浙江省温州市十五校联合体数列的概念单元测试题含答案

一、数列的概念选择题

1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174

B ．184

C ．188

D ．160

2．已知数列{}n a 满足: 12a =，11

1n n

a a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007

B ．1008

C ．1009.5

D ．1010

3．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=

∈≥，且()2cos

3

n n n a b n N π

*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120

B ．174

C ．204-

D ．

373

2

4．数列{}n a 的通项公式是2

76n a n n =-+，4a =（ ）

A ．2

B ．6-

C ．2-

D ．1

5．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足*

112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（ ）

A ．63243a a a ≤-

B ．2736+a a a a ≤+

C ．7662)4(a a a a ≥--

D ．2367a a a a +≥+

7．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+ B ．21n +

C ．2(1)1n -+

D ．2n

8．数列2345

1,,,,,3579

的一个通项公式n a 是（ ） A ．

21n

n + B ．

23

n

n + C ．

23

n

n - D ．

21

n

n - 9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）

A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.

B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.

C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.

D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 10．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ）

A ．21n a n =-

B ．()1(21)n

n a n =--

C ．()

1

1(21)n n a n +=--

D ．()

1

1(21)n n a n +=-+

11．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

12．已知数列2

65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

13．已知数列{}n a 满足11a =，12

2

n n a a n n

+=++，则10a =（ ） A ．

259

B ．

145 C ．

3111

D ．

176

14．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤

C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4a

D ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a

15．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且11

3

a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．

23

B ．

13

C ．2-

D ．3-

16．数列1

2，16，112，120

，…的一个通项公式是（ ） A ．()1

1n a n n =-

B ．()1

221n a n n =

-

C ．111

n a n n =

-+ D ．11n a n

=-

17．已知数列{}n a 满足1N a *

∈，1,2+3,n

n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数

，若{}n a 为周期数列，则1a 的

可能取到的数值有（ ） A ．4个

B ．5个

C ．6个

D ．无数个

18．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则20

1

k

k a

=∑的值不可能是（ ） A ．2

B ．4

C ．10

D ．14

19．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么

24620201a a a a ++++

+=（ ）

A ．2021a

B ．2022a

C ．2023a

D ．2024a

20．已知数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，且n a ，1n a +是方程220n

n x b x -+=的实数根，

则10b 等于（ ） A ．24

B ．32

C ．48

D ．64

二、多选题

21．设数列{}n a 满足11

02

a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．

21

12

a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<

D ．

20203

14

a << 22．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为

b n (n ∈N *)，则（ ）

A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021

B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1

C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021

D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0

23．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）

A ．0,2,n n a n ?=?

?

为奇数

为偶数

B ．1(1)1n n a -=-+

C ．2sin

2

n n a π

= D ．cos(1)1n a n π=-+

24．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <

B ．10a <

C ．当5n =时n S 最小

D ．0n S >时n 的最小值为8

25．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=

B ．27S S =

C ．5S 最小

D ．50a =

26．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤

D ．当且仅当0n

S <时，26n ≥

27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且32019

11

111

a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <

28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =

D ．当8n ≥时，0n a <

29．在数列{}n a 中，若22*

1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数

列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列

C ．若{}n a 是等方差数列，则{}(

)*

,kn a k N

k ∈为常数)也是等方差数列

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

30．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d < C ．80a = D ．n S 的最大值是8

S 或者9S

31．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）

A ．2

n S n =

B ．2

23n S n n =-

C ．21n a n =-

D ．35n a n =-

32．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）

A ．若100S =，则280S S +=；

B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15

C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大

D ．若78S S <，则89S S <

33．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{

}n

a n

是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列

34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22

B ．d =－2

C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值

D ．当S n >0时，n 的最大值为21

35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =

D ．15S 是最大值

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一、数列的概念选择题 1．A 解析：A

根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意：

3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,

所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，

所以()()()

112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+

+-+

()()12213n n =-+-+

+++

()()()1111332

2

n n n n -+--=+=+.

所以191918

31742

a ?=+=. 故选：A 【点睛】

本小题主要考查累加法，属于中档题.

2．D

解析：D 【分析】

根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且313

2122

S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案. 【详解】

由题意，数列{}n a 满足: 12a =，11

1n n

a a +=-， 可得23411

1,121,1(1)2,22

a a a =-

==-=-=--=，

可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122

S =+-= 所以20173

672210102

S =?+=. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

3．B

解析：B

将题干中的等式化简变形得2

11n n a n a n --??

= ???

，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由

此计算出(

)32313k k k b b b k N *

--++∈，进而可得出数列{}n

b 的前18项和.

【详解】

)1,2n a n N n *

--=

∈≥，将此等式变形得2

11n n a n a n --??= ???

，

由累乘法得2

2

2

3

212

12

11211123n n n a

a a n a a a a a n n

--??????

=??=????= ? ? ?????

??， ()

2cos

3n n n a b n N π*=∈，22cos 3

n n b n π

∴=， ()()222

323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--????∴++=--+--+ ? ????

?592

k =-，

因此，数列{}n b 的前18项和为()5

91234566921151742

?+++++-?=?-=. 故选：B. 【点睛】

本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

4．B

解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】

令4n =，2

447466a =-?+=-

故选：B. 【点睛】

数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.

5．A

解析：A 【分析】

根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】

{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，

充分性：

1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，

0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，

10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；

若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.

所以，“*n N ?∈，1n n S S +>”?“{}n a 为递增数列”；

必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.

所以，“*n N ?∈，1n n S S +>”?/“{}n a 为递增数列”.

因此，“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．

6．C

解析：C 【分析】

由条件可得出11n n n n a a a a -+-≤-，然后可得

3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-，即可推出选项C 正确.

【详解】

因为*

112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，

所以12133n n n n S S S S -+-≤--，所以113n n n n a a a a +-≤++ 所以11n n n n a a a a -+-≤-，

所以3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-

所以()6232435465764a a a a a a a a a a a a -=-+-+-+-≤- 故选：C 【点睛】

本题主要考查的是数列的前n 项和n S 与n a 的关系，解答的关键是由条件得到

11n n n n a a a a -+-≤-，属于中档题.

7．A

解析：A 【分析】

由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】

因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，

因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212

n n n a a n n n ??-+-??

-=

+++==+--，

又11a =，所以2

1n a n n =-+.

故选：A. 【点睛】

本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.

8．D

解析：D 【分析】

根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】

由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21

n n

a n =-. 故选：D 【点睛】

本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.

9．A

解析：A 【分析】

运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】

数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，

121n n n n a a a a +++∴≥--，

设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，

∴数列{}n d 是递减数列.

对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，

所以1220182018d d d ++

+=，又1232018d d d d ≥≥≥

≥，

所以1122018201820182018d d d d d ≥++

+≥，

故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，

02019N ?=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++

≤+++

+=

即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；

结合A ，故B 不正确；

对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；

对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】

本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.

10．C

解析：C 【分析】

分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】

数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112n

n a n =--． 故选C ． 【点睛】

本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．

11．A

解析：A 【分析】

根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，?

?，寻找规律，即可求得答案. 【详解】

21

n n S a =+

当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-

??

当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-

∴71a =，20191S =

故720192a S += 故选：A. 【点睛】

本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

12．A

解析：A 【分析】

首先将n a 化简为()2

34n a n =--，即可得到答案。 【详解】

因为()

()2

2

69434n a n n n =-+-=--

当3n =时，n a 取得最小值。 故选：A

13．B

解析：B 【分析】 由122n n a a n n +=++转化为11

121n n a a n n +??-=- ?+??

，利用叠加法，求得23n

a n =-，即可求解. 【详解】 由122n n a a n n +=+

+，可得121

12(1)1n n a a n n n n +??-==- ?++??

，

所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+

11111

111222*********n n n n n n ????????

=-+-+-++-+ ? ? ? ?-----??????

??

122113n n ??

=-+=- ???

，

所以102143105

a =-=. 故选：B. 【点睛】

数列的通项公式的常见求法：

1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；

2、对于递推关系式可转化为

1

()n n

a f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式； 3、对于递推关系式形如1

n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.

14．C

解析：C 【分析】

令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2

+12n b n =，从而可得

12

+

n a n n =，作差得()()()

+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<

<，

由此可得选项. 【详解】

令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113+

+122

n

n n b n --==，所以2+1212+n n

b n a

n n n n

===， 所以()()()()+13+41212+1+

++1+1n n n n a a n n n n n n -??-=-= ???，

所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，

故选：C. 【点睛】

本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.

15．B

解析：B 【分析】

由111n n n n a a a a ++-=+，且113

a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】

因为111n n n n a a a a ++-=+，且11

3

a =， 所以111n

n n

a a a ++=

-， 21

132113

a +

∴==-，33a =-，412a =-，513a =，??， 4n n a a +∴=.

123411

···2(3)()132

a a a a ∴=??--??=.

则{}n a 的前2021项之积50511

133

=?=.

故选：B

【点睛】

方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.

16．C

解析：C 【分析】

根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】 选项A. ()

1

1n a n n =-,当1n =时，无意义.所以A 不正确.

选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时，()2111

22221126

a =

=≠???-，故B 不正确. 选项C.

11122=-，111162323==-?，1111123434==-?，1111204545==-? 所以11

1

n a n n =

-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111

1012

a =-=≠,故D 不正确. 故选：C

17．B

解析：B 【分析】

讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】

已知数列{}n a 满足1N a *

∈，1,2

+3,n

n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数

. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

③若13a =，则26a =，33a =，46a =，

，以此类推，可知对任意的n *∈N ，

2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意

的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，

，以此类推，可知对任意的n *∈N ，

2n n a a +=，

此时，{}n a 为周期数列；

⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2

n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2

n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.

下面说明，当19a ≥且1N a *

∈时，数列{}n a 不是周期数列.

（1）当(

34

12,2a ?∈?

且1N a *

∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列； （2）假设当(

()1

12,23,k k a k k N +*?∈≥∈?

且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(

()1

212

,23,k k a k k N ++*

?∈≥∈?

时. 若1a 为正偶数，则(11

22,22

k k a a +?=

∈?，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则(

(1

213

2132

3,232,2k k k k a a ++++??=+∈++???且2a 为偶数，

由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.

综上所述，当19a ≥且1N a *

∈时，数列{}n a 不是周期数列.

因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】

本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．

18．B

解析：B 【分析】

先由题中条件，得到2

12

21i i i a a a +-=+，由累加法得到20

2211

221k k a a ==-∑

，根据00a =，

()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.

【详解】

由11i i a a +=+得()2

221121i i i i a a a a +=+=++，

则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，

……，

2202022121a a a -=+，

以上各式相加可得：()21120

2

21

0221

2 (20202)

k

k a a a a a a

=-

=+++++=∑，

所以20

22121

1220

k k a a a ==--∑

，

又00a =，所以2

12

0211a a a =++=，则20

2211

221

k k a a ==-∑

，

因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或

2，

所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，

以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或

21±，

因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，

所以22112

2a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，

170，210；

则

20

1

k

k a

=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，

即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：

求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20

22121

1220

k k a a a ==--∑

，将问题

转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.

19．A

解析：A

【分析】

根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】

由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a ++++

+++++=+

3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++

=+++=+=.

故选：A

20．D

解析：D 【分析】

根据题意，得到1n n n a a b ++=，12n

n n a a +=，求得22a =，推出1

1

2n n a a +-=，进而可求出10a ，11a ，从而可求出结果.

【详解】

因为n a ，1n a +是方程220n

n x b x -+=的实数根， 所以1n n n a a b ++=，12n

n n a a +=，

又11a =，所以22a =；

当2n ≥时，1

12n n n a a --=，所以

11

112n n n n n n

a a a a a a ++--==， 因此4102232a a =?=，5

111232a a =?=

所以101011323264b a a =+=+=. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型.

二、多选题 21．ABD 【分析】

构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，

所以当时，，

即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数，

即， 即， 所以 ，

解析：ABD 【分析】

构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】

由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102

a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122x

f x x x

-'=-

=--， 所以当01x <<时，0f x ，

即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2?? ???

为单调递增函数， 即()()102f f x f ??<<

???

，

即()131

ln 2ln ln 1222

f x <<<+<+=， 所以()1

12

f x << ， 即

1

1(2)2

n a n <<≥， 所以

2112a <<，20201

12

a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，

1

12

n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 231

32131113ln(2)ln ln 222234

a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333

144

a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】

本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.

22．ABD 【分析】

对于A ，由题意得bn

＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3

解析：ABD 【分析】

对于A ，由题意得b n ＝

4

πa n 2

，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】

由题意得b n ＝

4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4π

a 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·

a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；

数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n

－1

2

＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋

(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；

由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·

a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】

此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题

23．BD 【分析】

根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】

解：因为数列的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ： ，符合题设； 选项C ：， 不符合题设； 选项D ： ，符合题设

【分析】

根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】

解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；

选项B ：0

1(1)12,a =-+=1

2(1)10,a =-+=

23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；

选项C ：，12sin

2,2

a π

==22sin 0,a π==

332sin

22

a π

==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=

3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.

故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

24．BD 【分析】

由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】

由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误

解析：BD 【分析】

由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】

由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；

753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；

()()()22

171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -??

--??=+=-+==--?? ??

?????，

当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.

n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.

25．BD 【分析】

设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】

设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等差数列，则，即， 解得，，

解析：BD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则81187

88282

S a d a d ?=+

=+，91198

99362

S a d a d ?=+

=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，

解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()21

9122

n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=?=，()2

8

88942

d S d -?=

=-，A 选项错误； 对于B 选项，()2

2

29272

d S

d -?=

=-，()2

7

79772

d S

d -?=

=-，B 选项正确；

对于C 选项，()2

298192224n d d S n n n ??

??=-=--?? ???????

.

若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.

26．AB