动画弯曲应力

第六章 弯曲应力

授课学时：6学时

主要内容：纯弯曲的正应力；横力弯曲切应力。

$6.1 梁的弯曲

1．横力弯曲

横截面上既有Q 又有M 的情况。如 AC 、DB 段。 2．纯弯曲

某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD 段。

3．梁的纯弯曲实验

（1）现象：横向线a-b 变形后仍为直线，但有转动；纵向线变a a 变为曲线，且上面压缩下面拉伸；横向线与纵向线变形后仍垂直。

（2）中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。

（3）中性轴：中性层与横截面的交线。

a

a b b

m

m

纵向对称面

$6.2纯弯曲时的正应力

1．变形几何关系

从梁中截取出长为dx 的一个微段，横截面选用如图所示的z y -坐标系。图中，y 轴为横截面的对称轴，z 轴为中性轴。从图中可以看到，横截面间相对转过的角度为θd ，中

m

m

性层'

'o o 曲率半径为ρ，距中性层为y 处的任一纵线（纵向纤维）'

'b b 为圆弧曲线。因此，纵线bb 的伸长为

θθρθρθρyd d d y dx d y l =-+=-+=?)()(

而其线应变为

ρ

θρθεy d yd bb l ==?=

纵向纤维的应变与它到中性层的距离y 成正比。

2．物理关系

梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为

y E

E ρ

εσ=

=

m

dA

x

z

该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比。中性轴z 上各点的正应力均为零，中性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。

3．静力关系

横截面上坐标为),(z y 的点的正应力为σ，截面上各点的微内力dA σ组成与横截面垂直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量，即平行x 轴的轴力N ，对z 轴的力偶矩z M 和对轴的力偶矩y M ，分别为

?=A

dA N σ，?=A

y dA z M σ，?=A

z dA y M σ

考虑左侧平衡，

∑=0X ，∑=0y

M

，得

?==A

dA N 0σ， ?==A

y dA z M 0σ

横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩z M

??

==

=A

A

z M dA y E

dA y M 2ρσ

式中积分

z A

I dA y =?

2

是横截面对中性轴z 的惯性距，上式可写成为

EI

M

=

ρ

1

式中，Z EI 越大，则曲率

ρ

1

越小。因此，Z EI 称为梁的抗弯刚度。将该式代入y E

E ρ

εσ=

=，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式

z

I My

=

σ 即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹入的一侧受压。 则截面上的最大正应力为

z

I My max

max =

σ $6.3横力弯曲时的正应力

1．横力弯曲时的正应力

横力弯曲时的细长梁，即截面高度h 远小于跨度l 的梁，横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，能够满足精度的要求。

横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式

z

I y M max

max max =

σ 引入符号 max y I W z

z =，则截面上最大弯曲正应力可以表达为 W

M max max =σ ，强度条件为

[]σσ≤=

W

M max

max z W 称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关。矩形截面和圆截面

的抗弯截面模量分别为：

高为h ，宽为b 的矩形截面：62

12223

bh h

bh h I W z ==

=

直径为φ的圆截面：322

642

33

d d

d d I W z

ππ===

2．例题

受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）1——1截面上

1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； 解：画M 图求截面弯矩

kNm qx qLx M 602221=???

? ??-=

求应力

45123

301832.51012

18012012m bh I z --?=??==

341048.62

/m h I W z

z -?==

MPa I y M z 7.6110832

.560

605121=??-==

=σσ MPa W M z 6.921048

.66041max 1=?==

σ MPa W M z 2.1041048

.65

.674max max =?==

σ $6.4 弯曲切应力

1．矩形截面中的弯曲切应力

1）矩形截面中的弯曲切应力假设

大小：矩形横截面中弯曲切应力方向与剪力方向相同。

方向：高宽比较大的矩形截面中的弯曲切应力沿宽度均匀分布。 2）研究方法：分离体平衡。

在梁上取微段dx ，在微段上再取一块如图，列平衡方程：

0'12

=--=∑bdx N N

X τ（1）

z z

A A z

I MS dA y I M

dA N *111

1==

=??σ（2）

()

()z

z

A A z

I S

dM M dA y I dM M dA N *1121

1

+=

+=

=??

σ（3）

（3）带入（1）、（2）得z

Z

bI S dx dM *

'

=τ

由剪应力互等得

z

Z

bI S dx dM *

'

=

=ττ ??

???

? ??--===1

2

2211*4A h

y

z

y h dy by dA y S 于是

???

? ??-=

2242y h I Q

Z

τ

()()x dQ x

+

Q (M (

)()

x dM x +y

并0=y 时有ττ5.123max ==

bh

Q

2．工字钢截面

工字形截面可以看作由三个矩形截面组成，因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。

仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式z

z bI QS *=τ。

?

???????? ??-+??? ??-+????????? ??-+??? ??-=*

y h y y h b h H h h H B S z 22122221222

将此式代入弯曲剪应力公式，可得腹板上弯曲剪应力的计算公式

()

?????????? ??-+-=2222428y h b h H B b I Q Z τ

将0=y 时，在截面中性轴上时，在腹板与翼缘的交2

h

y ±

=带入上式，得

()??????--=8822max

h b B BH b I Q Z τ ??

????-=8822min

Bh BH b I Q Z τ

3．圆形截面梁

32

*

32342R R R S z

=?=ππ，R b 2=，4

2

R I z π=

2

*max 34R

Q

b I QS z z πτ== $6.5梁的正应力和剪应力强度条件 、提高弯曲强度的措施

1．弯曲正应力和剪应力强度条件

梁在弯曲时，横截面上一部分点受拉应力，另一部分点受压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面，对于拉压强度不等的材料，拉压应力均不应该超过各自的许用应力。于是强度条件为

[]σσ≤=

W

M max

max ，[]ττ≤max 例 求T 形截面梁的最大切应力。

D

4kN

Q

x

解：

（1）求支反力

kN R A 5=，kN R B 5.11=

（2）作剪力图

kN Q 5.6max =

（3）求最大切应力

34333*max ,104.7710

4410201088m S z ----?=?????= 461063.7m I z -?=

Pa b

I S Q Z z

4*

max max 1030.3?==

τ

2．提高弯曲强度的措施

1）梁的合理受力(降低最大弯矩m ax M ) (1)合理放置支座(从设计方案考虑) 双杠，等强，min max M M = 以剪支梁为例，最大弯矩为

8

2max

ql M = 若两端支座各向中心移动l 2.0，最大弯矩减小为

40

2max

ql M = （2)合理布置载荷(从使用方案考虑)

2）合理设计截面形状(增大抗弯截面模量z W ) （1）梁的截面优化

W

M max

max =

σ ，对于宽b ，高为h 的矩形，抗弯截面模量Ah Ah W z 167.06== 。

因此，高度越大，z W 越大，max σ越小。

在外边缘达到许用应力时，中性轴附近的应力很小，造成材料的浪费。例如：圆形截面。理想的情况是将面积之半分布于距中性轴为2

h 处。

a.塑性材料[][]c t σσ= 上、下对称 抗弯更好，抗扭差。

b.脆性材料[][]c t σσ<

采用T 字型或上下不对称的工

字型截面。

3）等强度梁-截面沿杆长变

化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。

由()()[]σσ==

x W x M max 得 ()()

[]

σx M x W =

若图示悬臂梁为等强度梁。等宽度h ，高度为x 的函

数，b=b(x)。则()Px x M 2

1

=

()()()[][]σσPx

x M h x b x W 2

16

2

===

得出()[]x h P x b 2

3σ=

按剪切强度确定截面宽度的最小值m in b 。

[]ττ===h

b P

h b Q min min max

212323

A/2

Z

h

[]

τh P

b 43min =

由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯梁(加工方便)。

课件制作中插入Flash动画的方法

在日常教学中用Ａｕｔｈｏｒｗａｒｅ、ＰｏｗｅｒＰｏｉｎｔ能制作十分精美的课件，但由于使用了大量图片、声音、动画，所以文件比较大，课件制作中最占空间的是声音和动画。对于动画，Ｆｌａｓｈ是很好的动画制作软件，并且文件体积很小，占用空间比较少，而且Ｆｌａｓｈ动画效果很好。如果在课件中加入一些Ｆｌａｓｈ动画，一方面可以减小课件的体积，另一方面为课件增色很多，下面谈谈如何插入Ｆｌａｓｈ动画。

１、Ａｕｔｈｏｒｗａｒｅ７．０课件中插入Ｆｌａｓｈ动画

在Ａｕｔｈｏｒｗａｒｅ７．０中插入Ｆｌａｓｈ动画，常用的有两种方法：

方法一，利用ＡｃｔｉｖｅＸ控件插入Ｆｌａｓｈ动画

１）首先在流程中插入ＡｃｔｉｖｅＸ控件。在菜单中选择“Ｉｎｓｅｒｔ” （插入），选取“Ｃｏｎｔｒｏｌ”（控制），选定“ＡｃｔｉｖｅＸ”（控件），单击它。

２）弹出“ＳｅｌｅｃｔＡｃｔｉｖｅＸＣｏｎｔｒｏｌ”对话框，在对话框中，拖动“ＣｏｎｔｒｏｌＤｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ”列表框的滚动条，找到“ＳｈｏｃｋｗａｖｅＦｌａｓｈＯｂｊｅｃｔ”选项。

３）单击“ＯＫ”按钮，弹出“ＡｃｔｉｖｅＸＣｏｎｔｒｏｌＰｒｏｐｅｒｔｉｅｓ”对话框。

４）单击“Ｃｕｓｔｏｍ”（自定义）按钮，弹出“Ａｕｔｈｏｒｗａｒｅ属性”对话框。在“ＭｏｖｉｅＵＲＬ”（影片地址）后面的文本框中输入要播放的Ｆｌａｓｈ动画文件名（文件后缀名为．ｓｗｆ）和路径。选定“Ｐｌａｙ”复选框，否则将只显示一幅静止的图片；选定“Ｌｏｏｐ”复选框，重复循环播放Ｆａｌｓｈ动画，否则只播放一次。点击“应用”、“确定”回到“ＡｃｔｉｖｅＸＣｏｎｔｒｏｌＰｒｏｐｅｒｔｉｅｓ”对话框，再点击“ＯＫ”。此时流程上会出现一个ＡｃｔｉｖｅＸ控件的图标。

５）单击工具栏中的“控制面板”按钮，在弹出的控制面板中先单击运行按钮，在展示窗口中运行程序，再单击暂停按钮，暂停程序运行，出现Ｆｌａｓｈ动画窗口，然后拖动窗口四周的句柄，就可以调整Ｆｌａｓｈ动画窗口的大小和位置了。

方法二，利用链接的方法插入Ｆｌａｓｈ动画

１）在菜单中选择“Ｉｎｓｅｒｔ” （插入），选取“Ｍｅｄｉａ”（媒体）中的“ＦｌａｓｈＭｏｖｉｅ．．．”，打开对话框。

２）单击“Ｂｒｏｗｓｅｒ”（浏览）按钮，在“ＯｐｅｎＳｈｏｃｋｗａｖｅＦｌａｓｈＭｏｖｉｅ”对话框中选择Ｆｌａｓｈ动画文件（后缀为．ｓｗｆ）单击“Ｏｐｅｎ”（打开）按钮，单击“Ｏｋ”即可，此时流程上会出现一个ＡｃｔｉｖｅＸ控件的图标。

３）调整Ｆｌａｓｈ动画窗口的大小和位置的方法同方法一中的第五步骤。

２、ＰｏｗｅｒＰｏｉｎｔ２００３课件中插入Ｆｌａｓｈ动画

在ＰｏｗｅｒＰｏｉｎｔ中插入Ｆｌａｓｈ动画，常用的也有两种方法：

方法一，利用ＡｃｔｉｖｅＸ控件插入Ｆｌａｓｈ动画

在ＰｏｗｅｒＰｏｉｎｔ２００３中使用Ｆｌａｓｈ动画，首先要求系统安装ＦｌａｓｈＡｃｔｉｖｅＸ控件。打开ＰｏｗｅｒＰｏｉｎｔ２００３工作界面，在“视图”菜单中选取“工具栏”内的“控件工具箱”，打开“控件工具箱”面板。在“控件工具

箱”面板中选“其他控件”，用鼠标左键单击该按钮，打开系统安装的控件清单，从中选择“ＳｈｏｃｋｗａｖｅＦｌａｓｈＯｂｊｅｃｔ”。此时光标变成十字形，用鼠标在需要插入动画的地方拖动出一个方框（方框的大小表示演示窗口的大小），在所拖出的区域中，点击鼠标右键，选择“属性”。在打开的“属性”窗口中，选择“Ｍｏｖｉｅ”，在其后输入Ｆｌａｓｈ动画．ｓｗｆ的完整的路径和文件名，使用“幻灯片放映”命令，就可以看到Ｆｌａｓｈ动画的演示效果。

方法二，利用链接的方法插入Ｆｌａｓｈ动画

可用超级链接的方法，具体的步骤是：打开ＰｏｗｅｒＰｏｉｎｔ２００３工作界面，选择“插入”菜单中的对象，打开“插入对象”对话框；在对话框中，选择“由文件创建”，输入Ｆｌａｓｈ动画．ｓｗｆ文件的完整路径和文件名，按“确定”按钮退出；在幻灯片视图上，右击Ｆｌａｓｈ图标，在弹出的快捷菜单上，选择“动作设置”命令，在“动作设置”对话框中，选择“单击鼠标”选项卡中的“对象动作”单选框，在此单选框中选择“激活内容”，单击确定即可。使用“幻灯片放映”命令，就可以看到Ｆｌａｓｈ动画的演示效果。

３、Ｄｒｅａｍｗｅａｖｅｒ课件中插入Ｆｌａｓｈ动画

在Ｄｒｅａｍｗｅａｖｅｒ中，直接单击“ｏｂｊｅｃｔ”工具栏上的Ｆｌａｓｈ控件图标就可以插入ＳＷＦ文件了。