(完整版)中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案.doc
第三章 中值定理与导数的应用
(A)
1．在下列四个函数中 ,在 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是 ()
A ． y
8 x 1 B ． y 4x 2 1 C ． y
1
D ． y sin x
1 x 2
2．函数 f x
满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( )
x A ． 2,2
B ．
2,0
C ． 1,2
D ． 0,1
3．方程 x 5 5x 1 0 在
1,1 内根的个数是 (
)
A ．没有实根
B ．有且仅有一个实根
C ．有两个相异的实根
D ．有五个实根
4．若对任意 x a, b ，有 f x g x ，则 ( )
A ．对任意 x a,b ，有 f x g x
B ．存在 x 0 a,b ，使 f x 0 g x 0
C ．对任意 x a,b ，有 f x g x C 0 ( C 0 是某个常数 )
D ．对任意 x a,b ，有 f x
g x
C (C 是任意常数 )
5．函数 f x
3x 5 5x 3 在 R 上有 (
)
A ．四个极值点；
B ．三个极值点
C ．二个极值点
D ． 一个极值点
6．函数 f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是 (
)
A ．17
B ．11
C ．10
D ． 9
7．设 f x 在闭区间
1,1 上连续，在开区间
1,1 上可导，且 f x
M ，
f 0 0 ，则必有 (
)
A ． f x
M
． f x
M
C ． f x M
D ． f x M
B
8．若函数 f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 (
)
A ．存在 0,1 ，有 f b f a f b a b a
B ．存在
0,1 ，有 f a
f b
f a
b a b a
C ．存在 a, b ，有 f a f b f a b
D ．存在
a, b ，有 f
b
f a
f
a b
9．若 a 2 3b 0 ，则方程 f x x 3 ax 2 bx c
0 ( )
A ．无实根
B ．有唯一的实根
C ．有三个实根
D ．有重实根 ．求极限 x 2 sin 1
(
)
lim
x
时，下列各种解法正确的是
10 sin x
x 0
A ．用洛必塔法则后，求得极限为 0
B ．因为 lim 1
不存在，所以上述极限不存在
x 0 x
x xsin 1
C ．原式 lim 0
x 0
sin x x
D ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在
11．设函数 y
1 2x
2 ，在 (
)
x
A ． ,
单调增加
B ．
,
单调减少
C ． 1,1 单调增加，其余区间单调减少
D ．
1,1 单调减少，其余区间单调增加
e x (
)
12．曲线 y
1 x
A ．有一个拐点
B ．有二个拐点
C ．有三个拐点
D ． 无拐点 13．指出曲线 y
x
的渐近线 (
)
3 x 2 A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线
B ． x
3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线
C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线
D ． 只有水平渐近线
2
x 2 1
14．函数 f x
x 3 1 3 在区间 0,2 上最小值为 ()
A ． 729
B ． 0
C ．1
D ．无最小值
4
x ln 1 x 15．求 lim
x 2
x 0
1 1
16．求 lim
x
x 0
ln 1 x
17．求 lim
1 2 sin x
x
cos3x
6
1
18．求 lim 1 x 2 x
x 0
1
ln x
19．求 lim
arctgx
x
2
20．求函数 y x 3 3x 2
9x 14 的单调区间。
21．求函数 y
2e x e x 的极值。
22．若 x 0 ，证明 e x 1 x /
23．设 x 0，证明 x
x 2 ln 1 x
x 。
2
24．求函数 y
ln
2
x 的单调区间与极值。
x
25．当 a 为何值时， y asin x
1
sin 3x 在 x
处有极值？求此极值，并说
3
3
明是极大值还是极小值。
26．求内接于椭圆 x
2
y 2 1，而面积最大的矩形的边长。
a 2
b 2
27．函数 y ax 3 bx 2
cx d a 0 的系数满足什么关系时，这个函数没
有极值。
28．试证 y
xsin x 的拐点在曲线 y 2
4x 2 2 上。
4 x
29．试证明曲线 y
x 1
有三个拐点位于同一直线上。
x 2
1
30．试决定 y
k x 2 3 2
中的 k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。
(B)
1．函数 f x
3
8x x 2 ，则 ( )
A ．在任意闭区间 a,b 上罗尔定理一定成立
B ．在 0,8 上罗尔定理不成立
C ．在 0,8 上罗尔定理成立
D ． 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立
2．下列函数中在 1,e 上满足拉格朗日定理条件的是 (
)
A ． ln ln x
B ． ln x
C ．
1
D ． ln 2 x
ln x
3．若 f x 为可导函数，
为开区间 a, b 内一定点，而且有
f
0 ，
x
f x
0 ，则在闭区间 a,b 上必有 (
)
A ． f x
B ． f x 0
C ． f x
D ． f x
4 ． 若 f x 在开 区间 a,b 内可导， 且对 a,b
内任意两 点 x 1 ， x 2 恒有
f x
2 f x
x 2
x 2 则必有 (
)
1
1
A ． f x
B ． f x
x
C ． f x
x
D ． f x C (常数 )
5 ．设 lim f x 为未定型，则 f x 存在是 lim f x 也存在的 ( )
lim
xx
g x
xx
g x
xx
g x
A ．必要条件
B ．充分条件
C ．充分必要条件
D ． 既非充分也非必要条件
6．已知 f x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，且当 x a, b 时，有 f
x 0 ，
又已知 f a 0
，则 ()
A ． f x 在 a,b 上单调增加，且 f b 0
B ． f x 在 a,b 上单调减少，且 f b
C ． f x 在 a,b 上单调增加，且 f b 0
D ． f x 在 a,b 上单调增加，但 f b 正负号无法确定
7．函数 y xarctgx 的图形，在 ()
A ． ,
处处是凸的
B ．
,
处处是凹的
C ．
,0 为凸的，在 0, 为凹的 D ．
,0 为凹的，在 0, 为凸的
8．若在区间a,b 内，函数 f x 的一阶导数 f x 0 ，二阶导数 f x 0 ，则函数 f x 在此区间内是( )
A．单调减少，曲线上凹B．单调增加，曲线上凹
C．单调减少，曲线下凹D．单调增加，曲线下凹
9．曲线y
5
( ) x 5 3 2
A．有极值点 x 5 ，但无拐点B．有拐点 5,2 ，但无极值点C． x 5 有极值点且5,2 是拐点D．既无极值点，又无拐点10．设函数 f x 在 x a 的某个邻域内连续，且 f a 为其极大值，则存在0 ，当x a , a 时，必有 ( )
A．x a f x f a 0 B．x a f x f a 0
C．lim f t f 2 x 0 x a D．lim f t
f 2 x 0 x a
t a t x t a t x
11．抛物线y x 2 4x 3 在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的答案
是 ( )
A．顶点2, 1 处的曲率为1
，曲率半径为2 2
B．顶点2, 1 处的曲率为2，曲率半径为
1
2 C．顶点1,2 处的曲率为 1，曲率半径为 1
D．顶点1,2 处的曲率为1
，曲率半径为 2 2
12．设函数y f x 在 x x0 处有 f x0 0 ，在 x x1处 f x1不存在，则( )
A．x x0及 x x1一定都是极值点B．只有x x0是极值点
C．x x0与 x x1都可能不是极值点
D．x x0与 x x1至少有一个点是极值点
13．求极限 lim x x。
x 0
14．求lim e
x e sin x
x 0 x sin x
1
arctg 1
arctg
15．求 lim n 1 n 1 n 1
n n 1
16．试证当 a b 1 0 时，f x x 2 ax b
取得极值。
x 1
17．求由 y 轴上的一个给定点0,b 到抛物线 x 2 4y 上的点的最短距离。
18．设f x 在 0,1 上可导，且 0 f x 1，对于任何 x 0,1 ，都有 f x 1，试证：在 0,1 内，有且仅有一个数 x ，使 f x x 。
19 ．设f x 在 1,2 上具有二阶导数 f x ，且 f 2 f 1 0 ，如果
F x x 1 f x ，证明至少存在一点1,2 ，使 F 0 。
20．设f x在a, b 上连续，在 a,b 内二阶可导且 f a f b 0 ，且存在点 c a,b ，使得 f c 0 ，试证至少存在一点a, b ，使得 f 0 。
(C)
．函数
2 ln x 当
1
x 1
1 内 ( )
f x
e 它在
1
1
,3 1 当1 x 3
e
x
A．不满足拉格朗日中值定理的条件
B．满足拉格朗日中值定理的条件，且9e 3 5e
C．满足中值定理条件，但无法求出的表达式
D．不满足中值定理条件，但有9e 3
满足中值定理结论
5e
2 ．若 f x在区间 a, 上二次可微，且 f a A 0 ， f a 0 ，
f x 0 ( x a )，则方程 f x 0 在a, 上 ( )
A．没有实根B．有重实根
C．有无穷多个实根D．有且仅有一个实根
3 ．设f x 有二阶连续导数，且 f 0 0 ， lim f x 1 则( )
x 0 x
A． f 0 是 f x 的极大值B． f 0 是 f x 的极小值C．0, f 0 是曲线 y f x 的拐点
D．f 0 不是 f x 的极值， 0, f 0 也不是曲线 y f x 的拐点
4．求 lim x 3x
2
x sin 2 x 1
x 1
3
x 1
1 1
e
5．求 lim x x
x
x 0
6 ．设函数 f x 二次可微，有 f x 0 ， f 0 0 ，证明函数
f x , x 0
是单调增函数。
F xx
f 0 , x 0
7．研究函数 f x x e x 1 的极值。
8．若f x 在 a, b 上有二阶导数 f x ，且 f a f b 0 ，试证在 a,b 内
至少存在一点，满足 f
4
f b f a 。
b a 2
9．设f x 在 0,1 上具有二阶导数，且 f 0 f 1 0 ，min f x 1 ，证明：
0 x 1
存在一点0,1 使 f 8 。
10．设y y x 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点x, y 处的曲率为
1 ，且此曲线上点0,1 处的切线方程为 y x 1 ，求该曲线方程，并求函1y 2
数y y x 的极值。
第三章中值定理与导数的应用
(A)
1．在下列四个函数中 ,在1,1 上满足罗尔定理条件的函数是( B ) A． y 8 x 1 B．y 4x2 1 C．y 1 D． y sin x
1 x 2
2．函数 f x 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( C )
x
A．2,2 B．2,0 C．1,2 D．0,1
3．方程x5 5x 1 0 在1,1 内根的个数是( B )
A．没有实根B．有且仅有一个实根
C．有两个相异的实根D．有五个实根
4．若对任意x a, b ，有 f x g x ，则( D )
A．对任意x a,b ，有 f x g x
B．存在x0 a,b ，使 f x0 g x0
C．对任意x a,b ，有 f x g x C0( C 0是某个常数)
D．对任意x a,b ，有 f x g x C (C是任意常数)
5．函数f x 3x 5 5x3在R上有( C )
A．四个极值点；B．三个极值点C．二个极值点D．一个极值点6．函数f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是( A )
A．17 B．11 C．10 D． 9
7．设f x在闭区间1,1 上连续，在开区间1,1 上可导，且f x M ，f 0 0 ，则必有( C )
A． f x M B． f x M C． f x M D． f x M
8．若函数f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 ( B )
A．存在0,1 ，有 f b f a f b a b a
B．存在0,1 ，有 f a f b f a b a b a
C．存在a, b ，有 f a f b f a b
D．存在a, b ，有 f b f a f a b
9．若a2 3b 0 ，则方程 f x x3 ax 2 bx c 0 ( B )
A．无实根B．有唯一的实根C．有三个实根D．有重实根x2 sin
1
．求极限lim x 时，下列各种解法正确的是( C )
10
sin x
x 0
A．用洛必塔法则后，求得极限为0
B．因为 lim
1 不存在，所以上述极限不存在
x 0 x
x xsin 1
C．原式lim 0
x 0 sin x x
D．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在
11．设函数 y
1 2x
2 ，在 ( C ) x
A．, 单调增加B．, 单调减少
C．1,1 单调增加，其余区间单调减少
D．1,1 单调减少，其余区间单调增加
e x
( D )
12．曲线y
1 x
A．有一个拐点B．有二个拐点C．有三个拐点D．无拐点
13．指出曲线 y
x
的渐近线 ( C ) 3 x 2
A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线
B．x 3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D．只有水平渐近线
2
x 2 1
14．函数f x x 3 1 3 在区间 0,2 上最小值为( D ) A． 729 B． 0 C．1D．无最小值
4
x ln 1 x
15．求 lim
x 2
x 0
0型
1
1
1 x
1
1
解：原式 0 lim
lim
2x 2 1 x 2
x 0
x 0
16．求 lim
1
1
ln 1
x
x
x
x ln 1 x
0型
1
1
lim lim
1 x
解：原式
x ln 1 x
x
x 0
x 0
ln 1 x x
1
x
0 型
1 1
lim
lim
x 0
1 x ln 1 x x
x 0
ln 1 x 2 2
17．求 lim
1 2 sin x
cos3x
x
6
0型
2 cos x
3
解：原式 0 lim
3sin 3x
3
x 0
x 2 1 18．求 lim 1 x
x
x 2 1
ln 1 x 2 解：令 y
1 x
，则 ln y
x
ln 1
x 2
0 型
2x
lim
0 ∵ lim
x
x 2
x 0
x
1
∴原式 e 0
1
1 19．求 lim
arctgx ln x
2
x
解：令
arctgx t ，则 x ctgt
2
1
故原式
lim t ln ctgt
t 0
1
ln t
令 y t ln ctgt ，则 ln y
ln ctgt
1
型
t
sin t
∵ lim ln y
lim
lim
1
cost
t 0
t 0 2
t 0
t
csc t
ctgt
lim sin t
t
t
lim cos t 0
t 0
1
∴原式 e 1
20．求函数 y x 3 3x 2 9x
14 的单调区间。 解： y
3x 2 6x 9 3 x
1 x 3
当 x
1时， y
0 ，
当 1 x
3 时， y
当 x 3时， y 0
故 y 在 , 1 及 3, 单增，在 1,3 单减。
21．求函数 y 2e x e x 的极值。
解： y
2e x e x
令 y 0得 x
1
ln 2
1
2
当 x
ln 2 时， y 0 ，从而 y 单减
2
当 x
1
ln 2 时， y 0 ，从而 y 单增
2
故 x
1
ln 2 时， y 取极小值 0
2
22．若 x
0，证明 e x 1 x
证明：令 F x e x
1 x ，则 F x e x
1
当 x 0 时， F x 0 ，从而 F x 在 0,
单增
因为 F 0
0，故 F x 0 ，即
e x
1 x
23．设 x 0，证明 x
x 2 ln 1
x
x 。
2
证明：
10：令 f x
x
x 2
x ，则 f x
1
x 2
ln 1
1 x
x 1 x
2
1 因 x 0 ，则 f x 0 ，从而 f x 在 0,
单减。
故 f x
f 0
0 ，即 x
x 2 ln 1 x
2
20
：令 g x
ln 1 x
x ，则 g x
1 x 1
1
当 x 0 时， g x 0 ，从而 g x 在 0,
单减
故 g x
g 0 0 ，即 ln 1 x
x
由 10、20 知， x
x 2 ln 1 x
x
2
24．求函数 y
ln 2 x
的单调区间与极值。
x
2 ln x ln x
解： y
x 2
令 y 0，得 x
1 或 e 2
故可疑极值点 1， e 2
x 0,1
1
1, e 2 e 2 e 2 ,
y
-
+
-
y
极小值 0
极大值
4
e 2
25．当 a 为何值时， y asin x
1
sin 3x 在 x 处有极值？求此极值，并说
3
3
明是极大值还是极小值。
解： y
a cos x cos3x
由于 y 在 x
处有极值，则 y 0 ，从而 a
2
3
3
当 x时，y0，从而y单增3
当 x时，y0 ，从而y单减3
故y 在 x处取得极大值。
3
26．求内接于椭圆x
2
y2 1 ，而面积最大的矩形的边长。
a 2 b2
解：设矩形在第一象限的顶点坐标为x, y ，则
x a cos
y b sin 2
故矩形面积为 S 4 xy 4ab sin cos 2ab sin 2
当时， S 取最大值 2ab ，
4
矩形边长分别为 2x 2a 和2y 2a 。
27．函数y ax 3 bx2 cx d a 0 的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。
解： y 3ax 2 2bx c ，因a 0 ，则 y 是开口向上的抛物线
要使 y 没有极值，则必须使 y 在, 是单增或单减
即必须满足 y 0 或 y 0
故只有2b 2 4 3ac 0 时，才能使 y 0 成立
即 b2 3ac 时，y没有极值。
28．试证y xsin x 的拐点在曲线 y 2 4x22 上。
4 x
证： y sin x x cos x ， y 2cos x x sin x
设 a, b 是 y x sin x 的拐点，则2 cosa a sin a 0
b a sin a
即a
2ctga b 2 cosa
4a 2 4 2ctga 2
2 2
∵
a 2
4
2ctga 2 4 cos a b
4
∴ y
x sin x 的拐点在曲线
y 2
4x 2
4
x 2
上。
29．试证明曲线 y
x 1
有三个拐点位于同一直线上。
x 2 1
证： y
x 2 2x 1
， y
x 1 x 2 4x
1
x 2 2
x 2
3
1
1
令 y 0 得： x 1
1， x 2 2 3 ， x 3
2
3
∴ y 1
1， y 2
3 3 3 5 ， y 2
3
3 3 5 故三个拐点 A
1, 1 ， B 2
3, 5 3 3 ， C 2
3, 5 3 3
容易验证： A 、 B 、 C 在同一直线上。
30．试决定 y k x 2
3 2
中的 k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。 解： y
4kx x 2
3
， y 12k x 2
1
令 y
0 ，得 x 1 或-1
则拐点为 1,4k 及 1,4k
10．在拐点 1,4k 处切线斜率为 y 1
8k
从 而 在 拐 点 1,4k 处 法 线 斜 率 为 1
， 这 样 法 线 方 程 为
8k y 4k
1
1 ，因法线过原点，所以 k
2 x
8
8k
20 ． 在 拐 点 1,4k 处切 线斜 率为 y
1 8k ， 这 样法 线方 程为
y 4k
1 x 1 ，因法线过原点，所以 k
2 。
8k
8
故 k
2
时，曲线的拐点处的法线通过原点。
8
(B)
1．函数 f x 3 8x x 2，则 ( C )
A．在任意闭区间a,b 上罗尔定理一定成立
B．在0,8 上罗尔定理不成立C．在0,8上罗尔定理成立D．在任意闭区间上，罗尔定理都不成立
2．下列函数中在1,e上满足拉格朗日定理条件的是 ( B )
A．ln ln x B． ln x C．1
D．ln 2 x ln x
3．若 f x为可导函数，为开区间a, b 内一定点，而且有 f 0 ，x f x 0 ，则在闭区间 a,b 上必有( D )
A．f x 0 B． f x 0 C．f x 0 D． f x 0
4 ．若f x 在开区间 a,b 内可导，且对 a,b 内任意两点 x1 ， x2 恒有
f x2 f x1 x2 x1 2则必有 ( D )
A．f x 0 B．f x x C．f x x D．f x C (常数)
5 ．设lim f x 为未定型，则lim f x 存在是lim f x 也存在的 ( B )
xx
0g x xx
0g x
xx
0g x
A．必要条件B．充分条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
6．已知f x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，且当 x a, b 时，有 f x 0 ，又已知 f a 0 ，则 ( D )
A．f x 在 a,b 上单调增加，且 f b 0
B．f x 在 a,b 上单调减少，且 f b 0
C．f x 在 a,b 上单调增加，且 f b 0
D．f x 在 a,b 上单调增加，但 f b 正负号无法确定
7．函数 y xarctgx 的图形，在 ( B )
A．,处处是凸的B．, 处处是凹的
C．,0 为凸的，在 0, 为凹的 D．,0 为凹的，在 0, 为凸的8．若在区间a,b内，函数f x 的一阶导数 f x 0 ，二阶导数 f x 0 ，则函数 f x 在此区间内是( D )
A．单调减少，曲线上凹B．单调增加，曲线上凹
C．单调减少，曲线下凹D．单调增加，曲线下凹
9．曲线y
5
( D ) x 5 3 2
A．有极值点 x 5 ，但无拐点B．有拐点 5,2 ，但无极值点C． x 5有极值点且5,2 是拐点D．既无极值点，又无拐点10．设函数 f x 在 x a 的某个邻域内连续，且 f a 为其极大值，则存在0 ，当x a , a 时，必有 ( C )
A．x a f x f a 0 B．x a f x f a 0
C．lim f t f 2 x 0 x a D．lim f t
f 2 x 0 x a
t a t x t a t x
11．抛物线y x 2 4x 3 在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的答案
是 ( B )
A．顶点2, 1 处的曲率为1
，曲率半径为2 2
1
B．顶点2, 1 处的曲率为2，曲率半径为C．顶点1,2 处的曲率为1，曲率半径为 1
D．顶点1,2 处的曲率为1
，曲率半径为 2 2
12．设函数y f x 在 x x0处有 f x00 ，在 x x1处 f x1不存在，则( C )
A．x x0及 x x1一定都是极值点B．只有x x0是极值点
C．x x0与 x x1都可能不是极值点
D．x x0与 x x1至少有一个点是极值点
13．求极限 lim x x 。
x 0
解：令 y
x x ，则 ln y x ln x
ln x
1
∵ lim x ln x lim 型
lim x 0
x 0
x 0 1 x 0
1
x
x 2 ∴原式 e 0 1
14．求 lim
e x
e sin x
x 0
x sin x
型
lim e
x
解：原式 0 e sin x cos x 0型
lim e x
e sin x cos 2 x e sin x sin x
x 0
1 cos x x 0
sin x
0 型
x sin x
3 sin x
sin x
e
cos x 3e
sin x cos x e cos x
1
lim
e
x 0
cos x
arctg
1
arctg
1
15．求 lim
n n 1
n
1 1
n n 1
解：令 F x
arctgx ，则 F x 在 1 , 1 上连续，在
1 , 1
可导，故由 n 1 n n 1 n
arctg
1
arctg
1 拉格朗日定理知，存在一点 ，使 f
n n
1
1 1
n n 1
当 n
时，则
故原式 lim f
lim
1
1
1
2
16．试证当 a b 1 0 时， f x
x
2
x ax
b
取得极值。
1
证： f x
x 2 2x a b
1
a b 1
x 2
x 1 2
1
故 a b 1 0 时， f x
0 有解 x 1
a b 1
当 x 1
a b 1 时， f x 0 ，从而 f x 单增
当1
a b 1 x 1
a b 1时， f x
0 ，则 f x 单减
当 x 1 a b 1 时， f
x 0 ，则 f x 单增
故 f x 在 x 1
a
b 1 处取得极大值
f x 在 x 1
a
b 1 处取得极小值
17．求由 y 轴上的一个给定点 0,b 到抛物线 x 2
4y 上的点的最短距离。
解：设 M x, 1
x 2
是抛物线上任一点，则 0,b 到 M 的距离为
4
1 x 2
2
d
x 2
b 2
4
从而 d
1
2 x 1 x
3 b x
1
8 2
x 2
x 2 b
4
令 d
0 ，得 x 0 或 x 2
4b 8
10．当 b 2 时，只有一个驻点 x 0
当 x 0 时， d 0 ，从而 d 单减 当 x 0 时， d 0 ，从而 d 单增
故 x 0 是 d 的极小值点，极小值为 | b |
2．当 b 2 时，有三个驻点 x 0， 2 b 2 ， 2 b 2
当 x
2 b 2 时， d
0 ，从而 d 单减
当 2 b 2 x 0 时， d
0 ，从而 d 单增
当 0 x 2 b 2 时， d 0 ，从而 d 单减
当 x 2 b 2 时， d
0 ，从而 d 单增
故 x
2 b 2 是极小点，极小值为 2 b 2
18．设 f x 在 0,1 上可导，且 0 f x 1，对于任何 x 0,1 ，都有 f
x 1，
试证：在 0,1 内，有且仅有一个数 x ，使 f x
x 。
证： 令 F x
f x
x ， 因为 F x 在 0,1 上连 续 ，且 F 0 f 0 0 ，
F 1 f 1 1 0 ，则由零点存在定理在0,1 内至少存在一点x ，使F x f x x 0 ，即 f x x 。
下证唯一性。设在0,1 内存在两个点 x1与 x2，且 x1 x2 ，使 f x1 x1，f x2 x2，在 x1 , x2 上运用拉格朗日中值定理，则有x1 , x2 ，使得
f f x2 f x1 x2 x1
1 x
2 x1 x2 x1
这与题设 f x 1矛盾，故只有一个 x 使 f x x。
19 ．设f x 在 1,2 上具有二阶导数 f x ，且 f 2 f 1 0 ，如果
F x x 1 f x ，证明至少存在一点1,2 ，使 F 0 。
证明：由题设知 F x 在 1,2 上满足洛尔定理条件，则至少存在一点 a 1,2 ，使得 f a 0 。
因为 F x f x x 1 f x ，则由题设知 F x 在 1, a 上连续，在 1, a 内可导，且 F 1 f 1 0 ，故 F x 在 1, a 上满足洛尔定理条件，则至少存在一点
，使 F 0 ，
20．设f x在a, b 上连续，在 a,b 内二阶可导且 f a f b 0 ，且存在
点 c a,b ，使得 f c 0 ，试证至少存在一点a, b ，使得 f 0 。
证： f x 在 a, c 及 c, b 上都满足拉格朗日定理条件，则存在a,c ，c,b ，使得
f f c f a f c
c a c a
f f b f c f c
b c b c
因为 f c 0 ，则 f 0 ， f 0
因 f x 在 a,b 内二阶可导，则 f x 在, 上满足拉格朗日定理条件，故
至少存在一点
f f
。 , ，使 f
(C)
．函数 2 ln x 当
1
x
1
内 ( B )
1
f x e 它在
1
,3
1 当1 x
e
1
3
x
A ．不满足拉格朗日中值定理的条件
B ．满足拉格朗日中值定理的条件，且
9e 3
5e
C ．满足中值定理条件，但无法求出 的表达式
D ．不满足中值定理条件，但有
9e 3
满足中值定理结论
5e
2 ． 若 f x 在 区 间 a,
上二 次 可 微 ，且 f a
A 0 ， f a
0 ，
f x
0 ( x a )，则方程 f x 0 在 a,
上 ( D )
A ．没有实根
B ．有重实根
C ．有无穷多个实根
D ． 有且仅有一个实根
3 ．设 x 有二阶连续导数，且 f 0 f x 1 则 ( C )
f
0 ， lim
x
x 0
A ． f 0 是 f x 的极大值
B ． f 0 是 f x 的极小值
C ． 0, f 0 是曲线 y
f x 的拐点
D ． f 0 不是 f x 的极值， 0, f 0
也不是曲线 y
f x 的拐点
4．求 lim
x 3x 2 x sin 2 x
1
3
x 1
x 1
解：令 y
x 3x 2 ，则 ln y
3x 2 ln x ，从而 y
x 3x 2
3
2 3 ln x
x
2
2
2 3
y
x 3 x 2 3 3 ln x
x
x 2 x