江西玉山一中高三上学期期末考试数学理

江西省玉山一中2010届高三上学期期末考试

数学理

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分

1.在等差数列｛ a n ｝中，若a i + a5+ a9=，贝V tan (a2+ a8)= ( )

4

A. -

B. .3

C.1

3

2

2.函数y log1(x 3x 4)的递增区间是(

2

A. (- , -1)

B.(,)

2

D. —1

)

C. ( , )

D. (4, + )

2

2 2

x y

3. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ ABC顶点A (—1, 0)和C (1, 0)，顶点B在椭圆一丄

4 3 则sinA sinC的值是()

si nB

1

A.1

B.2

C.

D.与点B位置有关

2

4. 已知直线x+ . 3 y-m=0与圆x2+y2=1交于A,B两点，则与OA + OB共线的向量为()

5. 在ABC中，a、b、c分别是角A、

B、C的对边，则a b是cos2A cos2B的()

B .充分非必要条件

D?既不是充分条件也不是必要条件

m〃，n〃，m n,则// 。其中正确命题的个数为(

7 ?已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为

f (x) log2(3x 1),贝y f (2009)( 1 上,

A.(- -.3

B.(-1,)

y/3

c.(亍1) D.(1, 3 )

A .必要非充分条件

C.充要条件

6.已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面，给出4个命题：①若m ,m ,则

②若// , m〃n, m ,则n n,且m〃，m〃,则m〃n ；

C. 3 D . 4

3

3,且x (0,-)时,

C. —2

D. log27

侧棱长为2J6，则此球的表面积

4;再染4后 面最邻近的3个连续奇数5、7、9;再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、

14、16;再染16后 面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列

1, 2, 4,

5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17,….则在这个红色子数列中，由 1开始的第2010个数是 （

A. 3948

B.3955

C.3957

D.3958

14.函数y sin(2x ), x 0, 的增区间为

3

15.

若存在x 2,3，使不等式2x x 2 a 成立，则实数a 的取值范围

为（ ）

A. 18

B. 36

C. 72

D.

2

9、已知椭圆 C 的方程为

y 2 4

1，双曲线 D 与椭圆有相同的焦点 F ,,F 2,P 为它们的一个交点,

uuu uuv

PF1CP F

0，则双曲线的离心率 e 为（ _5 2

.6 2

C 、

10.P(x,y)满足

，点A 的坐标是（1, 2）,若/ AOP=，则丨OP | cos 的最大值是（

A.

B.左

10

C.

11.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 1,0 对应到另一个平面直角坐标系

uO'v 上的点 、B 1,1、 2 P 2xy,x C 0,1 ,对应法则f 将xOy 平面上的点P /，则当点P 沿着折线A B C 运动时，在

x, y

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分

13 ?在右图表格中，每格填上一个数字后，使每一行成等差数列, 每一列成等比数列，则 a b c 的值是

2

0.5

1

甘

C

侧棱长为2J6，则此球的表面积是

16. 如图，正方体ABCD —A i B i C i D i,则下列四个命题

①点P在直线BC i上运动时，三棱锥 A —D i PC的体积不变；

②点P在直线BC i上运动时，直线AP与平面ACD i所成角的大小不变；

③点P在直线BC i上运动时，二面角P—AD i —C的大小不变；

④ M是平面A i B i C i D i上到点A和点C距离相等的点，则M点的轨迹是过D i点的直线

⑤N是平面ABCD内一动点，它到D i点的距离为它到直线BC的距离的2倍，

则点N的轨迹是双曲线

其中真命题的序号是_____________ (写出所有真命题的序号)

三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

i7.(i2 分)已知函数f(x) 2sin(—x -) i

8 4

(i)在所给的坐标纸上作出函数y f(x),x [ 2,i4]的简图.

⑵令g(x) f (x) f ( x) , x R.求函数g(x)的最小值以及取得最小值时所对应的x的集合.

答案，其中有7道题的答案有ioo%的把握是正确的，而其余3道题中，有两道可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因完全不会做只能乱猜，试求出该考生：

(1) 得50分的概率；

(2) 所得分数的分布列与数学期望.

19.(本小题满分12分)如图，等腰梯形ABRP2中，AB // RF2, BC RP?于C , AD RF2于D , AB BC 2, AP2 J6，将P2AD和RBC分别沿着AD和BC折起，使P2, P重合于一点P , AC 与BD交于M点，折起之后：

(I)求证：平面PBC 平面PAD ；

(n)求异面直线PD和AC所成的角；

(川)求二面角A PM B的大小.

20.(本小题满分12分)已知函数f (x) x 3ax (a R).

(1)当a 1时，求f (x)的极小值;

⑵若直线x y m 0对任意的m R 都不是曲线y f (x )的切线，求a 的取值范围;

参考答案

题号

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 答案

A A

B

D

C

C

C

B

B

A A C

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分 13.

14、 0,

, - , 15、a 1

16、①③④⑤

12 12

⑶设g (x ) |f

(X) |, x

1,,且 a 1

，求 g

3

(x )的最大值F (a )的解析式.

x 2

F 是椭圆C:-2 a 于点P ,线段MN 为椭圆的长轴,

21.(12分)如图，设

2 y_

已知 的左焦点，直线I 为其左准线，直线I 与x 轴交

⑴求椭圆C 的标准方程;

⑵若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点 A 、B .

求证：/ AFM = / BFN ; ⑶求△ ABF 面积的最大值. 22.(本小题满分

14分)

已知数列 a

5

满足：q

，且a n

2

4a n 1

1

(n 2,n

(1)设 b n

a

n

1

，证明数列b n 是等差数列;

1

求数列 a n

的通项公式;

(2)记 C n (n 1)?3n ?a n , S n 为数列 G 的前n 项和，求 S n ； (3)设 d n

a n a n 1 , T n 为数列d n 的前n 项和，证明T n

n 6(1 Inn).

|MN | 8，

x

三、解答题 本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. (1)列表:

35

40 45 50 P

1 4 7 1 3

9 36

36

x -2 2

6 10

14

--x 8 4 0 2

3

~2

2

f(x)

1

3

1

-1 1

.3分 1 35 40

3

19.(本小题满分12分)

45

36 50

1 475

36 12

12分

(I)证明：由已知得 PC PD 2, CD 2，所以 CPD 900，即 PC PD ,

..6分

2sin( x

8

4)

2sin( x

8

7)

2k

,k

Z 即

x {xx 8 16k,k

Z} 1

有两道题答对的概率为 - ，有 -道题答对的概率为

3

1 2 1 1

P( 50) (1)1

36

1 2 1 1

P( 35) (1 -)(1 - )-

3 3

C 2 1 1

1 1

2 1 4 P( 40) g ；g (1 )g(1 ) (1 ) g

3 3

4 3 4 9

1 2 1 J 1 1 1 7

P( 45) (1) g(1 -) 4 C 2 g 3g (1 3)g 4 36

?

的分布列为

时函数g(x)取得最小值

12分

10分

描点作图，得图象如下:

1&解:(1)

x 8

2 2 2

又PD AD , AD||BC ,??? PD BC , PD 平面PBC

???平面PBC 平面PAD. ............................... 4分

(n)解：设PB的中点为N，连接MN，则PD // NM ,

?CMN是异面直线PD和AC所成的角或其补角

[2

由(I)知MN CN，在Rt CMN 中，CM 、2 , MN 2

2，

?CMN 60。.

所以异面直线PD和AC所成的角为600. ............................... 8分

(川)(解法一)由已知得四边形ABCD是正方形，

? CM DM ,又PC PD ,? PMC PMD ,

过点C做CE PM于E，连接DE，则DE PM ,

贝U CED即二面角A PM B的平面角，

J6

在PMC 中，PM PC CM 、.2，所以CE DE —

2，

1

又CD 2，由余弦定理得cos CED

3

1

所以二面角A PM B的大小为arccos—. .................. 12分

3

(解法二)向量法

设O为CD的中点，则PO CD, PO OM ,以O为坐标原点，OM、OC、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,1), C(0 1 ,0,M (1,0,0), B(2,0), A(2 , 1,0),

LULT LULT

MB (1,1,0, MP ( 1 ,0 ,1),

LT

设平面PMB的法向量n i (1, y,z),

LT ILLT LT L LIT LT

由n MB 0,得y 1,由n1MP 0,得z 1,所以n1(1, 1,1),

IL

同理得平面PMA的法向量n2(1,1,1),

?- f(x)的极小值为f(1) 2

2

(2) T f (x) 3x 3a 3a

x ［0,1］时，有 f(x) x 3 3ax x(x 2

3a) 0

3a 1,

a = 4

2

又 |PM | 2|MF | 得 a 2(a c)，即 2e 2 3e 1

c ?- c = 2, b 2 a 2 c 2

12

ir uu cos 口, n 2

IT

uu

|n 1 ||n 21

所以所求二面角的大小为

1 -arccos-.

3

12分

2

20. ( 1)T 当 a 1 时，f (x) 3x 令 f (X )

当 x ( 1,1)时 f (x)

0 ,当 x ,1)U(1, )时 f (x)

??? f (x)在(1,1)上单调递减，在

,1］, 1,

上单调递增,

???要使直线 x y m 0对任意的 m R 总不是曲线 y f (x)的切线，当且仅当 3a ,

(3) 因 g(x) | f (x ) | | x 3 3ax |在

1,1上为偶函数，故只须求在 0,1上最大值

又 f (x) 3x 2 3a 3(x . a)(x 、a)

当,a 1 ,

即 a 1 时，g(x) | f(x)| f(x) , f(x)在［0,1］上单调递增，

F(a)

f(1)

3a

a 1时，有 g(x) | f (x) | f (x)在［0,、a ］上单调递增,

F(a)

［、a,1］

2a .a. 单调递减，故 F(a)

f (■■：『a) 2a ■■ ■ a 11

21 ?解:(1) T | MN |

8，故

.4^

2 2

椭圆的标准方程为L y 1

16 12

②当AB 的斜率不为0时，设A （x i ， y i ）， B （x 2， y 2）, AB 方程为x = my -8,代入椭圆方程 整理得(3m

4)y 48my 144

由厶> 0，贝U (48m)2 4 144(3m 2 4) 0 m 2 4

2my°2 6(% y ?) (my 1 6)(my 2

6) 二 k AF k BF 0，从而 AFM BFN 综上可知：恒有 AFM BFN

⑵?- C n (n 1)?3n ?a n (n 4)?3n

⑵①当AB 的斜率为0时，显然 AFM

BFN 0满足题意

y 2

48m 3m 2 4

y 〃2 144 3m 2 4

…

k

AF k

BF

y 2 x 2 2

比

y 2

my 1 6 my 2

6

(3) S ABF S PBF S PAF

1

-|PF |g|y 2

y 11 72 m 2—4 3m 2 4 72、m 2 4

2 3(m 2

4) 16 72 3 m 2

4

72 2*3 16

3.3

△ ABF 面积的最大值是 3.3

22、（本小题满分 14分)

解:

(1)

a n

1

3(a n 1

1) 1 a n 1 a

n 1

2， a n 1

3(

a

n 1

t n b n 1 1

—J b 2, b n 为等差数列

3 3

1 n 1 n 4

??? b n D (n 1)- 3 ,从而a n

n 1 3

m 2

28

(此时适合△ > 0的条件)取得等号 3

................ 12分

2 1 1 1) a n1 1

3

........................ ..2分

16

4

当且仅当3.冲^?-4即

①当n

2 时,ln 2 1

ln 2 2 e

0, n 2时，不等式成立；

②假设当 n k (k 2)时, 有1

1 1 1 ... 1 In k 成立

1 1

1 1

2 3

k 当n k 1时， 要使1 L 1

1 1 1 In k 成立

2 3

k k 1 k 1 1 k 1 1

只需证：1 Ink 丄 1 ln(k 1),即证：In J —

k 1 k k 1

人1 1 令 x 0,1 ,则不等式可化为：ln x k 1 1 x

即 ln(1 x) x,x (0,1) 令 f (x) ln(1 x) x ，则 f (x)

1

1 x 1 x

f (x)在(0,1)上是减函数

1

k 1 1

当x

时有ln

k 1 k k 1 当n k 1时,所证不等式对n

2的一切自然数均成立

S n C 1 C 2 L

C n 5?3 6?3 L (n 4)?3

2n 7?3n1 -

21

4

4

⑶d n

(n 4)(n 5)

2

n 9n 20

1 6 n 3

2

2

(n 1)(n 2)

n '3n

2

n

3n 2

d n 6(n 3)

1

6

T n

n “ 1 1 ,

1 1 2

5

6(1 - -L

-) n 3n

n

2 3

n

当n

1

时，

T 5 ,不等式的左边=7,不等式成立

当n 2时, T n n 6(1 1 1 .丄)

2 3

n

故只要证1 1 1

1 1 ln n(n 2),

2 3 n 如下用数学归纳法给予证明 .9

分

?1份

又f (x)在0,1上连续,

f(x) f(0) 0,故 ln(1 x)

综上所述,T n n 6(1 lnn)成立. .14分

.4^