实用文档之有理数混合运算方法技巧
实用文档之"有理数混合运算的方法
技巧"
怀宁县独秀初中 汪邢志
有理数的混合运算是加、减、乘、除、乘方的综合应用，既复习旧知识，又为今后的学习打下基础，对这一单元的知识一定要学好，用活，切实掌握运算法则、运算律、运算顺序。
有理数的混合运算的关键是运算的顺序，为此，必须进一步对加，减，乘，除，乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算，为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算，至此，便可在有理数的混合运算中稳操胜券。
单元学习目标
1．进一步掌握有理数的运算法则和运算律。
2．能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算,并会用运算律简化运算。。
3．能用计算器进行较繁杂的有理数混合运算,注意培养自己的运算能力及综合运用知识解决问题的能力。
二、理解运算顺序
有理数混合运算的运算顺序：
①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键
例1：计算：3＋50÷22×(5
1 )－1
解：原式= ············(先算乘方)
= ···············(化除为乘) = ···(先定符号，再算绝对
值)
②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.
例2：计算：()[]232315.011--???
???
????? ?
??--
解原式=
③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行；
例3：计算：23)2
3
(942-?÷-
三、应用四个原则：
1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。
2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。
3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。
4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和．
把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法．
(2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。
(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算．(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。
例4计算：-0.252
÷(－12
)4
-(-1)2009＋(-2)2×(-3)2
解：
说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。
四、掌握运算技巧
（1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。 （2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 （3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 （4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 （6）、裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法 例 5 计算2+4+6+…+2000
分析：将整个式子记作S=2+4+…+1998+2000．将这个式子反序写出．得S=2000+1998+…+4+2，两式相加，再作分组计算．
例 6 计算211?+321?+431?+……+2008
20071
?
分析: 千万别硬做，繁琐难算又易错！若想到通分，这道题将无法
计算，这道题的规律是：211?=1－21，321?=21－31，431?=3
1
－
41，……200820071?=20071－2008
1由于中间的各项一正一负，相加后都抵消了，只剩下首项和末项，这样问题就迎忍而解了
（6）、正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。
乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便. 例3计算：
(1) -3216
25
÷(-8×4)+2.52+(
1
2
+
2
3
－
3
4
－
11
12
)×24
(2)(－3
2
)×(－
11
15
)－
3
2
×(－
13
15
)＋
3
2
×(－
14
15
)
分析： -3216
25
化成假分数较繁，将其写成(-32－
16
25
)的形式．对
(1
2
+
2
3
－
3
4
－
11
12
)×24，则以使用乘法分配律更为筒捷,进行有理数混
合运算时，要注意灵活运用运算律，以达到筒化运算的目的．
五、理解转化的思想方法
有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。
有理数的加减法互为逆运算，有了相反数的概念以后，加法和减法运算都可以统一为加法运算．其关键是注意两个变：(1)变减号为加号；(2)变减数为其相反数。另外被减数与减数的位置不变．例如（-12）-(+18)+(-20)-(-14)．
有理数的乘除也互为逆运算，有了倒数的概念后，有理数的除法可以转化为乘法。转化的法则是：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
乘方运算，根据乘方意义将乘方转化为乘积形式，进而得到乘方的结果(幂)。
因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。
总之，要达到转化这个目的，起决定作用的是符号和绝对值。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式．若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了．
例计算：
（1） (-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9)
(2) (-21
2
)÷1
1
4
×(-4)
(3)22+(2-5)×1
3
×[1-(-5)2]
解：
六、会用三个概念的性质
如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a= -b；如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.
例6 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，试求x2-(a+b+cd)x+(a+b)2010+(-cd)2011的值
解：
有理数混合运算专项练习
1、8＋(―4
1
)―5―(―0.25) 2、―82+72÷36
3、7
21×143÷(－9＋19) 4、25×43―(―25)×2
1＋25×(－4
1
)
5、(－81)÷241＋9
4
÷(－16) 6、(－1)3－(1－21)÷3
×[2―(―3)2]
7、
3
232)2(361
)3()2(---?
--- 8、
??? ??÷??? ??
-?-÷??? ??-?811432)50(313751
9、()48242387651211-???
?
??-+- 10、
7
222352357323574?-??? ??-???? ??--??? ??-?
11、()
666199819971999-???
?
??- 12、2782411813318833?÷??? ??-?
13、)
2()2(212332
2
-+--??
?
??-+- 14、
()()()?
??
???-??
? ??-÷??????-???
?
??-+-÷?-2314.041143
2417
15、()2
3
13121
1156--÷??? ??-?--- 16、
()??? ??--÷-???? ??-2115
31212314
17、
()416131532222
4
-??? ??-?+??? ?
?-÷- 18、(－3)2－(－3)3－2
2
＋(－2)2
19、()???
???????? ??--??? ??-÷-÷?+???
??-??? ??---2
223
2131535212021311
20、()2
4
33212431611??? ??-÷??????????-???????????? ??--+
常用放缩方法技巧
常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、
数列不等式(放缩法)
用放缩法证明不等式的方法与技巧 一．常用公式 1． )1(11)1(12-<<+k k k k k 2． 1 21 12-+<<++k k k k k 3．22 k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211 6．b a b a +≤+ 二．放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> n >= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4 ）= <=<= （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -） （7）1111111112321111 n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111 123222222n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1???+>???+== 三．常见题型 （一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34 n T <
典型例题：用放缩法证明不等式
用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143 ＜＋＜a b 。 证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以 a ＋ b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 证明：因为a ab b a b b a b a b a b 222 22 234 2 22++=+++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222 +++＞，c ac a c a 222+++＞。 所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c +++＞，所以
(完整版)有理数及其运算知识点汇总
?????????有理数?????)3,2,1:()3,2,1:(ΛΛ如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:(Λ如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(Λ如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、 2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） 4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0） 5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。 7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 ?????<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ???<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 9、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 10、绝对值的性质： ①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 11、有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 12、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 越来越大
常用放缩方法技巧
常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一 提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。 放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） n J k 例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3- 它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运 用往往 对应变能力有较高的要求。 因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。下面结合一 例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明：Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 （ 1 1 二（二 二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2，从而是使和式得到化简 例2、函数f (x ) =±- 1 4x ，求证: （1）+f （ 2） +…+f (n ) 证明：由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分 有理数的加减混合运算的法则 一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义： （1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数； （2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数； （3）0即不是正数也不是负数。 2、有理数的分类： （1）按定义分类 （2）按性质符号分类： 3、数轴： 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 4、相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。 5、绝对值 （1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。 （2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：│_+a┃=a （3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 二、有理数的运算 1、有理数的加法 （1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 （2）有理数加法的运算律： 加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c) 用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。 2、有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 （2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 数列型不等式放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+ =++<+ 用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径 不等式的证明,尤其是使用放缩法证明不等式,很多学生觉得无从下手,老师也觉得教学效果不理想.这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教. 根据建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成若干模块,再对若干模块进行学习,经过同化和顺应,将知识变成自己的一部分. 常见的放缩方法有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二项式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等. 对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或甚难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式. 而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和、易求和的数列. 下面根据实施的途径分为以下五类进行讨论: 途径1:放缩为等差 等差?1类. 例1.求证：2131211222<++++n 同类不等式还有： ⑴ 8 11131211333<++++n ⑵ ()() 12216712151311222+->-++++n n (n>1) ⑶ 33322 1222<++++n n (n>1) 途径2:放缩为等比类. 例2.求证：3 512112112112132<-++-+-+-n 同类不等式还有： ⑴ 5 412112112112132<++++++++n ⑵ 3 4131213513313132<--++-+-+-n n 途径4:增大（减小）分子（分母）或被开方数放缩类. 例5.求证：()()2 2)1(322121+<+++?+?<+n n n n n n 有理数的混合运算专项训练组卷 1．（2011淄博）计算：（﹣2）3+2×（﹣3）．2．（2011连云港）计算：（1）2×（﹣5）+22﹣3÷． 3．（2011常德）计算：17﹣23÷（﹣2）×3．4．（2010常德）计算： ． 5．（2007娄底）计算： （﹣2）3÷（﹣1﹣3）﹣（）﹣1+（﹣π）0 6．（2006自贡）计算： ﹣34+（﹣）100×4100+（）×（）﹣2÷|﹣2|． 7．（2005宿迁）计算： （﹣2）2﹣|﹣7|+3﹣2×（﹣）． 8．（2010高要市二模） 9．（2012开县模拟）计算： |﹣3|+（﹣1）2011×（π﹣3）0． 10． 11．计算：． 12．计算：． 13．计算：﹣22÷（﹣1）3×（﹣5） 14．计算题： （1）（﹣7）×（﹣5）﹣90÷（﹣15）； （2）． 15．计算： （﹣1）100×5+（﹣2）4÷4 16．计算 （1） （2） （3） （4）（a2+4ab）﹣2（2a2﹣3ab） 17．（1）4﹣|﹣6|﹣3×（） （2）﹣32+（﹣1）2001÷+（﹣5）2 18．计算：． 19．计算：﹣12﹣（﹣2）+（﹣3）2 20．计算： （1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）； （2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|．21．计算：（﹣1）3×（﹣5）÷[（﹣3）2+2×（﹣5）]． 22．计算：（1）；（2）． 23．． 24．计算： （1）（﹣2）×6÷3； （2）（﹣12）﹣5×（﹣2）2+6． 25．计算：（﹣2）2+{6﹣（﹣3）×2}÷4﹣ 5÷× 26．计算：﹣5+（﹣63）÷（﹣7）×﹣．27．． 28．计算：（1） （2）． 29．． 30．计算（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×2]．31．计算： ． 32．计算：﹣（﹣3）2﹣[3+×（﹣1）]÷（﹣2）． 33．计算：（1）﹣32﹣50÷（﹣5）2﹣1；（2）． 34．计算：﹣32+×（﹣3）3÷（﹣1）25．35．计算：（﹣2）3﹣|﹣9|﹣（）÷（﹣）． 36．（1）（﹣3）2﹣（﹣1）3﹣（﹣2）； （2）﹣22×3×（﹣）÷﹣4×． 大学中常用不等式,放缩技巧 一：一些重要恒等式 ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0 二重要不等式 1:绝对值不等式 ︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式 （1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1) 3：柯西不等式 (∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i2 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱) (a+b)p≤a p+ b p (0 一、教学目标是： 1、知识与技能目标 掌握有理数混合运算法则，能熟练进行四步以内有理数的混合运算，并能合理使用运算律进行简便运算。 2、过程与方法目标 经历实验、操作、探索、等数学活动过程，发展合作交流的意识，提高有条理地、清晰地阐述自己观念的能力； 3、情感与态度目标 在解决问题的游戏活动中，体验数学学习的兴趣，在解决疑难问题的过程中，体会克服困难获得的欢欣。 二、教学重点： 掌握有理数混合运算法则，能熟练进行四步以内有理数的混合运算，并能合理使用运算律进行简便运算。 教学难点： 熟练进行四步以内有理数的混合运算。 教学方法： 启发引导发现法 教具： 小黑板，扑克牌 三、教学过程设计： 本节课设计了五个环节：第一环节：复习回顾，引入新课； 第二环节：例题练习，掌握新知；第三环节：游戏活动，巩固提高； 第四环节：课堂小节；第五环节：布置作业； 第一环节：复习回顾，引入新课 教师出示问题： (1)请同学们回顾学过的加、减、乘、除四则运算的法则如何叙述？ (2)请同学们观察下列各题，各包含了哪几种运算？ 2 (1)18—(-12) -(- 2) X(- 1/3 ); (2)- 42X [- 3/4+(—5/8 )。 学生思考，并举手发言，教师鼓励学生的说法，并导入新课：今天我们将学习有理数的加、减、乘、除以及乘方的混合运算 (通过活动(1)复习回顾小学四则运算法则“先算乘法，再算加法，如果有括号，先算括号里面的?”为有理数四则运算的法则的学习铺设台阶；通过活动(2)引入本节课的学习课题：有理数的混和运算，并为下一环节的进行提出问题。) 第二环节：例题练习，掌握新知 教师提问：这种运算应该怎么进行？ 学生活动： (1)观察、类比、概括有理数混和运算的法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里的。 例1计算： 1 2.5 2 证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用 大全 证明数列型不等式,其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例１．证明：当Z n n ∈≥,6时, (2) 12 n n n +<. 证法一:令)6(2) 2(≥+=n n n c n n ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++= -+++n n n n n n n n n n c c ， 所以当6n ≥时，1n n c c +<．因此当6n ≥时，6683 1.644 n c c ?≤==< 于是当6n ≥时， 2 (2) 1.2n n +< 证法二：可用数学归纳法证．(1)当ｎ = 6时， 66(62)483 12644 ?+==<成立. （2）假设当(6)n k k =≥时不等式成立,即(2) 1.2 k k k +< 则当n =k +１时, 1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3) 1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=?<<++ 由(1)、（２)所述,当ｎ≥６时，2 (1) 12 n n +<. 二、借助数列递推关系 例2．已知12-=n n a .证明: ()23 11112 3 n n N a a a *++++ <∈. 证明:n n n n n a a 121121************?=-?=-<-=+++ , ∴3 2])21(1[321)21(...12111112122132<-?=?++?+<+++= -+n n n a a a a a a S ． 例３. 已知函数f(ｘ)＝52168x x +-,设正项数列{}n a 满足1a =l,()1n n a f a +=. (1) 试比较n a 与 5 4 的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54-n a ，记S ｎ=1 n i i b =∑.证明：当ｎ≥2时,Ｓn ＜14(2n -１）. 分析：比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解：（1） 因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><< 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 点评： 关键是将12(21)(21) n n n +--裂项成111 2121n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成 1122 112222n n n n S S S S S S S ----+-+ +-+的和，从而找到了解题的突破口。 2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。 例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。 若 3 *3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的* n ∈N ，不等 式 12111 (1)(1+)(1+)n c c c +??>恒成立． 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。33 131(1+ )()32 n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131 ()323231332 n n n n n n n n n n --++>??=----，而通项式为31 { }32 n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。 一、有理数的运算顺序： 有理数的混合运算法则： 先算乘方或开方，再算乘法或除法，后算加法或减法。 有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后算大括号。 在遇到相同类型的运算时，应从左往右运算 二、有理数的运算： 1）有理数加减法： 1、同号相加和取相同的符号，并把绝对值相加 2、例如：+2+3=5 （-2）+（-3）=-5 3、异号相加和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 4、— +2+（-3）=-1 （-2）+3=1 5、例如： 一个数与零相加仍得这个数，两个互为相反数相加和为零 6、减去一个数等于加上这个数的相反数 7、例如：+2-（+3）=2+（-3）=-1 （-2）-（-3）=-2+3=1 8、异号相减可理解为同号相加 9、例如：+2-（-3）=2+3=5 （-2）-（+3）=-2-3=-5 补充：去括号与添括号： 去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变； 例如：+（4+5+6）=4+5+6 +（4-5+6）=4-5+6 括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要 变号。 { 例如：-（4+5+6）=-4-5-6 -（4-5+6）=-4+5-6 添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变； 例如：4+5+6=4+（5+6）4-5+6-7=（4-5+6）-7=（4-5）+6-7 在“－”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。 例如：4-5+6=4-（5-6）4-5+6-7=4-（5-6+7） 2）有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 例如：（+2）×（+3）=6 （-2）×（-3）=6 （+2）×（-3）=-6 （-2）×（+3）=-6 2、任何数与零相乘都得零 < 3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正； 4、几个有理数相乘，若其中有一个为零，积就为零。 3）有理数除法法则： 法则一：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 例如：（+6）÷（+3）=2 （-6）÷（-3）=2 （+6）÷（-3）=-2 （-6）÷（+3）=-2 法则二：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 4）有理数的乘方： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的给果叫做幂。 1、正数的任何次幂都是正数；例如： 一：一些重要恒等式 ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0 1:绝对值不等式 ︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式 （1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1) 3：柯西不等式 (∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i2 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱) (a+b)p≤a p+ b p (0 常用放缩方法技巧 Prepared on 22 November 2020 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 <Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 21 k 的放缩(3)：2214112()412121 k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++放缩法证明不等式的基本策略
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