专升本高等数学 第五章定积分及其应用

第五章 定积分

【考试要求】

1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质．

3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式．

5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积．

【考试内容】

一、定积分的相关概念

1．定积分的定义

设函数

()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点

0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，

把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，，1[,]n n x x -，

各个小区间的长度依次为1

10x x x ?=-，221x x x ?=-，，1n

n n x x x -?=-．在

每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤）

，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,

,i n =），并作出和1

()n

i i i S f x ξ==?∑．

记

12max{,,,}n x x x λ=???，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间

1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极

限I 为函数

()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作

()b

a

f x dx ?，即

1

()lim ()n

b

i i

a

i f x dx I f x λξ→===?∑?

，

其中

()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，

b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间．

说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说

()()()b

b b

a

a

a

f x dx f t dt f u du ==?

??．

2．定积分存在的充分条件（可积的条件）

（1）设

()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积．

（2）设

()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积．

说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上

一定可积；若

()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数()

f x 在区间[,]a b 上连续是

()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件．

3．定积分的几何意义

在区间[,]a b 上函数

()0f x ≥时，定积分()b

a

f x dx ?在几何上表示由曲线

()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积．

在区间[,]a b 上

()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴

所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b

a

f x dx ?

在几何上表示上述曲边梯形面积的

负值．

在区间[,]a b 上

()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴

的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分

()b

a

f x dx ?

表示x 轴上方图形的面积减去

x 轴下方面积所得之差．

二、定积分的性质

下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的． 性质1．当a

b =时，()0b

a

f x dx =?．

性质2．当a

b >时，()()b a

a

b

f x dx f x dx =-??．

性质3．

[()()]()()b

a

a

a

b

b

f x

g x dx f x dx g x dx ±=±??

?．

说明：该性质对于有限个函数都是成立的． 性质4．

()()b

b

a a

kf x dx k f x dx =?

? （k 是常数）

． 性质5．

()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+?

??．

说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性． 性质6．如果在区间[,]a b 上()1f x ≡，则 1b b

a

a

dx dx b a ==-??

．

性质7．如果在区间[,]a b 上

()0f x ≥，则

()0b

a

f x dx ≥?

（a b <）

． 推论（1）： 如果在区间[,]a b 上()()f x g x ≥，则

()()b

b

a a

f x dx

g x dx ≥?

? （a b <）

． 推论（2）：

()()b

b

a

a

f x dx f x dx ≤?

? （a b <）．

性质8．（估值不等式）设M 及m 分别是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，

则

()()()b

a

m b a f x dx M b a -≤≤-? （a b <）

． 性质9．（定积分中值定理）如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少

存在一点ξ，使得下式成立：

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-?

（a b ξ≤≤）

． 说明：该公式称为积分中值公式，

1()()b

a f f x dx

b a

ξ=-?称为函数()f x 在区间

[,]a b 上的平均值．

三、积分上限函数及其导数

1．积分上限函数的定义

设函数

()f x 在区间[,]a b 上连续，并且设x 为[,]a b 上的一点，由于()f x 在区间

[,]a x 上仍旧连续，因此定积分()x a

f x dx ?存在．这里，x 既表示定积分的上限，又表示

积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以把积分变量改用其 他符号，例如用t 表示，则上面的定积分可以写成

()x

a

f t dt ?

．如果上限x 在区间[,]a b 上

任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它在[,]a b 上定义了一 个函数，记作()x Φ：()()x

a x f t dt Φ=? （a x

b ≤≤）

，这个函数即为积分上限 函数（或称变上限定积分）．

2．积分上限函数的导数

定理1：如果函数

()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()()x

a

x f t dt Φ=?在

[,]a b 上可导，并且它的导数

()()()x

a d x f t dt f x dx

'Φ==? （a x b ≤≤）

． 定理2：如果函数

()f x 在区间[,]a b 上连续，则函数()()x

a

x f t dt Φ=?就是()f x 在

[,]a b 上的一个原函数．

说明：对于积分上限函数的复合函数()

()

()x a

x f t dt ?Φ=?

，

求导法则可按下述公式进行： ()

()()[()]()x a

d x f t dt f x x dx ???''Φ==?．

若积分下限为函数()x ?，即()

()

()a

x x f t dt ?Φ=?

，求导法则可按下述公式进行：

()()()()(())[()]()a x x a

d d

x f t dt f t dt f x x dx dx ????''Φ==-=-??．

若积分上限和下限均有函数，即()

()

()

()h x x x f t dt ?Φ=?

，求导法则可按下述公式进行：

()()

0()0

()()()(()())h x h x x x d d x f t dt f t dt f t dt dx dx ??'Φ==+???

()

()00(()())[()]()[()]()h x x d f t dt f t dt f h x h x f x x dx

???''=-=-??．

四、牛顿——莱布尼茨公式

定理3：如果函数()F x 是连续函数

()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数，则

()()()b

a

f x dx F b F a =-?

．

这个定理表明，一个连续函数在区间[,]a b 上的定积分等于它的任一个原函数在区间

[,]a b 上的增量，这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法．通常把上述公式称为

微积分基本公式．

五、定积分的换元法和分部积分法

1．定积分的换元法

设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，函数()x t ?=满足条件：

（1）()

a ?α=，()

b ?β=；

（2）()t ?在[,]αβ（或[,]βα）上具有连续导数，且其值域[,]R a b ?

=，则有

()[()]()b

a

f x dx f t t dt β

α

??'=?

?．

说明：应用换元公式时有两点值得注意：① 用()x t ?=把原来变量x 代换成新变量t 时，积分限也要换成相应于新变量t 的积分限；② 求出

[()]()f t t ??'的一个原函数()t Φ后，

不必像计算不定积分那样再要把()t Φ变换成原来变量x 的函数，而只要把新变量t 的上下限分别代入()t Φ中然后相减就行了．

例如：计算0

a

?

（0a >）

解：设sin x

a t =，则cos dx a tdt =，当0x =时，0t =，当x a =时，2

t π

=

．

于是

2

2

2

22

00

cos (1cos2)2a

a tdt t dt ππ

==

+?

??

2

2

20

1sin 22

24a a t t π

π??=+=????．

2．定积分的分部积分法

依据不定积分的分部积分法，可得

()()()()()()()()b b

b

a

a a u x v x dx u x v x dx u x v x v x u x dx ????'''==-?????

??

[]()()()()b b

a a

u x v x v x u x dx '=-?，

简记作

[]b

b

b

a a

a

uv dx uv vu dx ''=-?

? 或

[]b

b

b

a a

a

udv uv vdu =-?

? ．

这就是定积分的分部积分公式．

3．定积分的两个简便公式

（1）若

()f x 在[,]a a -上连续且为奇函数，则()0a

a

f x dx -=?；若()f x 在[,]a a -

上连续且为偶函数，则

()2()a

a

a

f x dx f x dx -=?

?．

（2）设

220

sin cos n

n n I xdx xdx π

π

==??，则

当n 为正偶数时，13312

422

n

n n I n n π--=?????- ； 当n 为大于1的正奇数时，13

422

53

n

n n I n n --=

????- ．

六、无穷限的广义积分

1．函数在无穷区间[,)a +∞上的反常积分

设函数

()f x 在区间[,)a +∞上连续，取t a >，如果极限lim ()t

a

t f x dx →+∞?存在，

则称此极限为函数

()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分，记作()a

f x dx +∞

?

，即

()lim ()t

a

a

t f x dx f x dx +∞

→+∞=?

?，

这时也称反常积分

()a

f x dx +∞

?

收敛；如果上述极限不存在，则函数()f x 在无穷区间

[,)a +∞上的反常积分()a

f x dx +∞?

就没有意义，习惯上称为反常积分()a

f x dx +∞

?

发

散，这时记号

()a

f x dx +∞

?

就不再表示数值了．

2．函数在无穷区间(,]b -∞上的反常积分

设函数

()f x 在区间(,]b -∞上连续，取t b <，如果极限lim ()b

t

t f x dx →-∞?存在，

则称此极限为函数

()f x 在无穷区间(,]b -∞上的反常积分，记作()b

f x dx -∞?，即

()lim ()b

b

t

t f x dx f x dx -∞

→-∞=?

?，

这时也称反常积分()b

f x dx -∞

?

收敛；

如果上述极限不存在，则称反常积分()b f x dx -∞

?发

散．

3．函数在无穷区间(,)-∞+∞上的反常积分

设函数

()

f x 在区间

(,)

-∞+∞上连续，如果反常积分

()f x dx

-∞

?

和

()f x dx +∞

?

都收敛，

则称上述两反常积分之和为函数()f x 在区间(,)-∞+∞上的反常积分，记作

()f x dx +∞

-∞

?

，即

00

()()()f x dx f x dx f x dx +∞

+∞

-∞

-∞

=+?

??

，

这时也称反常积分

()f x dx +∞

-∞

?

收敛；否则就称反常积分()f x dx +∞-∞

?

发散．

4．无穷限广义积分的计算方法

设

()F x 为在[,)a +∞上的一个原函数，若lim ()x F x →+∞

存在，则反常积分

[]()()()()lim ()()a a x f x dx F x F F a F x F a +∞

+∞

→+∞

==+∞-=-?；

[]()()()()()lim ()b

b

x f x dx F x F b F F b F x -∞-∞→-∞

==--∞=-?；

[]()()()()lim ()lim ()x x f x dx F x F F F x F x +∞

+∞

-∞-∞

→+∞

→-∞

==+∞--∞=-?

．

说明：当()F -∞与()F +∞有一个不存在时，反常积分

()f x dx +∞

-∞

?

发散．

七、求平面图形的面积

1．X

-型区域

X -型区域是指：平面图形是由上下两条曲线()

y f x =、

()

y g x =（

()()f x g x ≥）及直线x a =、x b =所围成，面积计算公式为

[()()]b

a

A f x g x dx =-?．

2．Y -型区域

Y -

型区域是指：平面图形是由左右两条曲线

()x y φ=、()

x y ?=（()

()y y φ?≥）及直线y c =、y d =所围成，面积计算公式为

[()()]d

c

A y y dy φ?=-?．

【典型例题】

【例5-1】计算下列定积分．

1．

52

cos sin x xdx π

?

．

解：原式25

62

111cos (cos )cos 0()666xd x x π

π

??=

-=-=--=?????

．

2．

1

ln e

x

dx x

?

． 解：

21

11ln 11

1ln (ln )ln 022

2e

e

e x dx xd x x x ??===-=?????

?．

3．2

26

cos

xdx π

π?

．

解：22

2

2

6

6

6

1cos 211cos ()sin 22226468x xdx dx x π

π

π

π

π

ππππ

+??==-+=-????

?

?．

4．

1

32l

(115)dx x -+?．

解：原式1

123221l 1151(115)(115)5(115)52512

d x x x ---??=+=-+=??+???． 5．

22

tan xdx π

?

．

解：原式[]2

2

4

4

400

(sec 1)sec tan 12

2

2

x dx xdx x π

π

π

π

π

π

=

-=-

=-

=-

?

?．

6

．

π

?

．

解：

3

2

sin cos x x dx π

π

π

==?

?

?

3333222

2

2

2

2

2

sin cos sin cos sin (sin )sin (sin )

x xdx x xdx xd x xd x ππ

π

π

ππ=-=-????552

2

2

02

22224sin sin ()555

55x x π

π

π????=-=--=????????．

7

．

a

?

（0a >）

． 解：设sin x

a t =，则cos dx a tdt =，当0x =时，0t =；当x a =时，2

t π

=

．故

222220

01cos 224a

a

a tdt a π

ππ==??=

?

?．

8

．

4

?

．

t =，则21

2

t x -=，dx tdt =，且当0x =时，1t =； 当4x

=时，3t =．

故

2334

3320

11112112(3)3223t t dt t dt t t -+??==+=+?????

?? 127122

(9)(3)2333

??=

+-+=????． 【例5-2】计算下列定积分． 1．

cos x xdx π

?

．

解：

[][]000

cos (sin )sin sin cos 2x xdx xd x x x xdx x π

π

π

π

π

==-==-?

??．

2．

12

arcsin xdx ?

．

解：

[

]1112

2

20

1arcsin arcsin 26xdx x x π=-=?+?

?

1

1222

001(1)1212122x ππ-=+=+-?．

3．

1

ln e

x xdx ?

．

解：

2

2

2

2

1

1111

1ln ln ()ln 22222e

e

e e e x x x e x x xdx xd x dx dx x ??==-?=-?????

???

22

222111

()242444

e

e x e e e ??+=-=--=????． 4

．

4

?

．

解：令

t =，则 2x t =，2dx tdt =，且当0x =时，0t =；当4x =时，2t =．

故

4

2

2

2

2

000022()22t

t

t t

te dt td e te e dt ??===-??????

2

22

4222t

e e e ??=-=+??． 【例5-3】计算下列广义积分．

1．

x e dx +∞

-?

．

解：

00

lim ()(1)011x

x

x

x e dx e e +∞

+∞

---→+∞??=-=---=+=???

．

2．

2

1

1

1dx x

+∞

+?

． 解：

[]2

11

1arctan lim arctan arctan11244

x dx x x x πππ+∞

+∞

→+∞==-=-=+?

． 3．

211dx x +∞

-∞+?．

解：

[]21arctan lim arctan lim arctan 1x x dx x x x x +∞

+∞

-∞-∞→+∞→-∞

==-+? ()22

π

π

π=

--=．

4．

2

211sin dx x x

π

+∞?

． 解：

2

222111111

sin sin ()cos lim cos 01x dx d x x x x x x π

π

π

+∞

+∞+∞→+∞??=-==-=?????

?． 【例5-4】计算下列积分上限函数的导数．

1

．0d dx ?．

解：0d dx =?．

2

．20x d dx

?．

解：220()2x d x dx '==?

3．1sin ln(1)x d t dt dx

+?．

解：1sin sin 1ln(1)ln(1)cos ln(1sin )x

x d d t dt t dt x x dx dx +=-+=-+??．

4．3

2arctan x x d tdt dx

?． 解：323322

arctan arctan ()arctan ()x x d tdt x x x x dx

''=?-??

2323arctan 2arctan x x x x =-．

【例5-5】求下列极限．

1．20

cos lim

x

x t dt x

→?

．

解：应用洛必达法则，22

0cos cos lim

lim 11

x

x x t dt x x

→→==?． 2．0

2

arctan lim

x

x tdt x

→?．

解：0

2

0arctan arctan 1

lim

lim 22

x

x x tdt x x x →→==?（0x →时，arctan ~x x ）． 3

．2

2

lim

x x x

→?

．

解：2

2

002lim

lim 12x x x x x x x

→→→===?． 4．2

2

2

20

()lim

x

t x

x t e dt te dt

→??

．

解：2

22

2

2

2

2

2

00

20

20

()

2lim

lim

2lim

2lim 2x

x

x

t t x t x x

x x x x x t e dt e dt e

e dt e x

xe

te dt

→→→→?====????

．

【例5-6】设函数

2,0,()1,0,1cos x xe x f x x x

π-?≥?

=?-<

+? 计算 41

(2)f x dx -?． 解：设2x t -=，则dx

dt =，且当1x =时，1t =-；当4x =时，2t =．

于是

2

4

2

21

110

1(2)()1cos t f x dx f t dt dt te dt t ----==++?

???

2

2

02

2

2

1

02

10

111()tan 2222cos 2

t t t dt e d t e t ----????=-

-=-?????????

? 4111

tan 222

e -=-+．

【例5-7】计算定积分

1

21

(sin )x x x dx -+?

．

解：

1

1

1

1

2

2

2

31

1

1

(sin )sin 20x x x dx x x dx x xdx x dx ---+=+=+?

???

1

4011242

x ??==????．

【例5-8】求下列平面图形的面积． 1．计算由两条抛物线2

y x =和2y x =所围成的平面图形的面积．

解：此区域既可看成X

-型区域，又可看作Y -型区域．按X -型区域解法如下：

两曲线的交点为(0,0)和(1,1)，故

面积

1

3

1

2

32

0021211

)3

3333S x dx x x ??=-=-=-=?????．

2

x =，直线y x =-及1y =所围成的平面图形的面积．

解：按Y

-型区域来做，先求出图形边界曲线的交点(0,0)、(1,1)-及(1,1)，故

面积

1

31

22

0021217

)3

2326S y dy y y ??=+=+=+=?????．

3．计算由曲线2

2y x =和直线4y x =-所围成的平面图形的面积．

解：此区域既可看成X -型区域，又可看作Y -型区域，但按Y -型区域解较为简便．先

求两曲线的交点，由 224

y x

y x ?=?=-? 可解得交点为(2,2)-和(8,4)，故

面积4

2

4

232

21

1(4)41822

6y S y dy y y y --??=+-

=+-=?????．

【历年真题】

一、选择题

1．（2010年，1分）设2

()x t x e dt ?-=?，则()x ?'等于（ ）

（A ）2

x e

- （B ）2

x e

-- （C ）2

2x xe

- （D ）2

2x xe

--

解：2

22

20()()2x t x x x e dt e x xe ?---'??''==?= ???

?，选项（C ）正确． 2．（2010年，1分）曲线2y

x =与直线1y =所围成的图形的面积为（ ）

（A ）23 （B ）34 （C ）4

3

（D ）1

解：曲线2y

x =与曲线1y =的交点坐标为(1,1)-和(1,1)，则所围图形的面积为

1

3

1

2

1

14(1)33x x dx x --??-=-=???

??．选项（C ）正确． 3．（2010年，1分）定积分

2

2

cos x xdx -?

等于（ ）

（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）1

2

解：因被积函数cos x x 在[2,2]-上为奇函数，故2

2

cos 0x xdx -=?

．选（B ）

． 二、填空题 1．（2010年，2

分）

=?

．

解：由定积分的几何意义，

?

表示曲线y =0x =，1

x =

和x 轴所围成的图形的面积，即14

圆面积，故2

01144ππ=??=?． 2．（2009年，2分）设21

()ln 1x

f t dt x x =+-?

，则()f x = ．

解：等式

21

()ln 1x

f t dt x x =+-?

两边对x 求导可得，

21

()(ln 1)2f x x x x x

'=+-=+

． 3．（2009年，2分）由曲线x y e =，y e =及y 轴围成的图形的面积是 ．

解：曲线x y

e =与直线y e =的交点坐标为(1,)e ，故所围图形的面积为

1

1

00

()1x

x S e e dx ex e ??=-=-=???． 4．（2007年，4

分）积分

1

e

?

的值等于 ．

解：

11

2

2

1

1

1

(1ln )(1ln )2(1ln )2e

e

e

x d x x -??=++=+=-?????

?．

5．（2006年，2分）积分

2

11x

x e dx e --=-? ．

解：

22

21111(1)ln 11ln(1)11x x x x x e dx d e e e e e ------??=--=--=-+??--??．

6．（2006年，2分）30

ln(1)

lim

sin x

x t dt t x x

→+=-?

． 解：当0x →时，

30

ln(1)0x

t dt t +→?

，sin 0x x -→，故原极限为“0

”型的 极限，应用洛必达法则可得，

333

00ln(1)ln(1)

ln(1)lim

lim lim

sin 1cos (1cos )x

x x x t x dt x t x x x x x x →→→+++==---?

302

lim 212

x x x x →==?． 7．（2005年，3分）

3

1

23

1

(sin )x x x e dx -+=?

．

解：[1,1]x ∈-时，2

3sin x

x 为奇函数，在对称积分区间上的定积分为零，故

3

3

31

1

1

232111111(sin )()33

x x

x x x e dx x e dx e e e ---??+===-??????．

三、计算题

1．（2010年，5分）求定积分

1

ln e

x xdx ?

．

解：

2

2

2

1

111

ln ln ()ln (ln )222e

e

e

e x

x x x xdx xd x d x ??==-?????

??

22222

222111111

2222242444

e

e

e

e x e x e x e e e dx dx x ??+=-?=-=-=-+=??????．

2．（2010年，5分）求定积分

1

0x x

dx

e e -+?．

解：1

111

220000()arctan arctan 11()4

x x x x x x x dx e dx d e e e e e e e π-??====-??+++???． 3．（2008年，5分）求定积分

2

sin x xdx π

?

．

解：用分部积分法，

[]2

22200

sin (cos )cos cos x xdx xd x x x xdx π

π

π

π

=-=-+?

??

[]200sin 1x π

=+=．

4．（2008年，7分）求广义积分

2

x xe

dx +∞

-?

．

解：

2

220

11111lim ()()022222x

x x x xe dx e e +∞

+∞

---→+∞??=-=---=+=?????

．

5．（2007年，5

分）求定积分

xdx．

解：用分部积分法，

[

00

arctan(arctan) xdx x x xd x

=-

22

220 00

1111

(1)ln(1)

3132132

x dx d x x

x x

?

=-?=-+=-+

?

++

1

(2ln20)ln2

323

=--=-．

6．（2006年，4分）设函数

1

sin,0

()2

0,

x x

f x

π

?

≤≤

?

=?

??其它

，求

()()

x

F x f t dt

=?

在(,)

-∞+∞内的表达式．

解：当0

x<时，0

()()()0

x

x

F x f t dt f t dt

==-=

??；当0xπ

≤≤时，

00

1111

()()sin cos cos

2222

x

x x

F x f t dt tdt t x

??

===-=-+

??

??

??；当xπ>

时，

000

11

()()()()sin cos

22

x

F x f t dt f t dt f t dt tdt t

π

ππ

π

+∞??==+==-??

??????

11

()1

22

=--=．故

()()

x

F x f t dt

=?在(,)

-∞+∞内的表达式为

0,0

11

()()cos,0

22

1,

x

x

F x f t dt x x

x

π

π

<

?

??

==-+≤≤

?

?

>

??

?．

7．（2006年，4分）求定积分

1

x

x e

e dx

+

?．

解：

1

11

000

x x x

x e x e e e

e dx e e dx e e e

+??

=?==-

??

??．

8．（2005年，5分）求定积分2

2

2

sin

4cos

d

π

π

θ

θ

θ

--

?．

解：222

222002sin sin 122(cos )4cos 4cos 4cos d d d π

ππ

πθθθθθθθθ-==----???

令cos t

θ=，则当0θ=时，1t =；当2

π

θ=

时，0t =．

故原式0

111221

0001111(2)

2

2()4422222dt dt d t dt t t t t t

+=-==+=--+-+?

??? 11100011111

(2)ln 2ln 2(ln3ln 2)22222

d t t t t ????--=+--=-????-? 11

(0ln 2)ln322

--=． 9．（2005年，8分）求由曲线ln y x =与直线0y =，1x e

=，x e =所围平面图形的

面积． 解：因曲线ln y x =与直线1x e =

和x e =的交点分别为1

(,1)e

和(,1)e ，故所围图形的面积

1

1

111

1

ln ln ln ln e

e

e

e

S xdx x dx xdx xdx =+=-+????

[][]1

1

111111ln ln e e

e

e

x x x dx x x x dx x x =-+?+-???

11201(1)2e e e e e

=-+-+--=-．