导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中得应用(1)

一、教学目标

1、理解函数得单调性与导数得关系；会利用导数研究函数得单调性。

2、会用导数求不超过三次得多项式函数得极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次得多项式函数最大值、最小值。

3、理解函数在某点取得极值得条件；

二、知识梳理

１、给出下列命题：

①若在区间上就是增函数,都有

②若在区间上可导,则必为上得单调函数

③若对任意,都有，则在上就是增函数

④若可导函数在区间上有，则区间上有

其中真命题得序号就是

2、下列结论中正确得就是

①若，则就是函数得极值

②若在内有极值，则在内不就是单调函数

③函数得极小值一定小于它得极大值

④在定义域上最多只能有一个极大值与一个极小值

3、求函数在最值得一般步骤为：(1）；（2）；（3）。

三、诊断练习

题1:函数得单调减区间就是__________．

题2。函数有极 ___值_____.

题3.函数得最大值就是________、

题４。函数在处取得极小值.

要点归纳

（1）要熟悉求函数单调区间、求极值得一般步骤方法，如诊断练习题１、题2

（２)分析原函数、导函数得图象，牢记“正增负减”四个字，即“导数得正负决定原函数得增减”。遵循此规律，函数得增减性、极值情况一目了然.

四、范例导析

例1、已知函数、（1）判断函数得奇偶性;（2）求函数得单调区间、

【变式】：已知函数，求函数得单调区间。

例2：设函数,已知就是奇函数。

(１）求、得值。 (2）求得单调区间与极值。

例3：已知函数，其中ｅ就是自然对数得底数、

（1)证明:就是Ｒ上得偶函数；

（2)若关于得不等式≤在上恒成立,求实数得取值范围；

注：分离参数后，也可利用基本不等式去处理得范围。

变式：已知函数。

（１）若函数在上就是增函数,求得取值范围;

（2)若在时取得极值，且时，恒成立，求得取值范围。

五、解题反思

1、与初等方法相比，导数在研究函数性质时,具有一般性与有效性。运用导数知识，我们可以解决一些非整式型函数得单调区间、最值问题。牢记求导公式就是根本,同时一定要熟练掌握求单调区间,求极值、最值得解题基本步骤.如例1

2、要注意函数在处取得极值得充要条件，体会就是函数在区间上单调递增得充分不必要条件，注意端点处情况得讨论.如例３得第（1）问。

3、求字母参数得取值范围问题,可考虑生成一个恒成立得不等式，最终转化为函数求最值问题。如诊断练习４，例3第（２)问。

4、要会读图、识图。要搞清楚原函数图像与其导函数图像之间得相互关系,这对概念得理解、作三次函数得简图等都大有裨益。

课后作业

1、函数y＝1

x＋2lｎx得单调减区间为_＿__＿＿__。

2、若函数f(x）＝e x－ax在x＝1处取到极值,则ａ=_____＿__.

３、函数f (x)＝sinx＋错误!ｘ在区间[0，２π］上得值域为_____＿__.

4、已知函数f（x）＝－＼f（1，2)ｘ2+blnｘ在区间[错误!，＋∞）上就是减函数,则b 得取值范围就是＿_______。

５、已知函数ｆ（x)=alｎｘ-ax—3（a∈R）.

(1) 当a>0时，求函数f(x）得单调区间；

(２）若函数y＝f(x)得图象在点（2，f(2)）处得切线得倾斜角为45°，且函数g（x）=错误!x2＋nｘ＋mf′（x）(m，n∈R）当且仅当在x=１处取得极值,其中f′（x)为ｆ(x）得导函数，求m得取值范围。

6、已知函数f（x）＝ax+lｎx,x∈（１，e),且f(ｘ）有极值.

（１）求实数a得取值范围;

（2) 求函数f(x）得值域。