最新高三教案-13导数 精品

高考数学必胜秘诀在哪？

――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

十三.导 数

1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）

2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0lim x y f x y x ?→?'='=? ()()0lim x f x x f x x

?→+?-=?，导函数也简称为导数。 3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；

（2）求平均变化率()()00f x x f x y x x

+?-?=?；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?。 4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是

()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。特别提醒：

（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；

（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。如（1）P 在曲线323+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______（答：),4

3[)2,0[πππ

）；（2）直线13+=x y 是曲线a x y -=3的一条切线,则实数a 的值为_______（答：－3或1）；（3）已知函数m x x x f +-=232

12)(（m 为常数）图象上A 处的切线与03=+-y x 的夹角为4π，则A 点的横坐标为_____（答：0或6

1）；（4）曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是______________（答：410x y --=）；（5）已知函数x ax x x f 43

2)(23++-=，又导函数)('x f y =的图象与x 轴交于(,0),(2,0),0k k k ->。①求a 的值；②求过点)

0,0(的曲线)(x f y =的切线方程（答：①1；②4y x =或358

y x =）。 5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）

()()1n n x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：(

)

112211,x x x x '

'-????='=-'== ? ?????（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''=。

如（1）已知函数n m mx x f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=n m _____（答：14

）；（2）函数2)1)(1(+-=x x y 的导数为__________（答：2321y x x '=+-）；（3）若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f 是______（答：2)(4-=x x f ） 6、多项式函数的单调性：

（1）多项式函数的导数与函数的单调性：

①若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数。

②若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递增，则()0f x '≥，反之等号不成立；若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递减，则()0f x '≤，反之等号不成立。如（1）函数

c bx ax x x f +++=23)(，

其中c b a ,,为实数，当032<-b a 时，)(x f 的单调性是______（答：增函数）；（2）设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______（答：03a <≤）；（3）已知函数b bx x x f ()(3+-=为常数）在区间)1,0(上单调递增，且方程0)(=x f 的根都在区间]2,2[-内，则b 的取值范围是____________（答：

[3,4]）；（4）已知1)(2+=x x f ，22)(24++=x x x g ，设)()()(x f x g x λ?-=，试问

是否存在实数λ，使)(x ?在)1,(--∞上是减函数，并且在)0,1(-上是增函数？（答：4λ=）

（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()f x '；（2）求方程()0f x '=的根，设根为12,,n x x x ；（3）12,,n x x x 将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()f x '的符号，由此确定每一子区间的单调性。如设函数cx bx ax x f ++=23)(在1,1-=x 处有极值，且2)2(=-f ，求)(x f 的单调区间。（答：递增区间（－1,1），递减区间(),1,(1,)-∞-+∞）

7、函数的极值：

（1）定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近所有的点，都有0()()f x f x <，就说是0()f x 函数()f x 的一个极大值。记作y 极大值＝0()f x ，如果对0x 附近所有的点，都有0()()f x f x >，就说是0()f x 函数()f x 的一个极小值。记作y 极小值＝0()f x 。极大值和极小值统称为极值。

（2）求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤：（i ）求导数()f x '；（ii ）求方程()0f x '=的根0x ；（iii ）检查()f x '在方程()0f x '=的根0x 的左右的符号：“左正右负”

?()f x 在0x 处取极大值；

“左负右正”?()f x 在0x 处取极小值。特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！

如（1）函数1)1(32+-=x y 的极值点是 A 、极大值点1-=x B 、极大值点0=x C 、