是图中阴影部分，且S 阴影＝4π2 －π2 ＝3π2， 专题七概率与统计第三讲概率、随机变量及分布列适考素能特训 理 一、选择题 1．[2016·合肥质检]某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为( ) A.9 16 B. 27 64 C. 81 256 D. 7 16 答案A 解析由题意得，所有的基本事件总数为44＝256，若恰有一个项目未被抽中，则说明4名职工总共抽取了3个项目，符合题意的基本事件数为C34·C13·C24·A2＝144，故所求概率P ＝144 256 ＝ 9 16 ，故选A. 2．[2016·武昌调研] 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲 线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A．1193 B．1359 C．2718 D．3413附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ C.58 D.34 答案 D 解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋3，要使函数f (x )在R 上单调递增，则3x 2＋2mx ＋3≥0在R 上恒成立，即Δ＝4m 2－36≤0，解得－3≤m ≤3，所以所求概率为3－－4－－＝34 ，故选D. 4．[2016·湖北二联]先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x ＋ y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于( ) A.13 B.12 C.16 D.14 答案 A 解析 本题考查条件概率．由题意可得 P (A )＝3×3＋3×36×6＝12，P (AB )＝3×26×6＝16 ， 则P (B |A )＝ ＝1612＝13 ，故选A. 5．[2016·石家庄质检]小明准备参加电工资格证考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试机会．在理论考试环节，若第1次考试通过，则直接进入操作考试；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过 的概率为34，每次操作考试通过的概率为23 ，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中，共参加3次考试的概率是( ) A.13 B.38 C.23 D.34 答案 B 解析 本题考查概率的计算．由题意得参加3次考试包括第一次理论考试通过且第一次操作考试不通过和第一次理论考试不通过且第二次理论考试通过且第一次操作考试通过两种 情况，所以所求概率为34×13＋14×34×23＝38，故选B. 二、填空题 热点专题七统计与概率 热点专题七统计与概率 【考点聚焦】 统计与概率主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们做出合理的决策．随着社会的不断发展，统计与概率的思想方法也越来越重要．因此，统计与概率知识是各地中考重点考查内容之一． 1．能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现． 2．了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，并能进行有效的解答或计算．3．能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍， 4．在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发 生的概率．能够准确区分确定事件与不确定事件． 5．加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题． 【热点透视】 热点1：通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，通过实例体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差． 例1（2008娄底）去年娄底市有7.6万学生参加初中毕业会考，为了解这7.6万名学生的数学成绩，从中抽取1 000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）（A）这1 000名考生是总体的一个样本 （B）7.6万名考生是总体 （C）每位考生的数学成绩是个体 （D）1 000名学生是样本容量 分析：在这个问题中，样本应是“1 000名考生的数学成绩”而不是“1 000名考生”，所以（A）不正确，同样总体是指“7.6万名考生的数学成绩”这一数量指标，而不是“7.6万名 1．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 [解析] 设事件A 为“不用现金支付”，事件B 为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C 为“只用现金支付”，则P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.15－0.45＝0.4，故选B. [答案] B 2．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110 B.15 C.310 D.25 [解析] 画出树状图如图： 可知所有的基本事件共有25个，满足题意的基本事件有10个， 故所求概率P ＝1025＝25，故选D. [答案] D 3.(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( ) A.14 B.π8 C.12 D.π4 [解析] 设正方形的边长为2，则正方形的内切圆的半径为1，其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称，则黑色部分的面积 为π2，所以在正方形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率P ＝π22×2 ＝π8，故选B. [答案] B 4．(2017·山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游． (1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． [解] (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3， 历年（2001-2014年）重庆市中考数学真题分类试题 专题7：统计与概率 一.选择题 1. （重庆市2002年4分）已知一组数据，12345x ,x ,x ,x ,x 的平均数是2，方差是3 1 ，那么另一组数据123453x 2,3x 2,3x 2,3x 2,3x 2-----的平均数和方差是( ) A 2. 31 B 2，1 C 4，3 2 D 4，3 2. （重庆市2003年4分）某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表：已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有13人，那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 3. （重庆市2004年4分）某班七个合作学习小组人数如下：5.5.6.x .7.7.8.已知 这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是( ) A.7 B.6 C.5.5 D.5 4. （重庆市课标卷2005年4分）刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米跨栏训练，教练 对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道刘翔这10次 成绩的( ) A ．众数 B ．方差 C ．平均数 D ．频数 5. （重庆市课标卷2005年4分）下列事件一定为必然事件的是( ) A ．重庆人都爱吃火锅 B ．某校随机检查20名学生的血型，其中必有A 型 C ．内错角相等，两直线平行 D ．在数轴上，到原点距离相等的点所表示的数一定相等 6. （重庆市2006年4分）观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民人均 收入每 年比上一年增长率的统计图，下列说法正确的是( ) A.2003年农村居民人均收入低于2002年 B.农村居民人均收入比上年增长率低于9%的有2年 C.农村居民人均收入最多时2004年 D.农村居民人均收入每年比上一年的增 长率有大有小，但农村居民人均收入在持续增加 7. （重庆市2006年4分）现有A.B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数 字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A 立方体朝上的数字为x .小明掷B 立方体朝上的数字为 y 来确定点P （x y ，），那么他们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线2y x 4x =-+上 的概率为( ) A. 118 B.112 C.19 D.16 8. （重庆市2007年4分）甲.乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射靶5次．射击成绩统计如下： 从射击成绩的平均数评价甲.乙两人的射击水平，则( ) A ．甲比乙高 B ．甲.乙一样 C ．乙比甲高 D ．不能确定 9. （重庆市2008年4分）数据2，1，0，3，4的平均数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第七章 参数估计（一） 一、选择题： 1矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计 （B ）总体矩的函数 （C ）样本矩的函数 （D ）极大似然估计 2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ） 122433X X + （B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355 X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2 2 90.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ] （A ）31.06 （B ）(- , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题： 1．如果1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差一定满 足 1212????,E E D D θθθθ=< 2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1 ~(,)X f x x θθθ-=，用最大似然法估计参 数θ时，似然函数为()L θ= 31(0.05)θθ- 3．假设总体X 服从正态分布2 12 (,),,,(1)n N X X X n μσ>为X 的样本， 1 2 211 ()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C = 12(1) n - 三、计算题： 1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数， 已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ 2．设12,,,n X X X 是来自于总体10~()0x X f x θθ ?≤≤? =???其它 (0)θ>的样本, 试求：（1）θ的一个无偏估计1θ；（2）θ的极大似然估计2.θ 456()2(1)22.5')1(0.6 L L θθθθθθθθ=?-=-==解：该样本的似然函数.为 令得三 、 ??()2,()2()22 2 2(1)E X X X E E X θθθ θθ==?===?= 、 第1讲统计与统计案例 高考定位 1.抽样方法、样本的数字特征、统计图表、回归分析与独立性检验主要以选择题、填空题形式命题，难度较小；2.注重知识的交汇渗透，统计与概率，回归分析与概率是近年命题的热点，2016年，2017年和2018年在解答题中均有考查. 真题感悟 1.(2018·全国Ⅰ卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图： 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，则由饼图可得新农村建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.新农村建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的.故选A. 答案 A 2.(2018·全国Ⅲ卷)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________. 解析因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价. 答案分层抽样 3.(2018·全国Ⅱ卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y^＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t. (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 解(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元). 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下： 从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝ －30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y^＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠. 考点整合 1.抽样方法 《概率论与数理统计》第4－7章自测题讲评 第四章﹑数字特征 1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ???5x 4 0≤x ≤1 0 其他 , 求数学期望EX 。 【讲评】考点：连续型随机变量数学期望的定义为EX= ∫-∞+∞ xf(x)dx 。 [解]：EX= ∫-∞+∞xf(x)dx = 5∫01 x 5dx = 5[x 56]01 = 56 2.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。 【讲评】考点：正态分布N(μ, σ2)的数字特征，EX=μ，DX=σ2。 和的方差公式：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)。 [解]：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)= 3+5+2×0.4 = 8.8 3. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ???0.5， 1≤x ≤3 0， 其它 ，f Y (y)= ???3e -3y ， y>0 0， y ≤0 ， 若X ，Y 相互独立，求： E(XY) 【讲评】考点：均匀分布与指数分布的数学期望， X~U[a,b] ? EX=a+b 2 。 X~exp(λ) ? EX=1λ 。 若X 与Y 相互独立，则 E(XY)=EXEY 。 本题：注意：X~U[1,3], Y~Exp(3) ? EX=1+32 =1, EY=1/3， 因为X, Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)=1×(1/3) =1/3 4. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。 DX=1λ , E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ 【讲评】考点：普阿松分布X~P(λ)的数字特征：EX=λ, DX=λ 。 及DX = E(X-EX)2 = EX 2 – (EX)2 , EX 2 =DX+(EX)2 本题：X~P(λ) ? EX=λ, DX=λ, EX 2=λ+λ2 . 所以E(X)D(X) =1，E(X 2)=λ2＋λ＝E(X)[E(X)+1]，E(X) = λ， 但是 DX=1λ , E (X - λ)2 = 0, 这两个是错误等式。 改为正确的是 DX=λ, 及E (X - λ)2 =E(X 2)-2E(λX)+E(λ2)=λ2+λ-2λ2+λ2= λ 5．设随机变量的联合分布律为???? ?? X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。 【讲评】考点：已知二维离散型随机变量的分布律， 求X,Y 的数字特征EX, EY , DX, DY , Cov(X,Y), ρXY 。 [解]: 边缘分布X~???? 0 2 1/3 2/3, Y~???? 1 2 5/12 7/12, (1) E(X)=0×(1/3)+2×(2/3)= 4/3, E(Y)=1×(5/12)+2×(7/12)= 19/12; (2) E(X 2)= 02×(1/3)+22×(2/3)= 8/3, ? D(X)=E(X 2) – (EX)2= 8/3 – (4/3)2 = 8/9 ; E(Y 2)=12×(5/12)+22×(7/12)= 33/12 ? D(Y)=E(Y 2) – (EY)2= 33/12 – 381/144 = 15/144 =5/48 ; 7.3统计与统计案例 【课时作业】 A 级 1．某学校教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k ＝20，即分50组，每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是 () A ．177 B ．157 C ．417 D ．367 解析： 根据系统抽样法的特点，可知抽取出的号码成首项为17，公差为20的等差数 列，所以第8组应抽取的号码是17＋(8－1)×20＝157，故选B. 答案： B 2．某篮球运动员在最近5场比赛中所得分数分别为12，a,8,15,23，其中a >0，若该运 动员在这5场比赛中得分的中位数为12，则得分的平均数不可能为() A.685B ．69 5 C. 71 5 D ．14 解析： 若中位数为12，则a ≤12， 所以平均分为12＋a ＋8＋15＋235≤14＝70 5 ， 由选项知平均数不可能为71 5 . 答案： C 3．(2018·贵阳市第一学期检测)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数 是() A ．15 B ．18 C ．20 D ．25 解析： 根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是40 0.4 ＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在 80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A. 答案： A 4．(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系， 设其回归直线方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧ .已知 ∑i ＝110x i ＝225，∑i ＝1 10 y i ＝1600，b ∧ ＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为() A ．160 B ．163 C ．166 D ．170 解析： 由题意可知x ＝22.5，y ＝160，∴160＝4×22.5＋a ∧，解得a ∧＝70，∴y ∧ ＝ 4x ＋70，∴x ＝24时，y ∧ ＝4×24＋70＝166.故选C. 答案： C 5．一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 分别是数列{2 n －2 }(n ∈N * )的第2项和第4项，则这个样本的方差是() A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析： 因为样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 分别是数列{2n －2 }(n ∈N * )的第2项和 第4项，所以a ＝2 2－2 ＝1，b ＝2 4－2 ＝4，所以s 2＝14 [(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2 ]＝ 5. 答案： C 6．(2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 解析： 从丙种型号的产品中抽取的件数为60×300 200＋400＋300＋100 ＝18. 答案： 18 7．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2 )，且P (0≤X ≤2)＝0.3，则P (X >4)＝________. 解析： 因为随机变量X 服从正态分布N (2，σ2 )， 所以正态曲线的对称轴是x ＝2.初高中衔接教材教案第7讲概率与统计
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