本科数学毕业论文
山西师范大学
毕业论文
论文题目：浅析Vandermonde行列式的
相关性质及其应用
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姓名郭燕华学号 09420773010 论文修改意见
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浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了Vandermonde 行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde 行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。
关键字: 行列式；Vandermonde行列式；Vandermonde
目录
第一章引言 (1)
第二章预备知识 (2)
2.1 定义 (2)
2.2 行列式的性质 (2)
2.3 行列式计算中的几种基本方法 (3)
2.3.1 三角形法 (3)
2.3.2 加边法或升级法 (4)
2.3.3 递推法或数学归纳法 (5)
第三章行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式 (6)
3.1 Vandermonde行列式的证法 (6)
3.2 Vandermonde行列式的性质 (7)
3.2.1 推广的性质定理]7[：行列式 (7)
3.2.2 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件 (9)
3.2.3 V andermonde行列式的偏导数]8[ (9)
3.3 Vandermonde行列式的翻转与变形 (11)
3.4 Vandermonde行列式的应用 (12)
第四章小结 (17)
第五章参考文献 (18)
第六章谢辞 (19)
引言
在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展，法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士·西尔维斯特(J.Sylvester,1814-1894)、雅可比(J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用]1[。美国当代数学家Bernard Kolman对行列式又做了进一步的解析与应用]2[。数学家Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收录到Recent Developments in Algebra and Related Areas一书中]3[。
本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。
2 预备知识
为了深入学习Vandermonde 行列式的性质及其应用，我们有必
要回顾一下行列式的相关知识。
2.1 定义1
行列式是由2n 个元素（数）ij α(j i ,=1,2,…,n )排成n 行n 列并写成
(1)
的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：
① 每项是n 个元素的乘积，这n 个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记n np p p a a a 2121为,式中n p p p ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。
②每项n np p p a a a 2121应带正号或负号，以1,2,…,n 的顺序为标准来比较排列(n p p p ,,,21 )的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项312312ααα排列(231)有2个逆序，即2在1之前，3在1之前,所以312312ααα应带正号；而
332112ααα中(213)的逆序为1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。 2.2 行列式的性质]4[
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 交换行列式的两行（列），行列式改变符号。
性质3 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于0。 性质4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数k ,等于以数k
乘这个行列式。
性质5 一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。
性质6 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么这个行列式等于0。
性质7 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于0。
性质8 设行列式D 的第i 行元素都可以表示成
=
D 1112111221
2
....................
n i i i i in in n n nn
a a a
b
c b c b c a a a +++,
那么D 等于两个行列式D 1与D 2的和，其中D 1的第i 行元素是12,,...i i in b b b ，D 2的第i 行元素是12,,...i i in c c c ，而D 1与D 2的其他各行都和D 的一样。同样的性质对于列来说也成立。
性质9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。
2.3 行列式计算中的几种基本方法
2.3.1 三角形法
就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行
列式，而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。 例1 计算n 级行列式
.......
.....................n x a a a a x a a D a
a
x a a a a x =.
分析 该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.可将第n ,,3,2 列（行）都加到第一列（行）（或第121-n ，，， 列（行）加到第n 列(行)），则第1（或n ）列（行）的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式. 解
1(1)...(1)...(1)...[(1)]()...............
(1)...
n n x n a a a
x n a a a
x n a x a
x a
D x n a x a x n a
a x
x a -+-+-+--=
=
=+--+--
2.3.2 加边法或升级法
例2 计算n 级行列式
12
3.........
..................n n
a b b b b a b b D b b
a b b
b
b a =
(,1,2,...,)
i b a i n ≠=
分析 该行列式的各行（列）含有共同的元素b b b ,,, 可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法），适当选择所增加行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素. 解
1
21...
000
n n
b b b a b b D b
a b b b
a 升级=12110010
01
n b b b
a b a b a b
------
=
1121n n b
b b
b
b
a b
a b
a b
a b
a b
+++
-----121
1
[1]()()()
n
n i i b a b a b a b a b
==+----∑
2.3.3 递推法或数学归纳法
例3 计算n 级行列式
2100012100012
0.
000210
1
2n D ----=
-- 分析 对于三对角或次三对角行列式，按其第1行（列）或第n 行（列）展开得到两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解. 解
12
112110000
21000120
012(1)(1)
2000210
1
2
n n n n D D D D +-------+-?-=---按第行展开
直接递推不易得到结果（按低级是可以的），变形得
12112(1)2(1) 1.
n n n D D D D n n n --=+=+=
=+-=+-=+
3 行列式的一种特殊类型——Vandermonde 行列式 定义2 我们把型如
n V =
1
21
11
12
1
1...1..................n
n n n n
a a a a a a ---=1()i j j i n
a a ≤<≤-∏
的行列式叫做Vandermonde 行列式，其中
1()i j j i n
a a ≤<≤-∏
表示12,,...i i in a a a 这n 个数
码的所有可能（i j a a -， j i <）因子共2
n c 项的乘积（2n ≥）。
3.1 Vandermonde 行列式的证法 方法一、消元法]6[
证：从第n 行开始，每一行加上前一行的1a -倍。根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有
n
V =)()
(...)(0)()
(...)
(0...
.........
(01)
1 (1)
112
1121122
213
1131123
21
111
2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n -------------------- =1?
)()
(...)()()(...)(...
............
12112112221
3
113112321
111
2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n -------------------- （按行列式首项展开得到）
=21111()...()()
n n a a a a a a ----231333
3231
222
223111 (11)
...............
.........n n
n n n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a -----------? (2) 注意到行列式（2）是1n -阶Vandermonde 行列式1-n V ，即已经将n V 用1-n V 表示出来。重复用上述方法对1-n V 进行求解，经过有限步可以得到：
1n V -=（(21a a -)…111()()n n a a a a ---）*(()32122()...()n n a a a a a a ----)…(1n n a a --)
=
1()i j j i n
a a ≤<≤-∏
即证。
方法二：数学归纳法
证：当2n =时,221V a a =-成立。假设对于1n -阶成立，对于n 阶有：首先要把n V 降阶，从第n 行起后一行减去前一行的1a -倍，然后按第一行进行展开，就有213111()()...()n n n V a a a a a a V -=---，于是就有n V =()i j a a -∏，其中∏表示连乘，,i j 的取值为2j i n ≤<≤，原命题得证。
方法一与方法二的实质与算法是一致的，可以说是同一种方法。 3.2 Vandermonde 行列式的性质 3.2.1 推广的性质定理]7[：行列式
[1]k V += 12
2
2212
1
11
1
2111121211...1......
...
.........
.....................n
n
k k k n k k k n n
n n n
x x x x x x x x x x x x x x x ---+++=1212......n k n k
p p p p p p x x x V --?∑ (k=0,1,2…n -1), 其中12,...n k p p p -是1,2,...n 中（n k -）个数的一个正序排列。
12...n k
p p p -∑
表示对所有
（n k -）阶排列求和。
证：（i ）在行列式[1]1,2(...)k n V x x x +中增补第（1k +）行和（1n +）列相应的元素考虑（1n +）阶Vandermonde 行列式
121
11112121
2111112121
1...11......
...
...
...
......()(,...,)........................n k k k k n n k
k k k n k k k k n n
n n n
n
x x x x x x x x f x V x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++==
=213111()()...()()n x x x x x x x x ----?
3222()...()()n x x x x x x ---? … … … … ()n x x - =121()()...()()n i j j i n
x x x x x x x x ≤<≤---?
-∏
(*)
(ii)由(*)式的两端分别计算多项式k x 中项的系数，在(*)左端，由行列式计算：k x 的系数为行列式中该元素对应的代数余子式[1](1)k n k V ++-?，在(*)式右端，由多项式计算12,...n x x x 为()0f x =的n 个不同根。根据根与系数的关系，k x 项的系数为
1212,...1(1)...(x -x )(0,1,2...1)n k n k
n k n k p p p i j p p p j i n
a x x x k n ----≤<≤=-?
?
=-∑
∏
，
其中12,...n k p p p -是1，2…n 中（n k -）个数的一个正序排列，12,...n k
p p p -∑
表示对所
有（n k -）阶排列求和。
（iii ）比较)(x f 中k x 项的系数，计算行列式]1[+k V ，因为(*)式左右两端k x 项系
数应该相等，所以
1212[1],...1(1)(1)...(x -x )n k n k
k n n k k p p p i j p p p j i n
V x x x --+-+≤<≤-?=-?
?
∑
∏
即 1212[1],...1...(x -x )n k n k
k p p p i j p p p j i n
V x x x --+≤<≤=
?
∑
∏
（**）
1212[1],...(1)...(0,1,2...1)n k n k
n k k p p p p p p V x x x V k n ---+=-??=-∑
定理得证。
利用此性质定理可以计算各阶准Vandermonde 行列式，简便易行。特别，当k n =时，令0p =1，
（**）式即为Vandermonde 行列式V 。 例4 计算准Vandermonde 行列式
1
2345622222212
3
4
5
6
[4]4444441234565555551234566
6666612
3
4
5
6
111111a a a a a a a a a a a a V a a a a a a a a a a a a a a a a a a =
解 由定理，n =6,k =3,所以 1
23123
[4]16
()p p p i j p p p j i V a
a a a a ≤<≤=
?
-∑∏
=
12312445616
(...)()i j j i a a a a a a a a a a a ≤<≤+++?
-∏
.
3.2.2 一个Vandermonde 行列式为0的充分必要条件是12,,,n x x x 中至少有两
个相等.
3.2.3 Vandermonde 行列式的偏导数]8[. 定理 121(,,
,)()n i j j i n
F x x x x x ≤<≤=
-∏
，
由Vandermonde 行列式的定义知，12(,,
)n F x x x 是12,,
,n x x x 的n 元函数.
例 5 设12,,
,n a a a 是n 个两两互异的数，证明对任意n 个数12,,
,n b b b ，存在
唯一的次数小于n 的多项式
1
()n
j i i j i
i j
x a L x b a a =≠-=-∑∏
，
使得()i i L a b =，1i n ≤≤.
证 从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且
()i i L a b =，
故只需证明唯一性即可. 设210121()n n f x c c x c x c x --=++++满足
()i i f a b =，1i n ≤≤，即
2101112111
2
1
02122212
210
121n n n n n n n n n n
c a c a c a c b c a c a c a c b c a c a c a c b ------?++++=?++++=???
?+++
+=?，
这个关于
011
,,
,n c c c -的线性方程组系数行列式为
211
112122
2
21111n n n n
n
n
a a a a a a a a a ---1()0i j j i n
a a ≤<≤=
-≠∏
，
故
011
,,
,n c c c -是唯一的，必须
()()f x L x =.
这就是有名的拉格朗日插值公式。 例6 设12(),(),,()n f x f x f x 是1n -个复系数多项式，满足
121211()()()n n n n n n x x f x xf x x f x ---++
+++
+.
证明： 121(1)(1)(1)0n f f f -==
==.
证
：设
2121()()()
n n n n n f x xf x x f x --+++1()(1)n p x x x -=++
+，取
22cos
sin
w i n n
ππ
=+，分别以21,,,n x w w w -=代入，可得
212122(2)
1211(1)(2)121(1)(1)(1)0(1)(1)(1)0(1)(1)(1)0
n n n n n n n n f wf w f f w f w
f f w f w f --------?+++=?+++=???
?+++=?，这个关于121(1),(1),
,(1)n f f f -的齐次线
性方程组的系数行列式为
22
2(2)1
(1)(2)
1
101n n n n n w w w w w w -----≠，
因此121(1)(1)(1)0n f f f -====.
3.3 Vandermonde 行列式的翻转与变形.
3.3.1 将Vandermonde 行列式逆时针旋转90，得
11(1)
11
2
1
1
11
1(1)
1
n n
n n n n n n n
n x x x x D x x ------=-.
3.3.2将Vandermonde 行列式顺时针旋转90，得
1111(1)2
22
111(1)
1
n n n n n
n n
n x x x x D x x ----=-.
3.3.3 将Vandermonde 行列式旋转180，得
1111
111
11
1n n n n
n n
n x x x D x x x -----=.
3．4 Vandermonde 行列式的应用
3.4.1 Vandermonde 行列式在Cramer 法则中的应用. 例7 设,,,21n a a a 是互不相同的数，求解下面的方程组
???????=+++=+++=+++----1
12121
11221
1211
n n n n n n n n n b x a x a x a b
x a x a x a x x x
.
解： 系数行列式为
1
121
121
1
11---=
n n
n n n
a a a a a a D
∏≤<≤-=n
i j j i a a 1)( =
k D ∏≤<≤-n
i j j i
a a
1)(，其中b a k =，所以
)
())(()1()
())(()(11111k n k k k k k n k k k k a a a a a a a b a b a a b a b D D x --------=
=
+-+- ，n k ,,2,1 =.
3.4.2 如何利用Vandermonde 行列式计算行列式]6[
法一 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde 行列式不完全相同，需利用行列好似性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将行列式化为Vandermonde 行列式。 例8 计算
n
n n n n n D
22222111=
解： n D 1
212122211111!
--=n n n n n n
)]1([)2()24)(23()1()13)(12(!-----?---=n n n n n !1!2)!2()!1(!?-?-?= n n n .
法二 利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde 行列式。 例9 计算)1(+n 阶行列式
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n
n b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a D 1
111212111112
1
2
22
2
222
122
11
112
1211
1111+-+++-++-++------+=
，其中0≠i b ，0≠i a ，
（1,,2,1+=n i ）.
解：提取1+n D 各行的公因式，得到
1
1
222
21
1111
211
)(1)(1)(
1---+?=n n n n
n
n n n
n n n n a b a b a b a b a b a b a a a D （Vandermonde 行列式）
上式右端行列式是以新元素1
122
11,,,++n n a b a b a b 为列元素的1+n 阶Vandermonde 行列式，所以
1+n D =?n n n n a a a 2
1∏
+≤<≤-1
1)(
n i j j
j
i i a b a b . 法三 如n 阶行列式n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且n D 中含有n 个分行（列）组成的Vandermonde 行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以（1-）加到（1+i ）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde 行列式。 例10 计算行列式
△4=
4
34233322
3222
13124
2
43
232221214
3
2
1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11
111
????????????????????++++++++++++. 解：在△4的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到
△4=
4
34233322
3222
13124
243
232221
214
3
2
1
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111
????????????????????++++++++
在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得到
△4=
4
33
32
32
1342
3222124
321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1
111
????????????=∏≤<≤-41)sin (sin i j j i ??. 法四 各行（列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用各种方法化成Vandermonde 行列式。下面用加边法。 例11 （缺行Vandermonde 行列式]1[）
n
n
n n
i n
i i i n
i i n i
n x x x x x x x x x x x x D
2
11
12111
121
121,1
11+++---=.
解：注意此行列式与Vandermonde 行列式的区别在于j x 的幂跳过i j x ，我们自然会想到把缺了的幂补起来，再利用Vandermonde 行列式，故令
n
n n
n n
i i
n
i i n
n n z x x x z x x x z x x x z x x x V
212
121
2111111),,,,(=
+
=),,,()())((2121n n n x x x V x z x z x z ?--- =),,,(21n n x x x V ∑=---?n
i i i n i n z 0)1(σ.
另一方面，对),,,,(211z x x x V n n +按最后一列进行Laplace 展开，可知i z 的代数余子式是i n i n D +-?)1(,.因此视),,,,(211z x x x V n n +为z 的多项式，则i n i n D +-?)1(,应是i z 的系数，故
i n i n D +-=)1(,?（i
z 的系数）),,,(21n n i n x x x V -=σ
=i
n -σ∏≤<≤-n
i j j i
x x
1)(.
注1
缺行Vandermonde 行列式也叫做超Vandermonde 行列式或准Vandermonde 行列式。
注2
① 利用此例中的添加一些行和列的方法，还可计算跳过两个幂的超Vandermonde 行列式，及其他行列式。
② 注意当i k x x =时，i n D ,0=，故i n D ,也含因子i k x x =。特别，知
),,,(),,,(2121,n n n i n x x x f x x x V D ?=.因i n D ,和),,,(21n n x x x V 都是齐次及对称多
项式[12]，故),,,(21n x x x f 应是i n -次齐次对称多项式。按11,,,x x x n n -的次序排列时，i n D ,的首项为`11+-i n n x x x （n V 的首项），故知f 的首项为`11+-i n n x x x ，由此可得到i n f -=σ.
法五 行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函数，利用行列式性质将这一行（列）元素化为全是1的元素。
例12 证明△3=b
a a c c
b
c b a c
b
a
+++222
. 证：将△3的第1行加到第3行上，得到
△3=
c b a c b a c b a c b a c b a
++++++2
2
2
=2
2
2
111
)(c b a c b a
c b a ++ ))()()((b c a c a b c b a ---++=.
3.4.3 Vandermonde 行列式在多项式理论中的应用[8]
例13 设多项式n h n h h x x x x f ααα+++= 2121)(，0≠i α，n i ,,2,1 =；
j i k k j i ≠≠,，},,2,1{,n j i ∈，则)(x f 不可能有非零且重数大于1-n 的根。
证明：反设0≠α是)(x f 的重数大于1-n 的根，则0)(,),(,0)()1('==-αααn f f f ，
进而0)(,),(,0)()1(1'==--αααααn n f f f 即
关于数学专业毕业论文题目
关于数学专业毕业论文题目 关于数学专业毕业论文题目 ★微分中值定理 ★高等代数 ★矩阵 ★极值 ★不等式 ★对学生评价的数学模型 ★反例在教学中的探索 ★保温瓶的优化与保温效果的分析 ★放缩法及其应用 ★数形结合思想 ★培养创造性思维的数学教学模式研究 ★双基教学在数学中的应用 ★数学教育学方向 ★集合论 ★不等式证明的若干方法 ★凸函数 ★谈“构造法”证明不等式 ★高等代数在几何中的应用 ★对称性在积分中的应用
★求极限的方法 ★不定方程 ★概率统计(三扇门选车问题) ★高等代数 ★证明积分不等求的几种方法 ★数学分析有关内容 ★不等式证明方法的探究及应用 ★高等代数方面线性方程组或非线性方程组相关问题★矩阵★矩阵方面 ★浅谈解不定方程的初等方法 ★高等代数 ★数学分析有关内容 ★数学分析有关内容 ★辅助函数在数学分析中的应用 ★矩阵方面 ★论小概率事件的发生 ★容斥原理的原理及其应用 ★数学教学中的理论联系实际 ★谈学生数学兴趣的培养 ★浅谈分类讨论数学思想的应用和实践★浅谈数学概念教学★反例在数学中的作用 ★数学美与解题 ★谈“数”“形”结合
★浅谈数形结合在中学解题中的应用 ★中学教学中的距离问题 ★古埃及分数运算中的拆分法则 ★可积函数连续点与第一类断点的分析与研究★变形在中学数学教学中的应用 ★关于数学课堂上教学如何调动学生积极性的探索★数字e的性质在微积分中的应用 ★数学探究对数学教学中的作用 ★如何理解与贯彻新课程标准 ★浅谈最值问题的解题方法 ★浅谈闭区间在连续函数的性质 ★浅谈数学不等式证明方法 ★“构造法”在中学数学解题中的应用★函数的值域与方程有解的关系 ★关于数学思维的培养与发展 ★浅谈高中女生的数学学习能力 ★因式分解的方法与应用 ★数学思想在中学数学教学中的应用 ★浅谈不等式证明的若干方法 ★浅谈变形技巧在数学解题中的应用 ★观察法及其在数学教育研究中的应用★学习高中数学的几点体会 ★谈数形结合思想在中学数学解题中的应用★反思数学中的一题多解问题
本科毕业生论文设计(数学专业)
***大学2016届毕业论文（设计） 论文（设计）题目浅谈小学数学课堂中学习兴趣的培养子课题题目 姓名 ******* 学号 ******10 所属院系数学系 专业年级数学与应用数学 指导教师 ******* 201**年 5 月
摘要 兴趣是最好的老师，学生兴趣的激发在提高教学质量上起到重要的作用，要想使初中生掌握新的数学知识,有用地引发学生的数学学习兴趣就显得尤为重要，兴趣是学习成功的诀要，是获取知识的开端，是求知欲望的基础。 我们都知道在数学课堂中有很多数学知识枯燥无味，很多学生因此不喜欢数学，那么数学课堂应该以活跃课堂气氛、提高教学质量为目标,将乏味的数学理论知识学习变得丰富有趣,将学生学习新知识的压力转变为学习的强大动力,有效地提高数学课堂的学习效率。本篇论文从学生现状分析、影响学生学习的兴趣的因素和如何提高学生学习兴趣三方面进行研究。 关键词：学生学习现状影响因素提高兴趣
Abstract Interest is the best teacher, students interested in the excitation to improve the quality of teaching plays an important role, in order to make the junior middle school students to master the new mathematical knowledge, effectively stimulate student's mathematics study interest is particularly important, because the interest is the secret of success in learning is beginning of knowledge, is foundation of the desire for knowledge. We all know that a lot of mathematical knowledge to dry in the mathematics classroom, many students are so don't like math, then mathematics classroom should to active classroom atmosphere, improving teaching quality as the goal, the tedious mathematical theory of knowledge, learning to become rich and interesting, students learning new knowledge to change the pressure of learning power, effectively improve the efficiency of mathematics classroom learning. This paper from the analysis of the current situation of students, the factors that affect the students' learning interest, how to improve the students' learning interest in three aspects. Key words: Students' learning situation, influencing factors, increasing interest
数学(本科)毕业论文题目汇总
数学毕业（学位）论文题目汇总 一、数学理论 1.试论导函数、原函数的一些性质。 2.有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。 3.数学中一些有用的不等式及推广。 4.函数的概念及推广。 5.构造函数证明问题的妙想。 6.对指数函数的认识。 7.泰勒公式及其在解题中的应用。 8.导数的作用。 9.Hilbert空间的一些性质。 10.Banach空间的一些性质。 11.线性空间上的距离的讨论及推广。 12.凸集与不动点定理。 13.Hilbert空间的同构。 14.最佳逼近问题。 15.线性函数的概念及推广。 16.一类椭圆型方程的解。 17.泛函分析中的不变子空间。 18.线性赋范空间上的模等价。 19.范数的概念及性质。 20.正交与正交基的概念。 21.压缩映像原理及其应用。 22.隐函数存在定理的再证明。 23.线性空间的等距同构。 24.列紧集的概念及相关推广。 25.Lebesgue控制收敛定理及应用。 26.Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 27.重积分与累次积分的关系。 28.可积函数与连续函数的关系。 29.有界变差函数的概念及其相关概念。 30.绝对连续函数的性质。 31.Lebesgue测度的相关概念。 32.可测函数与连续函数的关系。 33.可测函数的定义及其性质。 34.分部积分公式的推广。 35.Fatou引理的重要作用。 36.不定积分的微分的计算。 37.绝对连续函数与微积分基本定理的关系。 38.Schwartz不等式及推广。 39.阶梯函数的概念及其作用。 40.Fourier级数及推广。
41.完全正交系的概念及其作用。 42.Banach空间与Hilbert空间的关系。 43.函数的各种收敛性及它们之间的关系。 44.数学分析中的构造法证题术， 45.用微积分理论证明不等式的方法 46.数学分析中的化归法 47.微积分与辩证法 48. 积分学中一类公式的证明 49.在上有界闭域的D中连续函数的性质 50.二次曲线中点弦的性质 51.用射影的观点指导中学初等几何内容 52.用近代公理分析中学几何中的公理系统 53.球上Hardy空间上的加权复合算子 54.多圆盘上不同Bergman空间上的加权复合复合算子 55.从加权Bergman空间到Bloch空间的加权复合算子 56.从加权Bergman空间到加权Bloch空间的加权复合算子 57.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 58.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 59.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 60.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 61.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2. 62.试述函数在数学中的地位和作用。 63.阐明函数理论在高等数学中的地位和作用。 64. 浅谈微分学（或积分学）在中学数学教学中的应用 65.论在数学教学中培养学生的创新精神。 66.初等几何变换在中学数学（代数、几何、三角）中的应用 67.从随机方法（概率方法）处理非随机数学问题看数学的统一性。 68.构造函数证题的妙想与思维方法的特点 69.数学知识的分类及其教学策略 70.数学知识的分类测量与评价 71.关于导函数性态的讨论与研究 72.泰勒公式及其应用 73.概率方法在讨论其它数学问题中的一些应用 74.随机变量函数的分布密度及其求法 75.用微积分理论证明不等式的方法 76.数学分析中的化归法 77.微积分与辩证法 78.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 79.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 80.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 81.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 82.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2.
数学专业毕业论文的标准格式
数学专业毕业论文的标准格式 一、论文格式要求 一篇完整的论文应包括如下四部分： 第一部分：正文之前 (1)题目 (2)作者 (3)数学系?级?专业?班 (4) 指导教师名字 空一行 (5)摘要(中文)200字以内; (6)关键词3—5个 空一行 第二部分：正文 (1)引言; (2)主要结论和必要的论证。(可分成若干节讨论) 第三部分：参考文献：应依引用次序编号，注意书写的规范性。 例1：[1]陈世明.一类半线性双调和方程的整体解，应用数学[J],1994,7(1):85—92 说明：其中，[1]是文献出现的序号，陈世明是作者名，“一类半线性双调和方程的整体解”是论文的题目，“应用数学”是杂志的名称，[J]表 示杂志，“1994，7：85—92”表示发表的年份，卷、期、页(起止)码。 例2：[3]华罗庚.数论导引[M]. 北京：科学出版社，1985 说明：其中，[3]是文献出现的序号，华罗庚是作者名，“数论导引“书的题目，其后加[M]表示这是一本书，“北京：科学出版社”表示出版地点和出版社，“1985”表示出版的年份。 第四部分：英文部分
(1)英文题目 (2)作者姓名(拼音字母) (3)数学系?级?专业?班 (4)指导教师名字 (3)英文摘要; (4)英文关键词。 二、文字字体要求： 用A4纸打印，其中 (1)题目用2号宋体(粗); (2)小标题用4号黑体; (3)其他用5号宋体(中文)(英文用5号Times New Roman); (4)其他未说明的问题(如脚码、脚注等)按一般科技论文格式要求 三、其他 论文一律采用Word文档或Latex文档形式打印编排(尤其是符号、字母要用数学形态);要用统一的封面;在左侧装订。
数学专业本科毕业论文
理学院数学0301班杨瑞毕业论文第 1 页共 18页 杨瑞 （理学院数学与应用数学 0301班） 指导教师:宋文青摘要：正项级数收敛的判别法在级数的收敛法中占有极其重要的地位．常见的判别法有 比较判别法，达朗贝尔比值判别法，柯西判别法，高斯判别法,柯西积分判别法等．对于上述判别法，它们都有一定的条件限制，为了找到更简单，适用条件更广的判别法，国内 外学者或者在一般判别法的基础上做了推广或者提出了一些新的判别法． 近几年，关于正项级数收敛性判别法又有了一些新的研究，主要是针对一些新判别法 的适用条件进行了讨论．本文主要分两部分对正项级数的判别法进行了推广，第一部分对 比值判别法进行了推广，给出了比值判别法在失效情况下的判别方法，这也是本文的主要 部分，第二部分对比较判别法进行了推广．这些推广的新的判别法解决了原判别法的条件 限制，使其更具一般性，适用性更广． ：正项级数；收敛性；发散性；判别法 A Generalization of Convergence Criterion for Positive Progressions Yang Rui (0301 Mathematics and Applied Mathematics School of Science ) The instructor: Song Wen-qing
Abstract: Convergence Criterion for Positive Progressions holds the extremely important status in the progression． The common criterions include the comparison distinction law, reaches the bright Bell ratio distinction law, west the tan oak distinguishes the law, Gauss distinguishes the law, west the tan oak the integral distinction law and so on, but these distinction laws all have the certain condition limit． In order to find out more simply and more widely-used distinction laws, domestic and foreign scholars have made some promotion or worked out some new distinction laws． In recent years, there are several new researches about positive progressions astringency distinguished the law mainly aiming at discussing applicable requirements of new distinction 济南大学毕业论文用纸 理学院数学0301班杨瑞毕业论文第 2 页共 18页 law． This article was mainly divided in 2 parts to carry on the promotion of the series of positive progressions distinction law． The first part promotes specific value distinction law as
数学系毕业论文规范
闽江学院数学系 本科毕业论文 指导手册 （适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学） 数学系修订 二00九年十月
目录 一、前言 (3) 二、指导思想 (3) 三、指导要求 (3) 四、过程要求 (4) 五、写作规范 (5) 六、一般格式规范 (9) 七、答辩要求 (12) 八、评分要求 (12) 九、组织管理 (12) 十、评分标准 (13) 十一、其他 (15) 十二、附件： 1、闽江学院本科毕业论文(设计)封面 (16) 2、闽江学院毕业论文（设计）诚信声明书 (17) 3、闽江学院本科毕业论文(设计)题目审批表 (18) 4、闽江学院毕业生毕业论文(设计)任务书 (19) 5、闽江学院毕业论文(设计)开题报告 (22) 6、闽江学院毕业论文(设计)中期检查表 (24) 7、闽江学院毕业论文(设计)成绩指导教师评定表 (25) 8、闽江学院毕业论文(设计)成绩评阅教师评定表 (26) 9、闽江学院毕业论文(设计)答辩记录表 (27) 10、闽江学院毕业论文(设计)答辩成绩评定表 (28) 11、闽江学院毕业论文(设计)系答辩委员会决议书 (29) 12、闽江学院毕业论文(设计)成绩汇总表 (30)
一、前言 本科生毕业论文，是对学生四年学习的专业基础知识和研究能力、自学能力以及各种综合能力的检验。通过做毕业论文(设计)，可以使学生在综合能力、治学方法等方面得到锻炼，使之进一步理解所学专业知识，扩大知识面。随着经济、社会和科技的发展，对高等学校人才培养质量和培养模式提出了新的、更高的要求，需要相应提高本科生毕业论文的质量和要求。为使我系本科生毕业论文管理工作进一步科学化、规范化，参考学校毕业论文指导手册并结合数学学科自身特点，制订本手册。 二、指导思想 毕业论文工作的目的是要进一步巩固和加强对学生的基本知识和基本技能训练，加强对学生的多学科理论、知识与技能综合运用能力的训练，加强学生创新意识、创新能力和获取新知识能力的培养，鼓励学生运用所学知识独立完成课题；培养其严谨、求实的治学方法和刻苦钻研、勇于探索的精神。 毕业论文具有学术论文性质，应能表明作者在科学研究工作中取得的新成果或提出的新见解，是作者的科研能力与学识水平的标志。毕业论文具有学术论文所共有的一般属性，应按照学术论文的格式写作。 在毕业论文选题与写作中，要注意适应２１世纪经济、社会发展需要，注意理论结合实际，充分体现专业人才培养目标的要求。要特别强调对学生创新精神的培养，注意提高其科研能力；既要遵循科学研究的一般规律，又要符合本科教学的基本要求。 三、指导要求 1.指导教师要熟悉所指导学生的论文研究方向，有一定的教学经验和较高的学术水平。 2.指导教师要为学生分析论文题目、设计主题，指定必要的参考书和研究信息并指导学生收集有关资料，为学生审定论文提纲和初稿，并提出修改方案。 3.指导教师在学生进行毕业论文写作期间应随时掌握学生毕业论文的进度
数学与应用数学本科毕业论文
学号：20090430２2 TONGREN UNIVERSITY 本科毕业论文 浅谈回归分析在葡萄酒等级评估的应用 何继铭 系别:数学与计算机科学系 学科：理学 专业：数学与应用数学专业 指导教师：夏林丽 贵州●铜仁 ２013年０6月
Tongren university 数学与应用数学专业本科毕业论文 贵州●铜仁 2013年06月
目录（理科) 1。引言?错误!未定义书签。 2．问题描述............................. 错误!未定义书签。 3.问题分析?错误!未定义书签。 ４。模型的建立与求解.................... 错误!未定义书签。 4。１建立模型?错误!未定义书签。 4。2 模型求解........................ 错误!未定义书签。5．小结.............................. 错误!未定义书签。 6.参考文献.............................. 错误!未定义书签。 7．感谢信?错误!未定义书签。
浅谈回归分析在葡萄酒等级评估的应用 数学与计算机科学系数学与应用数学专业何继铭 摘要 葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标在一定程度上反应葡萄酒和葡萄的质量,针对这类问题，通过分析酿酒葡萄和葡萄酒成分之间关系的原理及对所给样本数据进行分析和处理，建立相应的回归模型，进而得到酿酒葡萄的好坏直接影响葡萄酒的等级的结论。 关键词：葡萄酒回归分析理化指标
Dｉｓcuｓｓion oｎ the applicａｔion of reｇ ression aｎalysis ｉn Winｅ Assessｍｅｎt Mathematics anｄ Cｏmｐuｔer SｃieｎcｅDepartment Mathematｉcs ａnd Ａｐpｌｉed Maｔhｅmaｔicｓ Hｅ Jiｍing ABSＴRACT P hysical and cｈeｍicａl inｄicａｔｏrs oｆ wine anｄ winｅ grape ｄeteｃｔion rｅaction tｏａ certaiｎ eｘteｎt thｅ qualitｙｏf wine and grapes, foｒ sｕch probleｍs bｙａnaｌyｚing ｔhe pｒinciple ｏf ｔｈｅ relａtｉｏnshｉp between wine ｇｒape and winｅ comｐｏsitio ｎｔo ｔhe samｐｌe ｄata anａlｙsis and pｒocｅssinｇ, to estabｌish the apprｏｐriateregrｅssiｏn model， and then geｔ the wｉne grａpes diｒect iｍpａct oｎthｅ level of tｈe concｌusions oｆ thｅwｉne。 Keyｗords：ｍodｅl wｉne regｒessｉｏn ａnａlｙsiｓｐhysicocheｍiｃal iｎdex
小学生数学论文范文十篇
小学生数学论文范文十篇 小学生数学论文是考验小学生数学学习的成果，讲数学知识运用到实际生活中，实现小学数学的生活化，调动小学生的学习兴趣，实现学以致用。以下学术堂整理了十篇小学生数学论文范文，供参考！ 小学生数学论文范文一： 论文题目：数学知识的生活应用 数学是一个多姿多彩，奥妙无穷的世界，在这个世界里有很多技巧和策略能解决许多现实中的问题。今天我就来说一说关于植树的问题，这也是我在寒假中第一次运用数学知识来解决实际问题。 大年三十的早上，我和妈妈怀着激动得心情坐上开往淮安的长途大巴，当车开出南京行驶在高速公路时，路两旁的行道树引起了我的注意，一棵棵挺拔的大树站在路的两旁，像一个个士兵一样守卫着高速公路。眼前迅速闪过的树影让我兴起了数树的兴趣，但是车开的太快所以无法数清每一棵树，我发现两棵树之间的距离足以让我看清，所以我决定数段来知道有多少棵树。从高速公路到服务区一共有256段，而且两头都没有树，我想了想：头尾都没有树的话，只要减去头尾的两段就可以得到从高速公路到服务区一共有多少棵树了，所以这一段路有256-2=254（棵）大树。我对这种类似的题目起了兴趣。
我看了看表又想了想：现在是9:50,那么我从10:00到10:30观察一下一共有多少棵树，这样的问题就变成了植树问题中的两端都有树。首先，客车在10点准时从服务区出发，我选取了第一棵树，30分钟过去后，一共有178段，而且两头都有树，我默默的想到：哎，这题有点难呀！我突然想到利用手指伸出来判断段与棵的关系，一目了然，只要在段的数量上加1就可以得到棵树，原来30分钟的时间看到的树一共有178+1=179（棵）树。太有意思了！让我再来试试一头有树一头没树的植树问题吧！现在是11:00,我又选取了一棵大树，开始数段一直到高速公路的出口收费站，数了366段，我又伸出手指来看一看，啊！这个很有意思，棵等段，有多少段就有多少棵树，按这样，这一段路一共有366棵树。其实植树问题还可以拓展为计算路程长短，甚至可以解决速度的问题，这里就不一一列举了。 这一趟的旅程，让我明白了许多的数学知识，可以有效的利用在生活中，它和生活息息相关，它可以为我们解决许多难题。现在我更加想学到更多的数学知识，让它们在生活中充分的表现出魅力。 小学生数学论文范文二： 论文题目：逆向思维的魅力 这个故事还是发生在抗日战争时期。传说，当时有一拨鬼子
数学专业毕业论文格式范文论文.doc
数学专业毕业论文格式范文论文 数学专业是各个高校不可缺少的一个学科，数学论文发表期刊推荐《学习与实践》是经国家新闻出版署批准，武汉市社会科学院主管主办的期刊杂志，国际刊号I S S N：1004-0730；国内刊号C N：42-1005/C。 【摘要】目前在很多高校都已经开设了&l d q u o;数学建模&r d q u o;课程，大学数学建模方法教学策略也逐渐成熟，那么在中学可设&l d q u o;数学建模&r d q u o;课程或进行教学也成为了新课改下的热门话题，但如何把大学数学建模方法教学策略应用到中学教学中，还需要加以研究。 【关键词】数学建模,教学策略,应用 数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程，也就是对某一实际问题，经过抽象、简化、明确变量和参数，并依据某种&l d q u o;规律&r d q u o;建立变量和参数间的一个明确的数学关系(即数学模型)，然后求解该数学问题，并对此结果进行解释和验证，若通过，则可投入使用，否则将返回去，重新对问题的假设进行改进，所以，数学建模是一个多次循环执行的过程。鉴于目前很多高校都开设了&l d q u o;数学建模&r d q u o;课程，数学建模课程的开设对高校教育改革起到了很大
的作用，在新课改的背景下，数学建模也将被引入到中学教育之中。研究大学数学建模方法教学策略并探讨其在中学教学中的应用很有必要。 1.大学与中学在数学建模教学上的联系 大学教育面对的是成年学生，而中学教育面对的多是未成年学生，在年龄上，两者有着区别；大学生是已经受过中学教育的学生，而中学生尚未完成中学教育，所以在受教育程度上两者有很大差别，但尽管如此，两者都是在校学生，都还处在教育系统之中，所以两者及两种教育环境仍然具有一些相同之处。 1.1两者教学环境大同小异 无论是大学教育，还是中学教育，采取的教学方式都是课堂授课教学，都有固定的场所，特定的老师和相配套的课本教材等等，在这一点上来讲，两者区别并不大，都处在相同的教育系统中，只是两种环境中的老师水平不同，学生受教育的程度以及教学深度不同罢了。 1.2数学建模模式相同
数学专业毕业论文
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数学专业毕业论文 目录 摘要 ......................................................................................................................................... I 1绪论 . (2) 1．1课题的研究意义 (2) 1．2国内外研究现状 (2) 1．3研究目标 (3) 2关于独立分布的中心极限定理的探讨 (4) 2．1中心极限定理的提法 (4) 2．2独立同分布情形的两个定理． (4) 2．2．1 林德伯格-----勒维中心极限定理 (5) 2．2．2隶莫弗——拉普拉斯定理 (6) 2．3独立不同分布情形下的中心极限定理 (7) 2．3．1林德贝格中心极限定理 (7) 2．3．2李雅普诺夫中心极限定理 (12) 2．4本章小结 (13) 3中心极限定理在商业管理中的应用 (15) 3．1水房拥挤问题 (15) 3．2设座问题 (17) 3．3盈利问题 (18) 3．4抽样检验问题 (19) 3．5供应问题 (23) 结语 (24) 参考文献 (25) 附录 (26)
中心极限定理探讨及应用 摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理—中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性．经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据．同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值． 关键词：弱收敛;独立随机变量;特征函数;中心极限定理．
数学与应用数学专业毕业论文
洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文 学号1322060006 编号201522060006分类理工 LUOY ANG NORMAL UNIVERSITY 成人教育本科生毕业论文Adult Education B achelor’s Thesis 论文题目多项式理论在初等数学中的应用 作者姓名郭莉娜 指导教师 所在院系数学科学学院 专业名称数学与应用数学 完成时间2015年3月20日
多项式理论在初等数学中的应用 潇洒（指导教师：张永新） （洛阳师范学院数学科学学系河南洛阳 435002） 摘要：多项式理论是高等代数的主要内容之一，它与初等数学有着密切的联系，它解决了初等数学中关于多项式的很多遗留问题。本文将从因式分解、一元高次方 程、多项式的恒等、证明一类数是无理数等方面来探究多项式理论在初等数学 中的应用，并给出了若干应用方法，彻底解决了一元多项式的理论问题，促使 师范专业的学生了解到高等代数对初等数学的指导作用，体会初等数学与高等 代数之间的联系，加强学生对多项式理论的学习，以便将来为从事中学数学的 教师提供帮助。 关键词:因式分解一元高次方程多项式的恒等艾森斯坦判断法
多项式理论在初等数学中的应用 多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代数学的一个基本概念，在数学本身和实际应用中都常遇见它.但因为高等代数与初等数学在研究对象、方法上出现了不同，加之它的抽象性，造成许多数学专业的大学生认为，“教中学用不上高等代数”，因此许多数学师范生对学习高等代数这门课程不够重视.那么如何运用高等代数来指导中学数学便成了值得探讨的问题. 本文将运用高等代数中的多项式理论方面的知识来处理初等数学中的一些遗留问题.通过一些实例，使师范院校的学生充分了解到高等代数对初等数学的指导作用. 1 判断能否分解因式 多项式的因式分解是指在给定的数域F 上，把一个多项式表示成若干个不可约多项式的乘积.我们知道，一个多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可约.例如 多项式22 -x 在有理数域上不可约，因为它不能分解成有理数域上两个一次多项式的乘 积，但这个多项式在实数域上可约，因为)2)(2(22+-=-x x x . 因为在初等数学中，我们接触最多的是有理数域上的多项式且多项式次数不超过5次，所以本文将在有理数域上对因式分解作进一步探讨. 1.1 待定系数法 按照已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，根据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数. 例1 判断43 281x x x -+-在有理数域上能否分解因式. 解 令 43 ()281f x x x x =-+-，因为(1)0f ±≠，所以()f x 无一次因式.若一个整系
数学专业标准毕业论文格式范本
空一行 空一行 摘空一行 首先，通过普通函数方程（即方程中仅由未知函数和其他相关数字，字母构成的方程，不含未知函数的导数，微分等形式）定义了某些基本初等函数，例如：齐线性函数，幂函数，指数函数，对数函数，正余弦函数。其次，在用上述方法定义完基本初等函数后，…… 空一行 关键词：函数方程；基本初等函数；微分方程；等价；初等解 5个；关键词宋体小四号，用分号隔开。） 除了数学公式和图形等可以采用1.5倍行距外！论文的行距一律采用固定值20磅； 具体操作：格式 \ 段落 \ 缩进与间距 \ 间距： 行距（设置“固定值或1.5倍行距”）和设置值（设置“20磅”）。 中文摘要、英文摘要、目录和引言（或序，即正文开始）之间插入“分页符”，具体做法如下：先按几个“ENTER ”，再“插入\分隔符：分隔符类型”，选“分页符”。 黑体小二，行距固定值20磅 1号标题，黑体三号；行距固定值20磅。 摘要正文宋体小四号，行距固定值20磅；一般情况下不要分段。 黑体加粗小四号；顶格。
ON ORDINARY FUNCTION EQUATION AND DIFFERENTIAL EQUATION ABSTRACT 空一行 First of all, through the general functional equation (the equation only by the unknown function and other relevant numbers, letters constitute the equation, does not contain derivatives of unknown functions, differential forms) the definition of some basic elementary functions, such as: homogeneous linear function , power function, Keywords：functional equation; basic primary function; differential equation; equivalent; primary solution 关键词要严格按照相关专业词典翻译。 Times New Roman 小二号加粗居 中；段前段后空两行；行距固定值 20磅 Times New Roman小四号；行距固定值：20磅。 Times New Roman加粗小四号 1号标题，Times New Roman 三号 加粗居中；行距固定值20磅。 Times New Roman小四号；固定值：20磅。
数学与应用数学专业本科毕业论文答辩稿子
各位老师、同学： 下午好！ 我。。。。。。。。。。。。我的毕业论文题目是《二次同余方程的求解》,指导老师是.......老师，在此，我十分感谢他长期以来对我的精心指导和大力帮助，同时也感谢各位答辩老师对我这篇论文的审阅并出席本次答辩。下面我将从谈谈我的论文的主要内容，恳请各位老师批评指导。 全文总共分为5个部分，是按照这样的思路来组织内容的：首先先判断二次同余方程是否有解，如果有解，怎样求解，在如何求解这一块内容上，我又把它分成模为素数和模为一般的合数来叙述，最后介绍了二次同余方程的在密码学上的应用。 按照这个思路，论文在第一部分前言叙述了研究的背景及意义，还有研究的内容和组织结构。同余方程是数论中的一类很重要的研究对象，一次同余方程很容易求解，二次同余方程从理论上讲也比较容易。求解二次同余方程，也就是要解形如x 2≡a(mod m)的同余方程,求出a 模p 的平方根。首先要判断二次同余方程是否有解，这部分内容是数论教材中很标准的内容。但是如何求解二次同余方程，并不是每一本数论教材里都详细介绍的。随着计算机的迅速发展，人们对信息安全的需要越来越高，数论在密码学中扮演了很重要的角色。密码学的发展也离不开数论中某些古老问题的发展，例如椭圆曲线公钥密码中就用到了开平方运算。在查阅资料、文献的过程中，我看到了一个能求a 模素数p 的平方根的算法，算法极其简洁，但书上没有证明算法的正确性，这正是要解决的问题。 第二章是预备知识，介绍了中国剩余定理、二次剩余、Legendre 符号、Jacobi 符号和有限域的相关数学知识,这些知识为后面的解二次同余方程提供理论依据. 第三章是模p 为素数的情况下去解二次同余方程，受到闵嗣鹤，严士健写的《初等数论》习题的启发，我把它分为三种情况，从易到难来讨论，分别是=43p k +，85p k =+，81p k =+这三种情况。81p k =+这种情况比较麻烦,在华罗庚的《数论导引》中用了逐步舍弃法,不断地缩小范围来找到其解.在熊全淹的《初等整数论》中通过降低幂的次数来解决.除此之外，我验证了梅尼斯的《应用密码学手册》中求a 模素数p 的平方根算法的正确性。第一步随机 选择b ，使得b 2 -4a 是p 的二次非剩余，这样是为了使得多项式2()f x x bx a =-+在Z p [x]上不可约。如果α是f(x)的根，那么f(x)是α在这个多项式环Z p [x]上的极小多项式。α是f(x) 的根，那么αp 也是f(x)的根，因为α·αp =αp+1 =a ，只要把αp+1开方就能得到解了, αp+1开方可以在F p2中作乘法运算得到,也可以用“平方——乘”算法来得到 第四章介绍了模m 为合数的情况下如何去解二次同余方程，由唯一分解定理，把m 分解成若干素数幂的积的形式，所以先解决m 为素数幂的情况。而下面的这两种情况，通过前面章节的方法和中国剩余定理，就可以很容易解决了，由此解决了模m 为合数的情况。
数学与应用数学专业2002级函授本科毕业论文参考题目
数学与应用数学专业2002级函授本科毕业论文参考题目1．数学分析中的构造法证题术， 参考文献：《数学分析选讲》刘广云编著 《数学分析教材》 《数学分析方法论一题》刘广云编著 2．用微积分理论证明不等式的方法 参考文献：同1. 3．数学分析中的化归法 参考文献：同1 . 4．微积分与辩证法 参考文献：《自然辩证法》恩格斯著 《反杜林论》恩格斯著 《关于无限与有限、运动与静止、曲与直的辨证关系的探索》刘广云 《数学方法论选讲》 5．数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用 参考文献：《数学方法论选讲》徐利治著 《科学争论集》 《科学悖论集》 《数学思想和思想哲学》 6．中国古代数学中的无理数理论 参考文献：《九章算术导读》 《数书九章导读》 《吴文俊论数学机械化》 7．二阶常微分方程的解法 参考文献：《常微分方程》 8．中国古代数学中的极限思想 参考文献：《中国数学史大系》《九章算术导读》 9．负数理论在中国 参考文献：同8. 10．试谈创新性教育 参考文献：《数学方法论导读（徐利治著）》 《数学方法论（郑敏信著）》 《学科方法论模式教育》刘广云 11、试论梯度、散度与旋度 要求：1.讲清物理背景 2．阐明内在联系 3．论证主要性质 参考书目：1、2、10 12、试论导函数、原函数的有关性质 要求：1. 论述导函数没有第一类间断点 2．原函数存在与可积性 3．原函数存在定理及应用 参考书目：1、2、8、9 13、积分学中一类公式的证明
要求：1。以引理：设f(x)和g(x)在[a,b]上可积，则 =?∑=→xi g f i n i i )()(lim 10θξλ?b a dx x g x f )()(其中ξi, θi ∈［x i-1,x i ］,(i=1,2,…,n),x 0=a,x n =b,Δx i =x i -x i-1,λ={}xi n i ?≤≤1max 为基础 证明：1）曲线绕 x 轴旋转一周所得曲面面积dx x f x f s b a 2))((1)(2?'+=π 2）第二型曲线积分化为定积分的计算公式 2.将引理推广到二重积分的情形,得出类似的引理,进而证明: 1)曲面面积计算公式 2)第一型曲面积分的计算公式 参考书目: 1.2.8.9 14、在上有界闭域的D 中连续函数的性质 要求：:叙述并证明：有界性、最值、介值及一致连续性定理. 参考书目：1、2、9 15、试论数e[or π] 要求：1。e （or π）的定义 2．无理数超越性 3．近似表达式 4．在分析中的地位 参考书目：6、7、9 16、试论常微分方程的奇解 1) 何谓奇解 2) 奇解的产生 3) 如何判别：从理论上证明c-判别曲线与p-判别曲线方法 参考书目：3、4、5 17、试论求解一阶常微分方程的积分因子法 1) 积分因子的存在性 2) 求法 参考书目：3、4、5 参考书目：1。数学分析（上、下册） 华东师大编 2．数学分析简明教程（上、下册） 邓东皋、尹小玲编 3．常微分方程 王高雄编 4．常微分方程讲义 王柔怀、伍卓群编 5．常微分方程基础 丁同仁编 6．E 的奥秘 （日）堀场芳数编 7．π的奥秘 8．数学分析中的一些新思想与新方法 张志军编 9．数学分析问题研究与注 汪林等编 10． 高等数学教程上、下册 宋亚泰等主编 18．二次曲线中点弦的性质 在解析几何中，利用二次曲线弦的中点的坐标，可导出中心、 直径、共轭直径等二次曲线的一些性质，在高等几何中这些性质进
数学专业毕业论文开题报告范文
数学专业毕业论文开题报告范文 ----WORD文档，下载后可编辑修改---- 下面是小编收集整理的范本，欢迎您借鉴参考阅读和下载，侵删。您的努力学习是为了更美好的未来！ 数学专业毕业论文开题报告范文篇1：题目利用数学模型预测未来50年的丁克人口 1、研究目的和意义 未来学家曾尖锐地指出二十一世纪人类将面临三大问题：首先是人口膨胀，第二是就业困难，第三是环境污染。这三大问题的焦点和后面两大问题产生的根源在于人口问题。 人口系统是一个复杂的动态系统，人口变化对未来经济，社会发展有着直接的影响。人口年龄结构是人口研究的重要指标之一，人口年龄结构的发展趋势的预报对人口政策的制定有着非常重要的作用。 而现在随着国家对大学的扩招，大学生越来越多，而大学生的就业现状并不看好，刚刚毕业的大学生或者在踏入社会时间不太长的毕业生经济水平不高，有了孩子负担会更重，而作为受过高等教育的大学生本身就具有较强的接受新事物的能力，自然而然的就成了丁克一族的后备军，这类的大学生越来越多，现的大学生大多是80后人，更具有发展成为丁克一族的可能，因此，丁克现象在最近二十年之内必将发展非常迅速，直接影响着人口老龄化的加快。 面对这样的形势，为抑制丁克人口增长过快的趋势，减小人口老龄化速度的加快，又要使人口的年龄结构有一个合理的分布，就必须建立丁克人口预测和控制的数学模型，为正确的人口政策提供科学的依据。 2、国内外发展情况(文献综述) 今天，世界的人口危机不是因为家庭中有比过去更多的孩子，实际上家庭规模并未扩大，而丁克家庭就在这样的时代背景下涌现。丁克的名称来自英文Double Income No Kids四个单词首字母D、I、N、K的组合----DINK的谐音，Double Income No Kids有时也写成Double Income and No Kid(Kids)。仅从单词字面意义解释，意思是：双收入，没有孩子。 据美国人口调查局公布的年度分析报告表明：1993年美国丁克家庭已超过
本科优秀数学本科毕业论文
本科优秀数学本科毕业论 文 Last revision on 21 December 2020
***大学 2014 届本科毕业论文 论文题目： 行列式的计算及应用 学生姓名： *** 所在院系：数学科学学院 所学专业：数学与应用数学（金融方向） 导师姓名： *** 完成时间： ***年***月***日 行列式的计算及应用 摘要 在高等代数这门课程里，行列式是最基本而又重要的内容之一，同时也是数学研究中的重要的工具之一，在线性代数、数学分析、解析几何等众多课程理论中以及实际问题中许也发挥着重要作用，了解如何计算和应用行列式显得尤为重要。 本文首先阐述行列式的基本理论，在此研究的基础上介绍了降阶法，归纳法，化三角形法等几种常见的且有一定技巧的解行列式的方法,并列举了相关的例子，更直观地了解解行列式方法的精髓。另外，本文又介绍了行列式在解析几何、代数及其他课程当中的应用，进一步加深了对行列式的理解。最后本文又列举实例阐述行列式在实际当中的应用，实现了行列式的理论与实际相结合。研究行列式的计算方法及其应用可以提高对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入。通过这一系列的方法可以进一步提升对行列式的认识，为以后学习奠定了基础。 关键词：行列式，因式分解，化三角形法, 归纳法，加边法，Matlab软件 Determinant calculation and application Abstract This course in advanced algebra, the determinant is one of the most basic and important content, while many math curriculum theory is one of the important research tools, linear algebra, mathematical analysis, analytic geometry, etc. as well as practical problems also plays an important role in understanding how to calculate and apply the determinant is particularly important. This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction method, induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive understanding of the essence of the solution determinant method. In addition, this