第2章 电路的分析方法

第2章 电路的分析方法

电路分析是指在已知电路结构和元件参数的条件下，讨论激励和响应之间的关系。电路分析虽然可以用欧姆定律和基尔霍夫定律，但由于电路形式各异，在某些电路应用时有些美中不足。本章主要介绍线性电路中的一些重要定理，如叠加定理、戴维南定理以及诺顿定理等。

2.1 叠加原理

叠加原理是线性电路的一个重要定理,它反映了线性电路的一个基本性质：叠加性。应用叠加原理可以使某些电路的分析计算大为简化。

所谓叠加原理就是当线性电路中有几个电源共同作用时，各某支路的电流或电压等于电路中各电源单独作用时，在该支路产生的电流或电压的代数和。叠加原理也称独立作用原理。

所谓单独作用，是指除该电源外其它各电源都不作用于电路（除源）。对不作用于电路的电源的处理办法是：恒压源予以短路，恒流源予以开路。对实际电源的内阻应保留。

叠加（求代数和）时以原电路的电流（或电压）的参考方向为准，若各个独立电源分别单独作用时的电流（或电压）的参考方向与原电路的电流（或电压）的参考方向一致则取正号，相反则取负号。

例2-1-1 图2-1（a ）所示电路中，已知R 1 = 100Ω，R 2 = 100Ω，U S = 20V ， I S = 1A 。试用叠加原理求支路电流I 1和I 2。

解：根据原电路画出各个独立电源单独作用的电路，并标出各电路中各支路电

U

I 2

U

I 2

′

R I 2 ″

（a ）原电路 （b ）U S 单独作用电路 （c ）I S 单独作用电路

图2-1 例2-1-1插图

按各电源单独作用时的电路图分别求出每条支路的电流值。 由图（b ）恒压源U S 单独作用时 121220

0.1A 100100

S U I I R R ''==

==++

由图（c ）恒流源V S 单独作用时

12

0.5A I I ''''== 根据电路中电流的参考方向，一致取正，相反取负的原则，求出各独立电源在支路中单作用时电流（或电压）的代数和。

111220.10.50.4A

0.10.50.6A

2I I I I I I '''=-=-=-'''=+=+=

I 1为负说明其实际方向与正方向相反。

叠加原理是分析线性电路的基础，应用叠加原理应注意只适用于线性电路中电流和电压的计算，不能用来计算功率，因为电功率与电流和电压是平方关系而非线性关系。

2.2 等效电源定理

等效电源定理包括戴维南定理和诺顿定理，它是分析计算复杂线性电路的一种有力工具。当只需计算复杂电路中某一支路的电流时，应用等效电源定理来求解最为简便。等效电源定理的应用涉及到二端网络概念。所谓二端网络是指任何具有一对端钮的电路，二端网络又称一端口网络。若网络内含有电源，称为有源二端网络，用N A 表示；若网络内不含有电源，称为无源二端网络，用N P 表示。

图2-2 （a ）电路的虚线部分就是一个有源二端网络。按照“等效”的含义，可以推想到，完全有可能找到这样一个等效电源，用它来代替原来的有源二端网络后，并不改变其端口电压U 以及流出（或流入）引出端钮的电流。

L

（a ） 图2-2 有源二端网络

分析方法称戴维南定理；用电流源来代替有源二端网络的分析方法称诺顿定理。

2.2.l 戴维南定理

戴维南定理表述为：任何一个线性有源二端网络，对外电路来说，总可以用一个恒压源U o 与电阻R o 串联的电压源来代替。电压源的U o 等于该有源二端网络端口的开路电压U oc ，其电阻R o 等于该有源二端网络中所有独立电源除源(恒压源短路，恒流源开路）后所得到的无源二端网络两端之间的等效电阻。

戴维南定理内容可以用图2-3表示。为了简化，将外电路用一负载电阻表示。外电路可以是线性或非线性有源或无源网络。

值得注意，戴维南定理讨论的是线性有源二端网络简化的问题，定理使用时对网络外部的负载是否是线性的并没有作要求。换句话说，外部电路是线性的还是含有非线性元件都可以使用这个定理。

如果对有源二端网络的内部电路不了解，或电路十分复杂，那么戴维南等效电路的U o 和R o 则可以通过实验的方法来确定。这也是戴维南定理的一个优点。有源二端网络的开路电压U oc 和短路电流I sc 可分别用电压表、电流表直接测量。如果有源二端网络不允许直接短接，可用电流表串一保护电阻R '接入ab 两端。

无R ' oc s U U = oc sc U I =

即oc o U

R = （2-1） （a ）有源二端网络 （b ）戴维南等效电路 （c ）开路求电压U o （d ）去源求内阻R o 图2-3戴维南定理的图解表示

R L

L

R L

I L

oc

sc a

图2-4 用实验方法直接测量U oc 与R o

有R ' oc s U U = oc o sc U I R R =

'+ 即oc o sc

U

R R I '=- （2-2） 上式正是法国工程师M.L. 戴维南于1883年提出定理时的实践依据。

例2-2-1 试用戴维南定理求图2-5（a ）所示电路中通过R 2的电流。已知U S = 20V ， I S = 1A ， R 1 = 100Ω，R 2 = 100Ω。

解：（1）将图（a ）所示的原电路待求支路从a 、b 两端取出，画出图（b ）求开路电压U O 的电路图。

（2）求开路电压V o 、等效电阻R o

o ab a b 1s 100120120V s U U V V I R U ==-=+=?+=

将图（b ）中的恒压源U S 、恒流源I S 去除，画出求等效电阻R o 的电路（c ）图。 从a 、b 两端求得等效电阻 o 1100R R ==Ω （3）求电流I

根据全电路欧姆定律可得

o 2o 2120

0.6A 100100

U I R R =

==++

上述计算结果和例2-1-1中用戴维南定理计算结果完全一致。从而验证了戴维南定理的正确性。

从以上例题可看出，用戴维南定理求某一支路电流的步骤： 1． 将电路分割成有源二端网络和待求支路部分。 2． 开路求电压（U o ）、去源求内阻（R o ）。 3． 根据全电路欧姆定律求解。

例2-2-2 电路如图2-6（a ）所示，已知开关S 扳向1，电流表读数为2A ；开关S 扳向2，电压表读数为4V ；求开关S 扳向3后，电压U 等于多少？

解：根据戴维宁定理，由已知条件得 短路电流 I sc =2A U oc =4V

U

I 2

a

U

（a ） （b ） （c ）

图2-5 例2-2-1

根据戴维宁定理可画出其等效电路图2-6（b ） U =1×5+1×2+4=11V

2.2.2 诺顿定理

一个线性有源二端网络既然可以用一恒压源与电阻串联组合来等效替代，同样也可以用恒流源与电阻并联组合来等效替代。

诺顿定理表述为：任何一个线性有源二端网络，对外电路来说，总可以用一个恒流源I S 与电阻R o 并联的电流源来代替。恒流源的I S 等于该有源二端网络端口的短路电流，其电阻R o 等于该有源二端网络中所有独立电源除源（恒压源短路，恒流源开路）后所得到的无源二端网络两端之间的等效电阻。

诺顿定理内容可以用图2-7表示。

2.3 含受控源电路的分析

前面所讨论的电压源和电流源能独立地为电路提供能量，所以被称之为独立电源。它们的电压或电流是一定值或是一固定的时间函数。而有些电路元件或部件，它的电压或电流是电路中其它某支路电压或电流的函数。换句话说，是受其它支路（a ）有源二端网络 （b ）诺顿等效电路 （c ）短路求电流I S （d ）去源求内阻R o 图2-7 诺顿定理定理的图解表示

R L I L

U R L

L

（a ） （b ）

图2-6 例2-2-2

+ U –

源的电压或电流也将为零。如晶体管的集电极电流受基极电流的控制，可以用受控源模型来描述其工作性能。

独立源和受控源在电路中的作用完全不同。前者是作为电路的输入，它代表外界对电路的作用；后者是作为某些电路元件和部件中所发生物理现象的一种模型，它反映了电路中某处电压或电流受另一处电压或电流的控制关系。电路图中为了区分开这两种电源，受控源往往用菱形图表示。

2.3.1 受控源类型和符号

受控源有两对端钮，一对输入端钮，一对输出端钮，所以称为四端元件。输入端用来施加控制量以控制输出的电压或电流。根据控制量是电压或电流，受控源是电压源或电流源，受控源可分为四种类型：电压控制电压源（UCUS ）、电流控制电压源（CCUS ）、电压控制电流源（UCCS ）、电流控制电流源（CCCS ）。这四种理想受控源模型电路符号分别依次如图2-8（a ）、（b ）、（c ）、（d ）所示。

1. 电压控制电压源（UCUS ），如图2-8（a ）所示，输出电压U 2 =μU 1，其中μ是电压放大系数、U 1为输入电压。

2. 电流控制电压源（CCUS ），如图2-8（b ）所示，输出电压U 2 = r I 1，其中r 是转移电阻，单位是欧姆（Ω），I 1为输入电流。

3. 电压控制电流源（UCCS ），如图2-8（c ）所示，输出电流I 2 = gU 1，其中g 是转移电导，单位是西门子（S ），U 1为输入电压。

4. 电流控制电流源（CCCS ），如图2-8（d ）所示，输出电流I 2 = βI 1，其中β是电流放大系数，I 1为输入电流。

当上述式子中的系数μ、r 、g 、β是常数，则受控源的控制作用是线性的。

图2-8 理想受控源模型

的受控源输入端为开路（输入电阻无穷大）；电流控制的受控源输入端为短路（输入电阻为零）。这样，理想受控源的输入功率损耗为零。从输出端看，对受控电压源来说，输出电压恒定（输出电阻为零）；对受控电流源来说，输出电流恒定（输出电阻为无穷大）。

受控源具有两重性：电源性和电阻性。对受控源来说，只要控制量不为零，受控电压源两端就有电压输出，受控电流源就能输出电流。它们在电路中就与独立源具有同样的外特性，这就是它的电源性。受控源的电阻性是指在电路中可用一个等效电阻代替受控源，而且此等效电阻可能为正值，也可能为负值（见例2-3-2）。

2.3.2 含受控源电路的分析

在计算含有受控源的电路时，可采用前面介绍的各种方法分析计算。如用基尔霍夫定律列电路方程时，可将受控源当作独立电源对待。但在化简电路时不能将受控源的控制量消除掉，否则会留下一个没有控制量的受控源电路，使电路无法求解。另外，由于受控源具有电阻性，在除源时不能把受控源当作独立源，应当给予保留。这在求等效电阻时特别注意。

由于在计算含有受控源电路的等效电阻时，不能将受控源除源，所以其等效电阻也就无法用电阻的串并联方法直接计算出来。其计算方法如下：

1. 外加电源法

（1）将二端网络中的恒压源短路，恒流源开路，但保留受控源 （2）o U

R I

=

2. 开路电压，短路电流法 （1）求开路电U O 和短路电流I sc （2）oc

o sc

U R I =

例2-3-1 用叠加原理求图2-9（a ）所示电路中电流I 1。

（a ） （b ） （c ）

图2-9 例2-3-1

解：当12V 恒压源单独作用时，电路如图（b ）所示。 根据KVL 1112(13)20I I ''-+?-= 得12I '= A 当6A 恒流源单独作用时，电路如图（c ）所示。

根据KVL 1113(6)120I I I ''''''?--?-= 得13I ''= A

由叠加原理可得 13211

1-=-=''-'=I I I A 这里要注意，受控源不能单独作用，各独立源单独作用时，受控源均应保留。并且控制量的参考方向改变时，受控源的电压或电流的参考方向也要相应改变。

例2-3-2 试化简图2-10（a ）所示电路。

解：首先将受控电流源变换为受控电压源，变换后的电路如图（b ）所示。按照（b ）图可写出如下电路方程：

100100020010290010U I I I I =-+++=+

根据以上电路方程可以将原电路简化为图（c ）

从本题可以看到， 在此电路里CCUS 等效一个-100Ω的电阻。以上说明受控源具有电阻性。

值得注意的是：即使受控源的控制系数一样，但在不同的电路里其等效的电阻并不是一个固定电阻值。这是由于控制量和电路其它元件参数有关。

例2-3-23 试求图2-10（a ）所示电路的戴维南等效电路。

解：（1）求开路电压

100I

U

（a ） （b ） （c ）

图2-11 例2-3-3

U 100I

U

U （a ） （b ） （c ）

图2-10 例2-3-2

（2）求等效电阻

把图2-10（a ）中的电压源短路后如图2-11（a ）所示。再把受控电流源变换为受控电压源如图2-11（b ）所示。

10010002002900U I I I I =-++=

因而 o 2900U

R I

==Ω

戴维南等效电路由U oc =10V 与R o =2900Ω串联组成，如图2-11（c ）所示。

2.4 RC 电路的暂态分析

在自然界中，各种事物的运动过程通常都存在稳定状态和过渡状态。例如某电动机原来静止，转速为零，接通电源后电动机起动，转速逐渐上升，最后以某一转速稳定运行。电动机的起动过程就是过渡过程。电路中也常出现过渡过程，我们把它叫做暂态过程。

2.4.1 电路的暂态过程与换路定理

电路中的暂态过程是由于电路的接通、断开、短路、电源或电路中的参数突然改变等原因引起的。我们把电路状态的这些改变统称为换路。然而，并不是所有的电路在换路时都产生过渡过程，换路只是产生过渡过程的外在原因，其内因是电路中具有储能元件电容或电感。

现在，简要分析为什么含有储能元件的电路换路时就可能产生暂态过程。因为换路时电路状态将发生变化（即电流、电压等状态参量发生变化），所以储能元件的储能也发生变化。如果能量的变化可以突变，由p =dw/dt 可知，就意味着无穷大功率的存在，这在实际中是不可能的。因此能量是不能突变的。

电容与电感均属储能元件，它们的磁能和电能分别为

212C Cu 和212

L Li 因此C u 和L i 不能突变。今设t =0为换路瞬间，而以0t -=表示换路前的终了瞬

间，+=0t 表示换路后的初始瞬间。在-=0t 到+=0t 的换路瞬间，电容元件的电压

c 0c 0L 0L 0()()

()()

u t u t i t i t +-+-=??

=? （2-3）

必须指出的是，换路定则只能确定换路瞬间+=0t 时不能突变的C u 和L i 初始值。

2.4.2 RC 电路的零状态响应

在电路分析中，通常将电路在外部输入（常称为激励）或内部储能的作用下所产生的电压或电流称为响应。如果电路没有初始储能，仅由外界激励源（电源）的作用产生的响应，称为零状态响应。如果无外界激励源作用，仅由电路本身初始储能的作用所产生的响应，称为零输入响应。既有初始储能又有外界激励所产生的响应称为全响应。

电路如图2-12所示。设开关S 闭合前未充电，t = 0时将它合上，研究C u 、i 、

R u 等量的变化规律。

根据KVL 可列回路方程

S R C u u u =+

因为 R u R ι= C C du

i C dt

=

代入前式得

C

C S du RC

u U dt

+= （2-4） 该式是一阶常系数非齐次线性微分方程，解此方程就可得到电容电压随时间变

化的规律。该方程的解由特解C

u '和通解C u ''两部分组成，即C C C u u u '''=+ 特解C

u '是方程的任一个解。因为电路的稳态值也是方程的解，且稳态值很容易求得，故特解取电路的稳态解，即

()C

C t S u u t U →∞

'== （2-5）

C

u ''为方程对应的齐次方程 C

C 0du RC

u dt

+= （2-6） 的通解，其解的形式是Ae pt ，其中A 是待定系数。

令p 是齐次方程的特征根，则特征方程为

10RCp +=

11p RC τ

=-

=- 上式中τ=RC ，具有时间量纲，称为RC 电路的时间常数。因此通解可写为

C

e t

RC

u A -''= （2-7）

U C

图2-12 RC 充电电路

此，稳态分量加暂态分量就得到方程的全解，即

C S ()e

t RC

u t U A -

=+

根据换路定律 c 0c 0()()0u t u t +-== 得 S A U =- 于是得到 ()(1e

)(1e )t t

RC

C S S u t U U τ--

=-=- （2-8）

C S C e t

du U i C dt R

τ-== （2-9）

R C S ()e t

u t i R U τ

-

== （2-10）

可见，开关S 闭合瞬间C 相当于短路，电阻电压最大为U S ，充电电流最大为U S /R ，稳态后电阻电压和电流均零。C u 、i 和R u 的变化曲线如图2-13所示。

可以看出，电容器充电时C u 、i 和R u 它们是按指数规律上升或衰减的，其上升或衰减的速度由时间常数τ决定，在同一电路中各相响应的τ是相同的。

表2-1

从理论上讲，暂态过程所经历的时间为无限长，但一般认为当时间t 等于时间常数的4～5倍，暂态过程即已结束，这可以从表2-1中看出。

2.4.3 RC 电路的零输入响应

c R 图2-13 RC 电路零状态响应

电路如图2-13所示，设电路开关S 原来闭合，电容器充电至电压U S ，电路处于稳定状态。t = 0时开关S 动作将RC 电路短接，电容C 对电阻R 放电。

根据KVL 可列回路方程

R C 0u u +=

因为 R u R ι=

C

C du i C

dt

= 代入前式得一阶线性常系数齐次微分方程

C

C 0du RC

u dt

+= （2-11） 其通解为

e C t RC u A -=

根据换路定律求得

c 0c 0()()S u t u t U +-==

S A U =

由此可知

d e d C C t

RC

u U i C t R

-==- 2-12） e R C t

RC u i R

U -==- （2-13）

e C S t

RC u U -= （2-14）

以上负号说明其实际方向与正方向相反。

U C 1

图2-13 RC 放电电路

图2-6 RC 电路的零输入响应

第2章电路的分析方法

2.1 叠加原理

2.2 戴维南定理和诺顿定理

2.2. l 戴维南定理

2.2.2 诺顿定理

2.3 受控源和含受控源电路的分析2.

3.1 受控源

2.3.2含有受控源电路的分析方法2.4RC电路的暂态分析

2.4.1电路的过渡过程与换路定理2.4.2 RC电路的零状态响应

2.4.3 RC电路的零输入响应