数理方法

第一章习题

作业一 (2+2+4+2)：

1. 求下列复数的实部、虚部、模、主值幅角： ;524321)1(i

i

i i ---- 3)3()2(-+i

2. 解方程：;08)1(3=+i z 031)32()2(2=+-+-i z i z

3. 画出下列关系所表示的z 点的轨迹的图形，确定它是否为区域：

;2||1Im )1(<>z z 且 ;3Re 24/)1arg(0)2(≤≤π<-

02||)4(π<<

4. 下列函数在复平面上哪些点不连续？ ;1

)1(2+=

z z

w z w a r g )2(=

作业二 (4+2+2+2+2)：

1. 已知解析函数f (z ) 的实部 u (x , y ) 或虚部 v (x , y )，求此解析函数：

;)2(,)1(2)1(i f y x u -=-= 0)2(,

)2(2

2=+=

f y x y

υ

2. (1) 利用极限的性质证明Hospital 法则：若)(),(z z f ?在0z 点解析，0)()(00==z z f ?，

,0)(0≠'z ? 则)

()()()(lim

000z z f z z f z z ??''=→；(2) 求极限z e z z 1

lim 0-→

3. 设 3z w =确定在沿负实轴割破的 z 平面上，且i i w -=)(，求)(i w -及)(i w -'

4. 解方程 ;31)1(i e z += 3/t a n

)2(i z =

5. 对y i x z +=，计算 |)exp(|)2(|;sin |)1(2z i z 。

第二章习题

作业三 (2+1+1+3+3)： 1. 计算积分 (1) ?

++-=i

dz x i y x Q 10

21,)( 积分路径是直线段

(2) ,)(2?-=

L n a z dz

Q n 是整数，L 是以a 为圆心、r 为半径的上半圆周

2. 利用积分不等式证明：

,|)(|22π≤+?dz y i x L

其中L 是以0为圆心、半径为1的右半圆周

3. 计算积分 ?

+--+=i

dz z Q 22

21)2(

4. (1) 已知ξξξξξd z

z f ?=-++=3||21

73)(，求)1(i f +'；

(2) 计算积分,1||dz z e z z

?=从而证明πθθπθ=?0

cos )cos(sin d e

5. 分别针对以下条件，计算积分?-π=L z z z dz

e i Q 3

)1(21

(1) z =0在L 内，z =1在L 外；(2) z =1在L 内，z =0在L 外；(3) z =0，z =1都在L 内

第三章习题

作业四 (2+6+2)：

1. 计算下列级数的收敛半径：;2

)1(1k

k k z k ∑∞

= k k k k z ∑∞

=-+1])1(2[)2(

2. 将下列函数在z =0展开为幂级数，并指出其收敛范围： ;)1(1

)1(3z - ;s i n )2(0dz z z z ? 2

11)3(z z ++

3. 将函数2

)(+=

z z

z f 展开为 (z –1) 的幂级数，并指出其收敛范围

作业五 (6+4)：

1. 将以下函数在指定环域内展开为洛朗级数：

∞<<<<-+||1,1||0,)

1(1

)

1(2

z z z z z

∞<-<--|1|0),11

exp()1()2(2

z z

z 2||0,)1(1

)

3(2

2<-<+i z z

提示：利用泰勒展开∑∞

=<+=-0

2

1||,)1()1(1k k

q q k q

2. 求出下列函数的奇点(包括∞)，并判断奇点的类型，指出极点的阶数

2

1

cos

)4()3(;

tan )2(;11)1(2272

--+-z z z z e e z

z

第五章习题

作业六 (4+6)：

1. 求下列函数在各孤立奇点 (包括∞) 处的留数：

)()1()4(;c o s )3();

11

exp()2(;

)1)(1()1(22

N m z z z

z z z z z

m

m

∈+-+-

2. 计算围线积分： ;1

)2(;

s i n )

1(1|1|44||?

?=-=+z z z dz

z z dz

),,1||,1|(|)()()3(1||N n b a b a b z a z dz

z n

n ∈≠<<--?

=

作业七 (8+2)： 1. 计算实变积分

;1

1

)1(4

2?∞

+∞-++dx x x ?

+∞

∞

-++;20

4sin )2(2dx x x x

?

?

π

π

θθ

+<θ+θ-20

2

20

2

cos 11

)4();1|(|cos 211

)

3(d b d b

b

2. 计算主值积分

?+∞

∞->+)0()(sin 22a dx a x x x

第六章、第七章习题

作业八 (每题2分)：

1. 长为l 的均匀细杆，两端都有强度为q 0的恒定热流流入。写出此热传导问题的边界条件。

2. 匀质的弹簧原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止。放手任其振动，写出定解条件。

3. 求解初值问题22)0,(,sin )0,(,x x u x x u u a u t xx tt ===。

4. 求解偏微分方程032=--yy xy xx u u u 的通解。

5. 求解无界弦的强迫振动??

?===-x

x u x u x

t u u t xx tt sin )0,(,0)0,(sin

第八章习题 (一)

本章计算题可能用到： (1) 对)(N n l

n k n ∈π

=

和函数)(x f ， l

n n n n l

n

k x f k x f k x f x k dx x f x k 05)4(3)2(0...)])()()()(cos([)()sin(++--=? l

n

n n n l

n k x f k x f k x f x k dx x f x k 06)5(4)3(2)1(0

...)])()()()([cos()()cos(++-=? (2) 对不为零的常数p 、q 、r ，常微分方程

r qx y p y +=-''2的通解

2

21)(p r

x q e c e c x y x p x p +-

+=- (3) 对常数p ，常微分方程

)(x f y p y =+'的通解

ξξ+=?-ξ-d f e e

c x y x

x p x

p )()(0

)(

作业九 (2+5+3)：

1. 对两端固定的弦，求解自由振动??

?

??===π=>π<<=0

)0,(,sin 3)0,(0),(),0()0,0(2x u x x u t u t u t x u a u t x x t t

2. 已知长为l 的均匀细杆初始温度分布为l x x x u <

(1) 杆的两端保持绝热； (2) 杆的左端温度恒为零，右端绝热。

3. 用分离变量法求解边值问题

??

?

??-====<<=+)1()0,(,0)1,(0

),1(),0(1,0,0x x x u x u y u y u y x u u yy x x

第八章习题 (2)

作业十 (2+3+2+3)：

1. 求解纯强迫振动??

?

??====+=0

)0,(,0)0,(0),(),0(2x u x u t l u t u x A u a u t x x t t

2. 求解矩形区域b y a x <<<<0,0上泊松方程的定解问题???

??=====+====0

||0||0

0b y y y a x x yy x x u u u u A

u u

3. 长为l 的均匀细杆左端固定于x =0，处于静止平衡状态。从t =0开始一直有一个沿杆长方向的力加在杆的右端，每单位面积的力为Q 。求 t >0时，杆上各点的位移。

4. 长为l 的均匀细杆侧面绝热，初始温度为0。杆的一端x =l 温度永远保持为0，另一端 x =0的温度随时间直线上升，即 0,|0>==c t c u x 为常数。求t >0时，杆的温度分布。

作业十一 (每题2分)：

求解以下二维区域的狄利克雷问题：

1. 圆内区域?????=<=?=?ρρcos |)

(02A u a u a

；

2. 圆环区域???

??=??=?<ρ<=?0

),(sin ),()(021212r u r u r r u ；

3. 扇形区域???

???===β

；

4. 圆外区域????

???=?ρ+=>ρ=?∞

→ρ=ρ0

)cos (lim 0|)(002E u u a u a ；

5. 圆内区域?????=<-=?=0

|)(42

a u a u ρρ ，已知4)(2

22=+?y x

第十四章习题

作业十二 (每题2分)：

1. 在x =0的邻域求解常微分方程0)22()1(2

=μ+'+-''-y y x m y x 的幂级数解，其中

0≥m 是常数。参数 μ 取哪些值，可使幂级数解退化为多项式？

2. 计算积分

dx x P x dx x P x P x l l l 21

1

211

1

])()[1()2(;

)()()1(??-+-'-

3. 将函数3

)(x x f =按勒让德多项式展开。

4. 对半径为1的带电球面，已知球面上的电势分布为)cos 3cos 21(|2

01θθυ++==r u ，

0υ为常数。求出球面内部和球面外部各点的电势。

5. 有一个球心在原点的均匀球体处于稳定状态，球面上温度分布为?θ==cos sin |a r u 。 求解球内的温度分布。

第十五章习题

作业十三 (每题2分)：

1. 在x =0的邻域求解拉盖尔 (Laguerre) 方程0)1(=+'-+''y y x y x λ。参数λ取哪些值，可使幂级数解退化为多项式？若某个解是n 次多项式，且最高项系数为 (–1)n ，则称之为拉盖尔多项式，记为L n (x )。对n =0, 1, 2, 3, 写出 L n (x ) 的表达式。

2. 对a >0，计算含贝塞尔函数的积分： dx x J x dx x J a

a

??0

1400)()2(;

)()1(

3. 有一个无穷长的圆柱体，半径为R ，初始温度为u 0，表面温度维持为0，求柱体内温度的变化。

4. 半径为R 的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面H R u t )/1(|2

2

0ρ-==，膜上各点初速度为零。求解膜的振动情况。

5. 长为l 、半径为a 的圆柱型空腔内电磁振荡的定解问题为???????=??=??==+?===0||0

|002l z z a z u z

u u u u ρλ，证明：

电磁振荡的固有频率为...,2,1,0,)()(220

=+==n l

n a x c c m πλω，0

m x 是)(0x J 的第m 个正零点。

第九章、第十章习题

作业十四 (每题2分)：

1. 对a >0，求下列函数的傅里叶变换：

|)|e xp()2(;)

sin()

1(x a x

x a -

,2. 已知

,0,1

)()(2222b a a x a x d f <<+=+-?∞

∞-ξξξ求未知函数)(x f 。

(提示：对等式两边作傅里叶变换，利用卷积定理)

3. 用傅里叶变换法求解初值问题???=+==)

(|02x f u u

t u a u t xx t 。

4. 计算积分

dxdydz z y x z x z

x y

)2()1()()cos()1(2+δ-δδ++???

∞

∞

-； dx x x sin )1()

2(2?

∞

∞

--δ

5. 用傅里叶变换法求解初值问题???δ=+==)

(|02x u Au

u a u t xx t 。