必修一幂函数(教案)
幂 函 数
一般地，形如)R a (x y a ∈=的函数称为幂函数，其中a 为常数。
幂函数中，当12
1
321a -=，，，，时性质如下表所示：
函数 特征 性质 y=x y x =2
y x =3
y x
=
12
y x =-1 定义域 R R R [0，+∞） {|}x x ≠0
值域 R [0，+∞）
R [0，+∞）
{|}y y ≠0
x ∈+∞[)0，增 x ∈+∞()0，增 单调性 增 x ∈-∞(]，0减 增 增 x ∈-∞()，0减
所过定点
（1，1） （0，0）
（1，1） （0，0）
（1，1） （0，0）
（1，1） （0，0）
（1，1）
结合以上特征，得幂函数的性质如下：
（1）所有的幂函数在()0，+∞都有定义，并且图象都通过点（1，1）； （2）当a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数；
（3）如果a>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间)0[∞+，上是增函数； （4）如果a<0，则幂函数在区间()0，+∞上是减函数
诊断练习：
1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2
－2x ）
2
1－
的定义域是
3．函数y ＝5
2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝
2
21
m m
x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _．
范例分析：
例1比较下列各组数的大小：
（1）1.53
1，1.73
1，1； （2）2
3
2-
，（－
107
）3
2
，1.1
3
4-
；
（3）3.83
2-，3.952
，（－1.8）5
3； （4）31.4，51.5
.
例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．
例3幂函数2
7323
5
()(1)t t f x t t x
+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.
反馈练习：
1．幂函数()y f x =的图象过点1
(4,)2
，则(8)f 的值为 .
2．比较下列各组数的大小： 32
(2)a + 32
a ； 22
3
(5)a -
+ 23
5-
； 0.50.4 0.40.5.
3．幂函数的图象过点(2,
14
), 则它的单调递增区间是 ．
4．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝a
x 的图象在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是 ．
5．函数y ＝3
4x -在区间上 是减函数．
6．一个幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, 427),另一个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8, －2), (1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )< g (x )的解集.
巩固练习
1．用“<”或”>”连结下列各式：0.6
0.32 0.5
0.32 0.5
0.34， 0.40.8- 0.40.6-． 2．函数132
2
(1)(4)y x x --
=-+-的定义域是
3．9
42
--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 . 4．已知
3
53
2x x >
，x 的取值范围为
5．若幂函数a
y x =的图象在0 6．若幂函数()f x 与函数g(x)的图像关于直线y=x 对称，且函数g(x)的图象经过 ,则 ()f x 的表达式为 7. 函数2 ()3 x f x x +=+的对称中心是 ，在区间 是 函数（填“增、减”） 8．比较下列各组中两个值的大小 33221.3 1.3 0.30.355 3 3 (1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18.15- - --与与与与0 9．若3 13 1) 23()2(- --<+a a ，求a 的取值范围。 10．已知函数y ＝42215x x －－． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 11．已知函数2 23 ()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．