长宁区2018学年第二学期初三教学质量检测数学试卷及详解

人数

12

10 5 0 15 20 25 30 35 次数

3

2018学年第二学期初三数学教学质量检测试卷

（考试时间：100分钟 满分：150分）

考生注意:

1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.

一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）

【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1. 化简33m m +的结果等于（ ▲ ） A. 6m ；

B. 62m ；

C. 32m ；

D. 9m ．

2.下列二次根式中，最简二次根式的是（ ▲ ） A.

x 8；

B.

42+y ；

C.

m

1； D.

23a ．

3.某校随机抽查若干名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数， 把所得数据绘制成频数分布直方图（如图1），则仰卧起 坐次数不小于15次且小于20次的频率是（ ▲ ） A. 0.1； B. 0.2； C. 0.3； D. 0.4．

4.下列方程中，有实数解的是（ ▲ ） A.

04

22

=-+x x ； B. 0122

=+-x x ； C. 042=+x ； D. x x -=-6．

5．下列命题中，真命题的是（ ▲ ）

A. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等；

B. 如果两个圆没有公共点，那么这两个圆外离；

C. 如果一条直线上有一个点到圆心的距离等于半径，那么这条直线与圆相切；

D. 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．

6．已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ▲ ）

A. CD AB CBD ADB //，∠=∠；

B. BCD DAB CBD ADB ∠=∠∠=∠，；

C. CD AB BCD DAB =∠=∠，；

D. OC OA CDB BD =∠=∠，A ．

注：每组可含最小值，不含最大值 图1

二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】

7. 今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为 ▲ ．

8. 计算：432

2221÷-??

?

??-= ▲ ．

9. 如果反比例函数x

k

y = (k 是常数，0≠k )的图像经过点)2,1(-，那么这个反比例函数的图像在 第 ▲ 象限． 10. 方程组??

?=-=+2

3

xy y x 的解是 ▲ ．

11. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是 ▲ ． 12. 如果二次函数2

2-=m mx

y （m 为常数）的图像有最高点，那么m 的值为 ▲ ．

13. 某商品经过两次涨价后，价格由原来的64元增至100元，如果每次商品价格的增长率相同，那么

这个增长率是 ▲ ．

14. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成下表，

那么这些测试数据的中位数是 ▲ 小时．

睡眠时间（小时）

6 7 8 9 学生人数

8

6

4

2

15. 如图2，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，联结AE 、BD 交于点F ， 若a BC =，b BA =，用a 、b 表示=DF ▲ ．

16. 在ABC Rt ?中，?=∠90ABC ，6=AB ，8=BC ．

分别以点C A 、为圆心画圆，如果点B 在⊙A 上，⊙C 与⊙A 相交， 且点A 在⊙C 外，那么⊙C 的半径长r 的取值范围是 ▲ ．

17. 我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、72．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为 ▲ ．

18. 如图3，在ABC ?中，5==AC AB ，8=BC ，将ABC ?绕着点C 旋转， 点B A 、的对应点分别是点'A 、'B ，若点'B 恰好在线段'AA 的延长线上， 则'AA 的长等于 ▲ ．

图2

A

B C

D

E

F 图3

A

B

C

三、解答题（本大题共7题, 满分78分）

【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）

先化简，再求值：)44

(24222-+÷+-x x x

x x ，其中3=x ．

20．（本题满分10分）

解不等式组：???

??≤--->- 1223

)1(3)6(2 ．　，

x x x x ，并把解集在数轴上表示出来.

21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图4，在Rt ABC ?中，?=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，点D 是边AC 的中点，BD CF ⊥，垂足为点F ，延长CF 与边AB 交于点E ．

求：（1）ACE ∠的正切值； （2）线段AE 的长．

22.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

某文具店每天售出甲、乙两种笔，统计后发现：甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系，设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为x （支）、y （支），部分数据如下表所示（下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量）．

甲种笔售出x （支） … 4 6 8 … 乙种笔售出y （支）

…

6

12

18

…

（1）求y 关于x 的函数关系式；（不需要写出函数的定义域）

（2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和120元，如果乙种笔每支售价比甲种笔每

支售价多2元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支？ 23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）

如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且

?=∠90EAC ，EC EB AE ?=2．

（1）求证：四边形ABCD 是矩形；

（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =．

4

3 2 1

0 -4 -3 -2 -1 图4

A

C

B

D

E

F 图5

A

B C

D

E F

O

24.（本题满分12分，每小题4分）

如图6，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=2

9

4经过原点，且与x 轴相交于点A ，点A 的横坐标为6，抛物线顶点为点B ． （1）求这条抛物线的表达式和顶点B 的坐标；

（2）过点O 作AB OP //，在直线OP 上点取一点Q ，使得OBA QAB ∠=∠，求点Q 的坐标； （3）将该抛物线向左平移)0(>m m 个单位，所得新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第

四象限，此时点A 移动到点D 的位置，4:3:=DB CB ，求m 的值．

图6

1 y

1

x

O

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）

如图7，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，3=AC ，4=BC ，点P 在边AC 上（点P 与点A 不重合），以点P 为圆心，PA 为半径作⊙P 交边AB 于另一点D ，DP ED ⊥，交边BC 于点E ． (1) 求证：DE BE =；

(2) 若x BE =，y AD =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；

(3) 延长ED 交CA 的延长线于点F ，联结BP ，若BDP ?与DAF ?相似，求线段AD 的长．

图7

B

E

C

A

D

P 备用图

B

C

A

备用图

B

C

A

长宁区2018学年第二学期初三数学参考答案和评分建议

2019.3

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．D ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．61009.5?； 8．213

； 9．二、四； 10．???-=-=12y x 或???-=-=2

1y x ； 11．21

； 12．2-； 13．%52；14．7；15．→→--b a 3131； 16．104<

14

．

三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78

分）

19. （本题满分10分）解：原式= x

x x x x x x 4

4)2()2)(2(2+-÷+-+ (4分)

=

2

)2(2-?

-x x

x x (2分) =2

1

-x (2分) 当3=

x 时，原式=

21-x =2

31-=23-- (2分) 20．（本题满分10分）

解：???

??≤--->-② 1223

① )1(3)6(2 ．　，

x x x x

由①得33212->-x x ∴ 3

∴ 不等式组的解集为 30<≤x （1分） 不等式组的解集在数轴上表示正确 . （1分） 21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）∵?=∠90ACB ∴ ?=∠+∠90BCE ACE

又∵BD CF ⊥ ∴ ?=∠90CFB ∴?=∠+∠90CBD BCE ∴CBD ACE ∠=∠ （2分） ∵4AC =且D 是AC 的中点，∴2CD =

又∵3BC =，在BCD Rt ?中，?

=∠90BCD ∴2

tan 3

CD BCD BC ∠== （2分） ∴2

tan tan 3

ACE CBD ∠=∠=

（1分） （2）过点E 作EH AC ⊥，垂足为点H ， 在Rt EHA ?中，90EHA ?

∠= ∴tan EH

A HA

∠=

∵ 3BC =，4AC = 在Rt ABC ?中，?=∠90ACB ，∴3

tan 4

BC A AC ∠=

= ∴

3

4

EH AH = （1分） 设3EH k =，4AH k =，∵222AH EH AE +=，∴5AE k = （1分）

在Rt CEH ?中，?

=∠90CHE ∴2

tan =3

EH ECA CH ∠=

，∴9k C 2H = （1分） ∴17C 42

A AH CH k =+== ∴ 8

17k =

（1分） ∴40

17

AE = （1分） 22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）设函数关系式为)0(≠+=k b kx y ，由图像过点（4,6）， （6,12） （1分）

得：?

?

?=+=+1266

4b k b k （2分）

解之得：??

?-==6

3

b k （1分）

所以y 关于x 的解析式为：63-=x y （1分） （2）设甲种笔售出x 支，则乙种笔售出)63(-x 支，由题意可得：

230

63120=--x

x （2分） 整理得： 03072

=--x x

解之得：101=x ，32-=x （舍去） 246-3=x （2分） 答：甲、乙两种这天笔各售出10支、24支. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）

证明：（1）∵EC EB AE ?=2 ∴AE

EB EC AE =

又 ∵CEA AEB ∠=∠ ∴AEB ?∽CEA ? （2分） ∴EAC EBA ∠=∠

∵?

=∠90EAC ∴?

=∠90EBA （1分） 又 ∵?=∠+∠180CBA EBA ∴?

=∠90CBA （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形

∴四边形ABCD 是矩形 （1分）

（2）∵ AEB ?∽CEA ? ∴ AC AB AE BE = 即 AC

AE AB BE = ， ECA EAB ∠=∠ （2分）

∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD AC =

又 ∵BD OB 21=

， AC OC 2

1

= ∴OC OB = ∴ECA OBC ∠=∠ 又 ∵OBC EBF ∠=∠ ECA EBA ∠=∠ ∴EAB EBF ∠=∠

又 ∵F F ∠=∠ ∴EBF ?∽BAF ? （3分）

∴

AB BE AF BF = ∴AC

AE

AF BF =

（1分） ∵AC AF = ∴AE BF = （1分）

24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）

解：（1） 点)0,0(O 、)0,6(A 在抛物线c bx x y ++=

2

9

4上 ∴?????=++?=0636940c b c ，解得?????

=-=0

38c b （ 2分）

∴抛物线的解析式为x x y 3

8

942-=

，顶点B 的坐标是)4,3(- （ 2分） （2）∵)0,6(A ，)4,3(-B ∴34AB =k ，∵AB OP // ∴3

4

OP =k ，

设点)4,3(k k Q ，因为 OAB OBA ∠>∠ ，所以 0>k

（ 1分）

∵OP 平行于AB ， QA 不平行于 OB ∴四边形OQAP 为梯形

又∵OBA QAB ∠=∠ ∴四边形OQAP 为等腰梯形 ∴OA QB = （1分）

∴

36)44(332

2=++-k k ）（ ∴25

11

=k 或1-=k （舍去） （1分） ∴)25

44

,2533(

Q （ 1分） （3）由（1）知4)3(9

438942

2--=-=x x x y

设抛物线向左平移)0(>m m 个单位后的新抛物线表达式为4)3(9

42

-+-=m x y

因为新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第四象限，设点C 的坐标为),0(c C

所以30<

43

=

=BE BF BD BC ?=∠=∠90BED BFC ∴BCF ?∽BDE ? ∴

43==BD BC DE CF ∴4

33=-m CF ∴)3(43

m CF -=

∴ )3(4

3

44m CF OC --

=-= （2分） 又∵4)3(942-+-=m x y ∴ 2

)3(944m OC --= （1分）

∴ 2

)3(944)3(434m m --=--

∴16

211=m 或者 32=m （舍去） ∴ 1621

=m （1分）

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1） ∵DP ED ⊥ ∴ ?

=∠90EDP ∴?

=∠+∠90PDA BDE

又∵?=∠90ACB ∴?=∠+∠90PAD B （1分） ∵PA PD = ∴PAD PDA ∠=∠ （1分）

∴B BDE ∠=∠ （1分） ∴DE BE = （1分） （2）∵y AD =，y

AD BA BD -=-=5

（1分）

过点E 作 BD EH ⊥垂足为点H ，由（1）知DE BE = ， ∴2

521y

BD BH -==

（1分） 在EHB Rt ?中，?

=∠90EHB ∴x

y

BE BH B 25cos -==

在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，3=AC ，4=BC ∴5=AB ∴5

4

cos ==

AB BC B ∴5

4

25=-x y

∴)82587(5825<≤-=x x y （1分+1

分）

（3）设a PD =，则a AD 56=

，a AD BA BD 5

65-=-= 在等腰PDA ?中，53cos =∠PAD ，易得25

7

cos =∠DPA

在PDF Rt ?中，?

=∠90PDF ，257cos ==∠PF PD DPA ∴725a PF =，7

18a AF = （2分） 若BDP ?∽DAF ?又 DAF BDP ∠=∠

①当ADF DBP ∠=∠时，PD AF BD AD =即a

a a a

71856556=-，解得3=a ，此时518

56==a AD （2分） ②当F DBP ∠=∠时，BD AF PD AD =即a a a a

5

6571856-=

，解得117175=a ，此时397056==a AD （2

分）

综上所述，若BDP ?∽DAF ?, 线段AD 的长为5

18或3970