数学高考复习综合能力题选讲(二)

数学高考复习综合能力题选讲（二）

作者:

日期: 2

数学高考复习综合能力题选讲（二）

本刊试题研究小组

“立足基础，突出能力考查；从学科整体知识结构和思想体系上考虑问题，加强试题的综合性和应用性；创设新颖的情景和设问方式”构成了高考命题（数学科）的主旋律?这使得高考试卷中综合能力题的分量越来越重，如1999年试卷中几何类的综合能力题就包括客观题的第（6）、（10）、（13）、（18）

题，主观题的第（24）题等?通过综合知识来完成“逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力”的考查入情入理，而解答综合能力题离不开数学的基本思想和基本方法的指导和运用.这就要求我们在平时的教学中注意和重视数学基本思想和方法的渗透和掌握，加强能力培养，教会学生善于抓住问题的实质，对所给问题提供的信息能进行分解、组合和加工，以便寻找解决问题的方法?另外，“增加思考量，控制计算量”值得我们在几何复习中深思.

例1某人买了一罐容积为V升、高为a米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方（单位：米）?为了减少罐内液体油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家?试问罐内液体油最理想的估计能剩多少.

讲解：首先据题目叙述画出示意图（图1）?直三棱柱为ABC - A'E' C',破损处为D、E，并且AD=b,EC=c,BB'=a.

B朴

A' C?

其次，是理解“最理想的估计能剩多少”这句话，并将其翻译为数学

3 / 10

语言--“罐内所剩液油的最大值为多少？”

再次，是想象什么时候才能达到该最大值?显然，过 D E两点的平面

同时应过B',才可达到要求.故问题转化为求几何体ABCDB，E的体积.

最后，为求该不规则几何体的体积还应对图形进行处理，办法不惟一，

仅给出一种如下：

因为V ABC - DB，E =V D - BCEB，+ V D - ABC,而V D - ABC = bV / 3 a,故只需求V D - BCEB-,参见图2.

由V D - BCEB' V A' - BCC'B' = ( a+C )/ 2 a 及V A' - BCC'B' = ( 2 / 3 )

V,可求得V D-BCEB' = (a + c)V / 3a.

于是，最理想的估计是剩下(a + b + c)V / 3 a升.

说明：该题的背景为学生所熟悉，考查了学生阅读理解、空间想象及

处理图形的能力.

例2如图3所示，在矩形ABCD中，已知AB=l,BC=a,P

A丄平面ABCD，且PA=l.

(1)在BC边上是否存在点Q,使得PQ丄QD，说明理由；

(2)若BC边上有且仅有一个点Q,使PQ 丄QD，求AD与平面P DQ所成角的正弦值；

(3)在(2)的条件下，能求出平面PQD与平面PAB所成的角的大小吗？

讲解：对于(1)假设边BC上存在Q点，使得PQ丄QD，则连结A Q,必有/ AQD=9 0°,反之亦然，故问题转化为：在边BC上是否存在点Q,使得ZAQD=90°.

由平面几何知识，问题又可转化为：以AD为直径作圆，是否与BC 边有公共点？

易知，当AB< ( l / 2 ) AD时，即a>2时，BC边上存在点Q,使得ZAQD=90°,从而PQ丄QD;当AB> ( l / 2 )AD时，即aV2

时，不存在点Q使得PQ丄QD.

若通过引入线段参数，构造一元二次方程，利用判别式也可得到解答，留给读者完成.(提示：设CD=x，由勾股定理建立方程.)

对于(2)，当BC边上有且仅有一个点Q,使得PQ丄QD，可知B

4 / 10

C=2，点Q为EC的中点，过A在平面PAQ上作AF丄PQ，垂足为F,

连结FD,则ZFDA是直线AD与平面PQD所成的角.可求得sin/F

DA = AF / AD= .

对于(3)，留给读者思考.

说明：该题考查了学生利用所学知识探索求解问题的能力?体现出转

化的思想.

例3若方程x + y — 6 .'—+3艮=0仅表示一条直线，则实数艮的

取值范围是_____ .

讲解：一个二元一次方程与一条直线对应，而所给方程为无理方程，

必须对其进行求解转化为x + y=m的形式方可.

显然应有x + y>0，故所给方程即

(；)2—^ ' 1 +3k=0.( *)

视x + y为一个整体，则其有解必先满足

A=3 6 — 12k>0，得k<3.

在k<3的前提条件下，若方程(*)有零根，必有k=0,此时，可由(*)解得

"v" :，'z" = 0, J" "一= 6,即卩x + y = 0,x + y = 3 6.

得到了两条直线的方程，表示两条直线，与题设要求不符，故匸不能为零.从而关于沪卩的二次方程(* )的根的情况包括三种可能：两正，两负，一正一负.但两负的情况与题设要求不相符.故有

若从方程(* )中解出''1等于两个正数，除非其相等，才能满足

题设.由A=0得k = 3，且：’■=3,即x + y= 9，满足题设；

若从方程(* )中解出?' 1等于一个正数及一个负数，则必有负数

被舍，仅得」等于正数，也满足题设.由两根之积小于零得kV0.

综合知k<0或k = 3为所求.

说明：该题以曲线和方程的概念为切入点，考查了根与系数的关系，

分类讨论的思想，转化的思想，以及考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.

例4已知抛物线的方程为y=—( 1 / 2 ) x 2+m，点A、E及P(2,

4)均在抛物线上，且直线PA、PE的倾斜角互补.

(1) 求证：直线AE的斜率为定值；

(2) 当直线AE在y轴上的截距为正时，求APAE面积的最大值.

5 / 10

讲解：由点P在抛物线上，可求得抛物线的方程为y= —(x 2/ 2)

+ 6,从而可画出该抛物线(如图4所示).由图4知PA的斜率艮存在，且艮工0,则PA 的方程为y — 4 = k(x — 2).由直线PA、PE的倾斜角互补知，PE的方程为y — 4 =—k(x — 2).

(1)设A、E两点的坐标为(x i,y i),(x 2,y 2),贝U

（_虫4?-〔-刍6）

,.的一厂2 _ 2 2

AS - —

乃-^2 勺-也

为得x i+x 2,我们将PA、PE的方程分别代入抛物线方程并整理得

2 2

x +2kx—4k—4=0,x —2kx+4k—4=0.

由韦达定理有x i +2= — 2k,x 2+2 = 2k, 故k AB = —1 / 2X(—4)=2(定值).

(2)设AE的方程为y = 2x + b(b>0 )，将其代入抛物线方程并整理得

2

x +4x + 2b — 12 = 0.

由A>0及b>0,得0 Vb<8 .

甘h

点P到AB的距离为，又由弦长公式可得；■-，故

佇胡梱-+ |XF| Li- ^2

欲求S TAB的最大值，须借助三元均值不等式，还得凑系数，以达到 "一正二定三相等”的要求.结果为当b = 16 / 3时，S △PAB最大，最大值

<54-^5 为「.

说明：本题巧妙地将直线与抛物线融合在一起，既涉及到定值，又“牵连”到最值问题，既要借助韦达定理、弦长公式，又需用三元均值不等式，“动中求静”、“变中求定”，考查了解析几何的基本思想和方法，考查了综合运用知识的能力.值得提醒的是：由A>0及b>0得0Vb<8这一步，常常

被考生忽视.而在有关直线与圆锥曲线的试题中又常常被设计为“存在性”问题.

展室?为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置在桌上，斜靠墙壁展出.已知镜框对桌面的倾角为0(90°<0<180° )，镜框中,

画的上、下边缘与镜框下缘分别相距a米、匕米(a>b) ?问：学生距镜框下缘多远看画

的效果最佳？

讲解：从理论上来讲，视角最大时看画的效果最佳(不考虑其他因素)?我们需做这样的设想才能把其抽象为一个数学问题，眼睛看成一个点，眼睛的高度与镜框下缘所处的高度相同，视线向正前方，画可以看成由无数条与镜框下缘垂直的线条连成的.故利用二面角的所在平面建立坐标系xOy, 参见图5,将问题转化为：“已知ZxOA=a,OA=a,OB=b，在O x轴的正方向上求一点C,使ZACB取最大值.”

设C点的坐标为(x,0)(x>0 )，则A、B两点的坐标分别为

(acos0,asin0)>(bcos0,bsin0).于是直线A C、BC的斜率可求.

由到角公式，得

k AC (n - is) sin 6

ab

---- 4- X = (riS + &)

tgZACB=r

因ZACB是锐角，所以有

(fl —A) win B

tg/ACBW 、宀. 1 ,

当且仅当ab / x = x，即x= -时，等号成立，此时ZACB取最大值，对应的点为C(止-,0).

因此，学生距镜框下缘①肚米时视角最大，此时看画的效果最佳.

说明：该题是实际问题，涉及到空间想象，难在将其抽象为解析几何中的问题，对分析和解决问题的能力要求极高！

以下题目供复习时参考：

1.正四面体与正四棱锥的侧面全等，它们放成一侧面重合后得到一

个多面体，这个多面体的面数是______ .

2.如图6,在透明塑料制成的长方体ABCD - A i B i C 1D 1容器内

灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的

不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形EFGH的

面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜如图示时，EF?EE是定值.其中所有正确命题的序号是.