大学物理-第2章-质点动力学-习题答案

第二章 质点动力学

2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1

向斜面上方冲去，到最高点

后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1

,求该物体与斜面间的摩擦系数。

解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30

物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得

22011

2(1)

22

mv mv f s -=-?

物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得

201

0sin 302

mv f s mgh f s mgs -=-?-=-?-

20

(2)

(31)

s g u ∴=

-

把式（2）代入式（1）得，

()

220

22

00.198

3u v v =

=+

2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。

解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T .取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得

2

2

sin (1)

cos (2)

t n dv F mg m

dt v F T mg m

R αα=-==-=

由,,1ds rd rd v dt dt dt v

αα=

==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有，

90

2

n (sin )2cos 2cos /m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v gr v

g r

r

v mg mg r

mg α

αα

αωααα

α=-===+==-=-?

?得则小球在点C 的角速度为

＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向

2－3如本题图，一倾角为

的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两

习题2－2图

A

o B r D

C

T α

者间摩擦系数为

，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。 解：如图所示

()

1212min

max sin ,cos cos sin (1)

sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )

(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθ

θθθθθθθθθθ

θθθθθ==∴-==±==?+-=+--∴==++-?+=-+∴=得，得，)()

(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθ

θθθθ

+=

---+∴≤≤+-

2－4如本题图，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，

则A 和B 的加速度大小各为多少 。 解：如图由受力分析得

(1)(2)2(3)2(4)g

g

A A

B B A B A B

A B mg T ma T mg ma a a T T a a -=-===1

解得＝－52＝－5

2－5如本题图所示，已知两物体A 、B 的质量均为m=3.0kg ，物体A 以加速度a =1.0m/s 2

运动，求物体B 与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计）

解：分别对物体和滑轮受力分析（如图），由牛顿定律和动力学方程得，

()

()()

1f 111f (1)''(2)2'(3)'2(4)

5'6'7(4)7.22

A T A T

B T T A B T T T T m g F m a F F m a a a F F m m m F F F F mg m m a

F N

-=-======-+=

=＝解得

2－6质量为M 的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另一质量为m 的木块放在斜面上(如本题图所示)。如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，求M 的加速度和m 相对M 的加速

A

B 习题2-4图

习题2－5图

a

θ

习题2-3图

m

a A

mg

T A T B a B

mg

度。

解：（如图）m 相对M 的相对加速度为m a '，则 cos ,sin ,mx

m my m a a a a θθ''''== 在水平方向，

cos mx

mx Mx mx mx

Mx m M a a a a a a a a θ'=-''∴=+=-+

在竖直方向

sin my

my my

m

a a a a θ'='∴=

由牛顿定律可得，

sin cos cos sin sin mx m

M my m M

N ma ma ma mg N ma ma N Ma θθθθθ'-==-+'-===

解得θ

+θθ=

2

sin cos sin m M mg a M ， 2()sin sin m M m g a M m θ

θ++＝ 2－7在一只半径为R 的半球形碗内，有一粒质量为m 的小钢球。当钢球以角速度ω在

水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？

解：取钢球为隔离体，受力分析如图所示，在图示坐标中列动力学方程得，

2sin sin cos cos ()/n F ma mR F mg R h R

θωθθθ====-

解得钢球距碗底的高度

2ω-

=g R h

2－8光滑的水平面上放置一半径为R 的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为μ。物体的初速率为v 0，求：（1）t 时刻物体的速率；（2）当物体速率从v 0减少到v 0/2时，物体所经历的时间及经过的路程。

解：（1）设物体质量为m ，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得，

02

2

22t

v 2

v (1)

(2)(3)4dv 4dt u v N n f t f N

v F ma m R dv F m a m dt

F uF v dv

u R dt ===-=-=-

??0由上三式可得＝（）R 对（）式积分得＝－

习题2-6图

00Rv v R v t

μ∴=

+

（2） 当物体速率从v 0减少到v 0/2时，由上式00Rv v R v t

μ∴=

+可得物体所经历的时间

0t R v μ

'=

经过的路程

t t 00

0vdt dt ln 2Rv R

s R v t μμ

''

=+??

＝＝

2－9从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度，

设其比例常数为k 。将质量为m 的物体以竖直向上的初速度v 0抛出。 （1）试证明物体的速度为

t m k

t

m k

e v e k

mg v --+-=0)1(

(2)证明物体将达到的最大高度为

)1ln(020mg

kv k g m k mv H +-=

(3)证明到达最大高度的时间为

)1ln(0mg

kv k m

t H +=

证明：由牛顿定律可得

000

002

2

0200ln (1)(2),()

ln(13t

v

v m

m

t t k k

x mg mg kv mdv dt mg kv

mg kv m mg t v e v e k mg kv k

mvdv

dx mg kv

mg kv u du kdv

k mgdu k mgdu

dx mdu dx mdu m u m u

mv kv m g x k k mg m t k --+-=++∴==-++=-

++==∴

=-+=-+∴=-+=?

?

??dv

(1)-mg-kv=m ，

dt

，dv -mg-kv=mv ，dx 令，）

（）0

ln

0t ln mg kv mg kv

mg kv m v k mg k +++∴=+当时，＝即为到达最高点的时间

2－10质量为m 的跳水运动员，从距水面距离为h 的高台上由静止跳下落入水中。把跳

水运动员视为质点，并略去空气阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为－b v 2

，其中b

y

f ＝－kv

mg

v

为一常量。若以水面上一点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，求：（

1）运动员在水中的速率v 与y 的函数关系；（2）跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v 减少到落水速率v 0的1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等）

解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为

0v =

02

20//0100

mg-f-F=ma mg=F f=bv dv a=dt v dy (2)0.4,0.1m v

y ln 5.76m b y v v by m by m dv v dy dv

b mv

dy

b dv m v

v v e m v v v ---=∴-=-=====??b

将已知条件代入上式得，m

＝－

＝

2－11一物体自地球表面以速率v 0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为f ＝－km v 2

，其中k 为常量，m 为物体质量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值。

解：分别对物体上抛和下落时作受力分析（如图），

h

12

0m 1ln()2v 01

ln()

2(2)m v=v 1g

y

v

v v

vdv dy g k g k y k g k g k k g vdv

dy g k k =-++∴=-+∴+=-∴+

?

?

?

?

22

2

2

20max 22

2－/0dv mvdv

(1)-mg-k v =m

＝，dt dy v v v 物体达到最高点时，＝，故v h=y ＝dv mvdv

下落过程中，-mg+k v =m

＝dt dy

－v v （）

2－12长为60cm 的绳子悬挂在天花板上，下方系一质量为1kg 的小球，已知绳子能承

受的最大张力为

20N 。试求要多大的水平冲量作用在原来静止的小球上才能将绳子打断？

解：由动量定理得

000

I mv I v m

?=-?∴=

，如图受力分析并由牛顿定律得，

20

20

220/202.47mv T mg l mv T mg l

mg I l I Ns

-=

=+≥∴+?≥?≥

2－13一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m 。爆炸1.0s 后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为100m 。问第二块落在距抛出点多远的地面上？(设空气的阻力不计)

解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体在最高点得速度得水平分量为

(

)

1

010x 2x 12y 2x 0x (1),v 2mv mv 30mv mv 414v v 100x x v x t

=

=+=2

11112

1

物体爆炸后，第一块碎片竖直下落的运动方程为1

y =h-v t-gt 2

当碎片落地时，y =0,t=t 则由上式得爆炸后第一块碎片抛出得速度为1h-gt 2

＝（）

t 又根据动量守恒定律，在最高点处有

1

＝（）

211

＝－22联立以上（）－（）式得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为＝2＝2x 11

212x 2222y 222214.7v t 5y =h+v t -60,x 500m

y ms v v ms gt y --====2

1

211h-gt 2t 爆炸后第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为x ＝x +（）

1（）

2

落地时由式（5）和（6）可解得第二块碎片落地点得水平位置＝

2－14质量为M 的人手里拿着一个质量为m 的物体，此人用与水平面成θ角的速率v 0

向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）

解：取如图所示坐标，把人和物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物得过程中，满足动量守恒，故有

()00000m cos ()

v u mu

v cos m mu

v v- cos m sin t g

m sin x vt u

m g

v Mv m v u v v v v v θθθθθ

=+-???+M 式中为人抛物后相对地面的水平速率，－为抛出物对地面得水平速率，得

＝+

+M

人的水平速率得增量为

＝＝+M

而人从最高点到地面得运动时间为＝所以人跳跃后增加的距离为

＝＝（+M ）

2－15铁路上有一静止的平板车，其质量为M ，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。现有N 个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m ，相对平板车的速度均为u 。问：在下列两种情况下，（1）N 个人同时跳离；（2）一个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少?所得的结果为何不同，其物理原因是什么?

解：取平板车及N 个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动量守恒。

考虑N 个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速度为v ，则由动量守恒定律得 0＝Mv+Nm （v －u ）

v ＝Nmu/(Nm+M) (1)

又考虑N 个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上商有n 个人时的速度为v n ，跳下一个人后的车速为v n －1，在该次跳车的过程中，根据动量守恒有

（M+nm ）v n =M v n －1+(n-1)m v n －1+m(v n －1-u) (2) 由式（2）得递推公式

v n －1=v n +mu/(M+nm) (3) 当车上有N 个人得时（即N ＝n ），v N ＝0；当车上N 个人完全跳完时，车速为v 0， 根据式（3）有， v N-1=0+mu/(Nm+M)

v N-2= v N-1+mu/((N-1)m+M) ………….

v 0= v 1+mu/(M+nm)

将上述各等式的两侧分别相加，整理后得，

0n 0

mu v nm

,1,2,3....v v

M nm M Nm n N N +≤+=∑

N

＝1＝M+由于故有，即个人一个接一个地跳车时，平板车的末速度大于N 个人同时跳下车的末速度。这是因为N 个人逐一跳离车时，车对地的速度逐次增加，导致跳车者相对地面的速度也逐次增加，并对平板车所作的功也相应增大，因而平板车得到的能量也大，其车速也大。

2－16 A 、B 两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg 的重物，结果是A 船停了下来，而B 船以3.4m/s 的速度继续向前驶去。A 、B 两船原有质量分别为500kg 和1000kg ，求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船的阻力)

解：

设A 、B 两船原有的速度分别为vA 和vB ，传递重物后的速度分别为v ’A 和v ’B,由动量守恒定律可得

11

11m m v mv m v m m v mv m v v 0ms v 3.4ms m mv v 0.4ms m m m m m m m m v v 3.6ms m m m m m A B B B A A B A '-'-'''---'---A B A A B A B B

－－A B

－B

A 2

－B B

B 2

（）+=（）+=将＝，＝代入上面两式，可解得－＝＝（）（）－（）＝＝（）（）－ 2－17一人从10m 深的井中提水，起始桶中装有10kg 的水，由于水桶漏水，每升高1m 要漏去0.2kg 的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。

解：水桶在匀速上提的过程中，加速度为0，拉力和重力平衡，在图示坐标下，水桶重力随位置的变化关系为

G ＝mg －αgy

其中α＝0.2kg/m,人对水桶的拉力的功为

10

(mg gy dy 882J W α=?－）＝

2－18如本题图所示，A 和B 两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m 1和m 2。问在A 板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起来时B 稍被提起。（设弹簧的劲度系数为k ）

解：选取如图所示坐标系，取原点处为重力势能和弹性势能零点，作各种状态下物体的受力图。对A 板而言，当施以外力F 时，根据受力平衡有

11221122121212(1)

ky -mgy =12(3)

F G F

ky mgy y y M N O F y F G G A N B +++''1211121

22221212＝当外力撤除以后，由机械能守恒定律得，11

22

和为、两点对原点的位移。因为＝ky ,F =k ,G =m g 上式可以写为，F -F =2G (2)由（）和（）式可得＝当板跳到点时，板刚被提起，此时弹性力F =G ,且F =F ,

由式（3）可得F ＝G +G =(m +m )g

2－19如本题图所示，质量为m 、速度为v 的钢球，射向质量为M 的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k 的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。

解：设弹簧得最大压缩量为x0。小球与靶共同运动得速度为v1。由动量守恒定律，有

1

222100()(1)

111mv ()kx 222212m x v

k m )

mv m M v m M v M

M =++++又由机械能守恒定律，有＝（）由（）式和（）式可得＝

（

2－20以质量为m 的弹丸，穿过如本题图所示的摆锤后，速率由v 减少到v/2。已知摆

锤的质量为M ，摆线长度为l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？

解：

习题2－18图

习题2－19图

习题2－20图

2h

h 22h v

mv m v'(1)

Mv'g (2)

l

v'1v'2gl Mv'32v 5gl

m

M M M +由水平方向的动量守恒有，

＝2

为了使摆锤能在垂直平面内作圆周运动，在最高点时，摆线中的张力F=0,则，

M ＝式中为摆线在圆周最高点的运动速率。又由机械能守恒定律得

1＝+（）2

解上述三个方程，可得担丸所需速率的最小值为

2M ＝

2－21如本题图所示，一质量为M 的物块放置在斜面的最底端A 处，斜面的倾角为α，高度为h ，物块与斜面的滑动摩擦因数为μ，今有一质量为m 的子弹以速度v 0 沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。

解：

0120cos ()(1)v 11u (2)

22

12m v v 2gh ucot mv M m v ααααα=+=+-222

2

12

在子弹与物块的撞击过程中，在沿斜面的方向上，根据动量守恒有在物块上滑的过程中，若令物块刚滑出斜面时的速度为，并取A 点的重力势能为0。由系统的功能原理可得

h －(m+M)gcos (m+M)v (m+M)gh-(m+M)v sin 由（）、（）式可得＝（

cos ）（+1）m+M

2－22如本题图所示，一个质量为m 的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A 滑下。设容器质量为M ，半径为R ，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态。当小球沿内壁滑到容器底部的点B 时，受到向上的支持力为多大？

解：

习题2－21图

()22

m 0(1)11(2)22

,22()2(3)m M m

M m M m M m

m M v Mv mv mv mgR v v MgR v M m

m MgR v M M m

M m

v v v gR M

-=+==+=

++'=--=根据水平方向动量守恒定律以及小球在下滑过程中机械能守恒定律可分别得式中分别表示小球、容器相对桌面得速度。由式（1）、（2）可得由于小球相对地面运动的轨迹比较复杂，为此，可改以容器为参考系。在容器底部时，小球相对容器的运动速度为在容器底部2(4)

342(3)

m N N v F mg m R

m

F mg M

'-==+，小球所受惯性力为零，其法向方程为由（）、（）式可得小球此时所受到的支持力为

2－23如本题图所示，质量分别为m 1=10.0kg 和m 2=6.0kg 的两小球A 和B ，用质量可略去不计的刚性细杆连接，开始时它们静止在Oxy 平面上，在图示的外力F 1= (8.0N)i 和F 2 =(6.0N)j 的作用下运动。试求：(1) 它们质心的坐标与时间的函数关系；（2）系统总动量与时间的函数关系。

解：（1）选如图所示坐标，则t ＝0时，系统的质心坐标为

习题2－22图

习题2－23图