第1章 常用逻辑用语(22页)(学、教案)
1、1命题及其关系
学习目标
（1）了解命题概念及其构成形式
（2）理解命题的真假判断
（3）掌握四种命题之间的相互关系
自我评价
1.在数学中,我们把用、、或表达的，可以的叫做命题.其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题
2.命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的，q叫做命题的. 1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样
的两个命题叫做,其中一个命题叫
做
原命题为：“若p，则q”，则逆命题为：“
”.
(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个
命题叫做,其中一个命题叫做原命
题,那么另一个命题叫做原命题
的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”
（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两
个命题叫做,其中一个命题叫做命
题,那么另一个命题叫做原命题
的.若原命题为：“若p，则q”，
逆否命题(3)
系：（1）
(2)
精典范例
例1：下列语句是否为命题？你能判断它们的真假吗？
①若平面四边形的边都相等，则它是菱形。
②空集是任何集合的真子集
③对顶角相等吗？
④对顶角不相等；
⑤6>3
⑥3
>
x
命题有，真命题有
假命题有.
变式1：下列语句的是否为命题？能判断它们的真假吗？
①若1
=
xy，则y
x,互为倒数；
②相似三角形的周长相等；
③2+4=5
④如果b≤－1，那么方程
22
20
x bx b b
-+
+=有实根；
⑤若A B B
=，则B A
?；
⑥3不能被2整除；
命题有，真命题有
假命题有.
变式2下列语句哪些是命题?是真命题还是假命题? （1）空集是任何集合的子集；
（2）若整数a是素数，则a是奇数；
（3）指数函数是增函数吗？
（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；
（52
=；
（6）15
x>.
命题有，真命题有
假命题有.
例2：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假
（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；
（2）菱形的对角线相等且互相平分；
（3）相等的两个角是对顶角。
解：（1）条件p：
结论q：
（2）条件p：
结论q：
（3）条件p：
结论q：
变式2：指出下列命题的条件p 与结论q
（1） 偶数能被2整除； （2） 若0
（3） 在ABC ?中，若b a >则B A ∠>∠ 解：（1）条件p ： 结论q ： （2）条件p ： 结论q ： （3）条件p ： 结论q ：
例3：判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题，
否命题，逆否命题，同时判断这些命题的真假。
（1） 若b a >，则2
2bc ac >；
（2） 若四边形的对角互补，则该四边形是圆内接
四边形； （3） 若在二次函数c bx ax y ++=2中，
042<-ac b ，则该二次函数图象与x 轴有
公共点；
（4） 在ABC ?中，若b a >则B A ∠>∠
变式3：写出下列命题的真假，并写出它们的逆命题，否命题，逆否命题，同时判断这些命题的真假。 （1） 实数的平方是非负数；
（2） 等底等高的两个三角形是全等三角形； （3） 如果两个三角形全等，那么它们的面积相
等；
例4：已知命题P:0)22lg(2≥--x x ；命题Q ：
14
12
<+-x x ，若命题P 是真命题，命题Q 是假命
题，求实数x 的取值范围。
变式4：(1)已知P:方程012
=++mx x 有两个不等的负根；Q:方程01)2(442=+-+x m x 无实根.若P 和Q 都为假命题，求m 的取值范围.
变式5： 已知命题P:0)22lg(2
≥--x x ；命题Q ：
14
12
<+-x x ，
若命题P 、Q 至少有一个是真命题，如何求实数x 的取值范围。
：
1、判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．
（1）若△ABC 与△A 1B 1C 1的三边对应相等，则它们是全等三角形；
（2）若直线b a //，则直线a 与b 无公共点； （3）6是方程（x －5）（x ―6）=0的一个解； 2、命题“△ABC 中，若∠C = 90°，则△ABC 是直角三角形”的否命题是 3、下列语句不是命题的有 ①2
x -3=0 ②与一条直线相交的两直线平行吗 ③3+1=5 ④5x -3＞6
A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
4、判断命题的真假性: 若m >0，则方程2
x －x ＋m ＝0有实根 （答对或错） 5、给定下列命题，其中真命题为 ①若k ＞0，则方程2
x +2x -k =0有实数根； ②若a b >，则a c b c +>+； ③矩形的对角线相等；
④若0xy =，则x 、y 中至少有一个为0.
课后作业
一、选择
1、已知命题“若﹁p 则q ” 是真命题，则下列命题中一定是真命题的为 （ ） A ．若p 则﹁q B ．若q 则﹁p C ．若﹁q 则p D ．若﹁q 则﹁p
2、“2
2
0a b +≠”的含义为 （ ）
A ．,a b 不全为0
B ． ,a b 全不为0
C ．,a b 至少有一个为0
D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0 3、下列命题：①若220x y +≠，则,x y 不全为零；② “正多边形都相似”的否命题；
③ 若1a >，则22(1)30ax a x a -+++>的解集
为R ；④
“若a +则a 是无理数”的
逆否命题，其中正确的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4、 若命题p 的否命题是r ，命题r 的逆命题是s ，则s 是p 的逆命题e 的 （ ） A ．逆否命题 B ．逆命题 C ．否命题 D ．原命题
5、已知函数)(x f =
3
47
2
+++kx kx kx ，对所有的x R ∈都有意义，则k 的取值范围是 （ ）
A ．0≤k <
43 B ．0 C ．k <0或k >43 D ．0 3 6、给出四个命题：①命题“若p ，则q ”与命题“若﹁q ，则﹁p ”互为逆否命题；②“矩形的对角线相等”的否定为假命题；③命题“{1,2}??或 2{1,2}?”为真命题；④命题“若22am bm <，则a b <”的否命题，其中真命题的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7、有下列四个命题：①“若1xy =，则x,y 互为倒数”的逆命题；②“全等三角形的周长相等”的否命题；③“若A B B =，则A B ?”的逆否命题； ④“若1b ≤-，则方程2220x bx b b -++=有实 根”的否命题，其中真命题的序号是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④ 8、用反证法证明命题：“如果整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根， 那么,,a b c 中至少有一个偶数”，下列假正确的是 A ．假设,,a b c 都是偶数 B ．假设,,a b c 都不是偶数 C ．假设,,a b c 中至多有一个是偶数 D ．假设,,a b c 中至多有两个是偶数 二、填空 9、不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是 ______ 10、若“[]2,5x ∈和{} |14x x x x ∈<>或”都是 真命题，则x 的范围是__________ 11、命题“若a b >，则221a b >-”的否命题是 三、解答 12、判断下列命题的真假： （1）已知,,,,a b c d R ∈若c a ≠或d b ≠则d c b a +≠+ （2）若1,m >则方程2 20x x m -+=无实数根 （3）存在一个三角形没有外接圆 13、写出命题：“若0c >，则函数2 y x x c =+-的 图象与x 轴有两个交点”的逆否命题，判断其真假，并说明理由； 14、已知A ：|5x -2|＞3，B ：5 41 2-+x x ＞0,若A 、 B 都是假命题，求x 的取值范围。 15、P ：对任意实数x 都有012 >++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02 =+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围。 16、已知,,x y z 均为实数，且222 2,2,223 6 a x y b y z c z x πππ=-+=-+=-+ ，求证：,,a b c 中至少有一个大于0； 17、设有两个命题：①关于x 的不等式2250x a x ++>对一切x R ∈恒成立；②函数 ()(52)x f x a =-在R 上是减函数，若它们都是真命题，求实数a 的取值范围． 1、1命题及其关系（第二课时） 一、选择题 （1）下列语句是命题的是（ ） A.2012是一个大数 B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C.对数函数是增函数吗？ D.15≤a （2）一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ） A.真命题与假命题的个数相同 B.真命题的个数一定是奇数 C. 真命题的个数一定是偶数 D. 真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 （3）下列叙述错误的是（ ） A.原命题为真，其逆命题不一定为真 B. 原命题为真，其否命题不一定为真 C. 逆命题为真，其否命题一定为真 D. 原命题为真，其逆否命题不一定为真 （4）给出命题：若函数)(x f y =是幂函数，则函数)(x f y =的图像不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A. 3 B.2 C.1 D. 0 (5)若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是x ，则x 是p 的（ ） A. 逆命题 B. 否命题 C. 逆否命题 D. 以上判断都不正确 （6）设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =- (7)已知R c b a ∈,,，命题“若a b c ++=3，则 222a b c ++≥3”，的否命题是（ ） (A)若a b c ++≠3，则222 a b c ++<3 (B)若a b c ++=3，则222 a b c ++<3 (C)若a b c ++≠3，则222 a b c ++≥3 (D)若222a b c ++≥3，则a b c ++=3 (8) 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下 图．其中真命题的个数是（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 （9）命题“若)(x f 是奇函数，则)(x f -是奇函数”的否命题是（ ） A 若 )(x f 是偶函数，则)(x f -是偶函数 B 若)(x f 不是奇函数，则)(x f -不是奇函数 C 若)(x f -是奇函数，则)(x f 是奇函数 D 若)(x f -不是奇函数，则)(x f 不是奇函数 二、填空题 （10）命题“当AB=AC 时，ABC ?是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为 个 （11）“若x 、y 全为零，则0=xy ”的否命题为 （12）有下列四个命题，其中真命题有 （只填序号） ①“若x +y =0，则x 、y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1≤q ，则022 =++q x x 有实根“的逆命题； ④”若b a >，则22bc ac >的逆否命题； 三、解答题 （13）把“末位数字是0的整数，可以被5整除”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断其真假. 14已知集合{} 06242 =++-=m mx x x A ， {}0<=x x B ，若命题“Φ=?B A ”是假命题， 求实数m 的取值范围。 1. 理解必要条件和充分条件的意义； 2. 能判断两个命题之间的关系. 3 理解充要条件的概念； 4. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性. 1.一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ?,并且说p 是q 的 ,q 是p 的 2. 如果p q ?,那么p 与q 互为 3. 知识拓展 设,A B 为两个集合,集合A B ?，那么x A ∈是x B ∈的 条件，x B ∈是x A ∈的 条件. 4.判断是否充要条件两种方法 （1）p q ?且q p ?； （2）原命题、逆命题均为真命题； (3) 用逆否命题转化. 精典范例 例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x =，则2430x x -+=； （2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数； （3）若x 为无理数，则2x 为无理数. 变式1、下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5x >，则10x > 变式2：下列所给的p 、q 中，p 是q 的充分条件的个数是（ ） ①p ：1>x ，q ：33-<-x ②p ：1>x ，q ：222<-x ③p ：3=x ，q ：x x cos sin > ④p ：直线b a ,不相交，q ：b a // A.1 B.2 C.3 D.4 例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中 的q 是p 必要条件？ （1）若x y =，则22x y =； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相 等； （3）若a b >，则ac bc > 变式1：下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命 题中的q 是p 必要条件？ （1）若5a +是无理数，则a 是无理数； （2）若()()0x a x b --=，则x a =. 变式2：给出下列四组命题： （1）p ：02=-x ；q ：0)3)(2(=--x x （2）p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等； （3）p ：2- =--m x x 无实根 （4）p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等。 试分析指出p 是q 的什么条件？q 是p 的什么条件？ 例3 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件? (1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+ 变式1：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充要条件? (1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+ 变式2：下列所给的p 、q 中，p 是q 的充要条件的所有序号是 ①p ：1=x ；q ： 0ln =x ； ②p ： →→=2 2b a ；q ：→ →=b a ③p ：3>x ；q ： 92 >x ； ④p ： 0>>y x ；q ： 22y x > ； 例4：设c b a ,,为ABC ?的三边，求证：方程0222=++b ax x 与0222=-+b cx x 有公共根 的充要条件是 90=∠A . 变式1：求证：关于x 的方程02 =++c bx ax 有一个根为1的充要条件是0=++c b a . 例5：求关于x 的方程0122 =++x ax 至少有一个负的实数根的充要条件. 变式1：数列{}n a 既是等差数列又是等比数列的充要条件为 例6：已知p ：102≤≤-x ，q ： 01222≤-+-m x x （0>m ），若p ?是q ?的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。 变式1：已知p ：102≤≤-x ，q ： 01222≤-+-m x x （0>m ），若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。 课后作业 一、选择题 1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）. A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直 2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）. A.0x y += B.220x y +> C.0x y -= D.330x y +≠ 3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线,//,//a a a αβ B.存在一条直线,,//a a a αβ? C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα?? D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα?? 4. 下列命题为真命题的是（ ） A.a b >是22a b >的充分条件 B.||||a b >是22a b >的充要条件 C.21x =是1x =的充分条件 D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件 5.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设p ：2 40(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程 2 0(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102 x -<< C.1 32 x -<< D.16x -<< 8. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1).3x >是5x >的 (2).3x =是2 230x x --=的 ( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的 9.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件. 10. 判断下列命题的真假 （1）“a b >”是“22a b >”的充分条件； （2）“||||a b >”是“22a b >”的必要条件. 11. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q . (1)如果A B ?,那么p 是q 的什么条件? 12. 判断下列命题的真假. （1）2x =是2440x x -+=的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆 的切线的必要条件； （3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件. 13. 下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q ：1x -= （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤； （3）p ：2x =，q ：3x -= （4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰 三角形. 14. 证明：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件. 15.求证：ABC ?是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ?的三边. §1.2.2 充分条件与必要条件 一、选择题 1、 “x <-1”是“x 2 -1>0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 2．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“2 2 4x y +≥” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 3．若b a ,为实数，则“10< a 1< 或a b 1 > 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4对函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“)(x f y =是奇函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 5已知321,,ααα是三个相互平行的平面．平面21,αα之间的距离为1d ， 平面32,αα之间的距离为2d ．直线l 与321,,ααα分别相交于321,,P P P ，那 么“3221P P P P =”是“1d =2d ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条D ．既不充分也不必要条件 6．设集合{}{}2 ,2,1a N M ==，则 “1a =”是 “N M ?”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 7.若实数a 、b 满足0,0≥≥b a 且0ab =，则称a 与b 互补，记b a b a b a --+= 22),(φ，那么 0),(=b a φ是a 与b 互补的（ ） A ．必要而不充分的条件 B ．充分而不必要的条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要的条件 8.设02 x π ＜＜ ，则“2 sin 1x x ＜ ”是“sin 1x x ＜”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是（ ） （A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m = 10.对于数列{}a ，“(1...)a a n >=，2，”是 “{}n a 为递增数列”的（ ） A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的（ ） (A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 12.记实数12,,x x …n x 中的最大数为 m a x {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ?的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为 max{,,}min{,,},a b c a b c t b c a b c a =?则“t=1”是 “ABC ?为等边三解形”的（ ） A,充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 13． “14 m < ”是“一元二次方程2 0x x m ++=有实数解”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件 14.若a ,b 是非零向量，“a ⊥b ”是“函数()()()f x x a b xb a =+?-为一次函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件 C 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 15.设+ ∈N n ,一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件,则n = 16.已知p ：0322 <--x x ，或a x <-1（)0>a 是p 的一个必要不充分条件，求使b a >恒成立的实数b 的取值范围。 17.求关于x 的方程012 =++mx x 有两个负实根的充要条件. §1.3简单的逻辑联结词 1. 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义； 2. 掌握,,p q p q p ∧∨?的真假性的判断； 3. 正确理解p ?的意义，区别p ?与p 的否命题； 4. 掌握,,p q p q p ∧∨?的真假性的判断，关键在于p 与q 的真假的判断 . 1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”. 结起来就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”. 题，记作“ ”，读作“ ”或“ ”. 例1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们 的真假： （1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q ：平行 四边形的对角线相等； （2）p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角 线互相平分； （3）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数 变式：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断 他们的真假： （1）1既是奇数，又是素数； （2）2和3都是素数. 例2 将下列命题用“或”联结成新命题，并判断它们的真假： （1）p ：方程0)2)(1(=--x x 的根为1=x ，q ：方程0)2)(1(=--x x 的根为2=x （2）p ：1=x 是方程0)2)(1(=--x x 的根，q ： 2=x 是方程0)2)(1(=--x x 的根 （3）p ：1是奇数，q ：1是素数. 变式1将下列命题用“或”联结成新命题，并判断它们的真假： （1）p ：三角形的内角和等于 180，q ：三角形的内角都小于 180； （2）p ：对角线互相垂直的四边形是菱形，q ：对角线互相平分的四边形是菱形； （3）p ：6是2的倍数，q ：6是3的倍数； 例3写出下列命题的否定，并判断他们的真假： （1）p ：sin y x =是周期函数； （2）p ：32< （4）p ：2和3都是偶数. 变式1写出下列命题的否定，并判断他们的真假： （1） 若y x ,是奇数，则y x +是偶数. （2）若0=xy ，则0=x 或0=y （3）若这个数是质数，则这个数一定是奇数. （4）若两个角相等，则这两个角是对顶角. 例4 判断下列含逻辑联结词的命题的类型与真假 （1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； （2）9的平方根是3或9的平方根是3-； （3）)(B A ?A ? 变式1判断下列含有逻辑联结词的命题的类型与真假 （1）相似三角形周长相等或对应角相等. （2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧。 （3）22≤ （4）有两个角相等的三角形相似或有两条边相等的三角形相似. 例 5 已知：p ：方程012 =++mx x 有两个不等的负实根；q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根，若“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”是假命题，求实数m 的取值范围. 变式1已知：p ：方程012 =++mx x 有两个正实根；q ：方程01)2(442=+-+x m x 负实根，若“q p ∨”为真命题，且“q p ?∧”是假命题，求实数m 的取值范围. 一、选择题 1. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．给出命题：P ：3>1, q ：4∈{2,3},则在下列三个复合命题:“P 且q ”“ P 或q ”“非P ”中,真命题的个数为 A.0 B.3 C.2 D.1 3.命题在ABC ?中， C B ∠>∠是sin sin C B >的充要条件；命题q ： a b >是22ac bc >的充分不必要条件，则（ ）. A.p 真q 假 B.p 假q 假 C.“p 或q ”为假 D.“p 且q ”为真 4.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于60?；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 5．如果命题“p 或q ”是真命题，“非P ”是假命题，那么（ ） A 命题p 一定是假命题 B 命题q 一定是假命题 C 命题q 一定是真命题 D 命题q 是真命题或者是假命题 6．在下列结论中，正确的结论为（ ） ①“P 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件 ②“P 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件 ③“p 或q ”为真是“p ”为假的必要不充分条件 ④“p ”为真是“P 且q ”为假的必要不充分条件 A ①② B ①③ C ②④ D ③④ 7．若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有（ ） A. p 真，q 真 B. p 假，q 假 C. p 真，q 假 D. p 假，q 真 8.已知命题1p ：函数x x y --=22在R 上为增函数；2p ：函数x x y -+=22在R 上为减函数；则 在命题1q ：21p p ∨，2q ：21p p ∧，3q ：21p p ∨?，和4q ：21p p ?∧中， 真命题是（ ） A. 1q ，3q B. 2q ,3q C. 1q ,4q D. 2q ,4q 9．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 （B ）所有能被2整除的整数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数都是偶数 （D ）存在一个能被2整除的数都不是偶数 10.若p 是真命题，q 是假命题，则 （A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题 (C)p ?是真命题 (D)q ?是真命题 二．填空题： 11.命题p ：0不是自然数，命题q ：π是无理数，在命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”“非q ”中假命题是 ，真命题是 . 12. 已知p ：2||6x x -≥，q ：,,x Z p q q ∈∧?都是假命题，则x 的值组成的集合为 13.命题p ：方向相同的两个向量共线，命题q ：方向相反的两个向量共线，则命题p q ∨为 14.命题“若b a <，则b a 22<”的否命题为 ，命题的否定为 。 三、解答题 15 给定两个命题，p ：对任意实数x 都有 012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实根，如果p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求实数a 的取值范围. 1 、了解含有一个量词的命题的特点； 2. 掌握全称量词与存在量词的的意义； 3. 掌握全称命题和特称命题及其否定的真假性的判断. 1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为：,()x M p x ?∈，读作： 2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题.其基本形式00,()x M p x ?∈，读作： 3、一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论： 全称命题p ：,()x p p x ?∈， 它的否定p ?： 4. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论： 特称命题p ：00,()x M p x ?∈， 它的否定p ?： 例1 下列命题中全称命题的个数是（ ） ①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的 内角和是 180。 A.0 B.1 C.2 D.3 变式1 下列命题不是全称命题的是（ ） A.对于任意1>x ，1>x B.自然数的平方大于零 C.小于2011的数小于2012 D.方程012 =++x x 有实数解 例2 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2）2,11x R x ?∈+≥； （3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数. 变式1：判断下列命题的真假： （1）2(5,8),()420x f x x x ?∈=--> （2）2(3,),()420x f x x x ?∈+∞=--> 例3 下列命题中特称命题的个数是（ ） ①有些自然数是偶数；②正方形是矩形；③能被6总有1sin ≤x ； A.0 B.1 C.2 D.3 变式1 下列命题不是特称命题的是（ ） A. 实数的平方可以等于0 B.存在0 C.至少有一个三角函数的周期是π2 D.二次函数都是偶函数 例4判断下列特称命题的真假： （1） 有一个实数0x ，使200230x x ++=； （2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3） 有些整数只有两个正因数. 变式1：判断下列命题的真假： (1)2,32a Z a a ?∈=- (2)23,32a a a ?≥=- 变式2 判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假 （1）有一个实数α，使αtan 无意义； （2）任何一条直线都有斜率吗？ （3）所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 （4）圆内接四边形，其对角互补； （5）对数函数都是单调函数。 例5写出下列全称命题的否定： （1）p ：所有能被3整除的数都是奇数； （2）p ：每一个平行四边形的四个顶点共圆； （3）p ：对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3. 变式：写出下列全称命题的否定，并判断真假. (1) p ：21 ,04 x R x x ?∈-+≥ (2) p ：所有的正方形都是矩形. 例6写出下列特称命题的否定： (1) p ：2000,220x R x x ?∈++≤； (2) p ：有的三角形是等边三角形； (3) p ：有一个素数含有三个正因数. 变式1：写出下列特称命题的否定，并判断真假. (1) p ：2,220x R x x ?∈++≤； (2) p ：至少有一个实数x ，使310x +=. 变式2：分别写出含有一个量词的命题的否定，并判断其真假 （1） 有些实数的绝对值不是正数； （2） 所有的矩形都是平行四边形 （3）不论m 取何实数，方程022 =-+m x x 都有实根； （4）R x ∈?0，05202 0>++x x 一、选择题 1. 下列命题为特称命题的是（ ）. A.偶函数的图像关于y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线都是平行线 D.存在实数大于等于3 2.下列特称命题中真命题的个数是（ ）. (1),0x R x ?∈≤；(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数；（3）{|x x x ?∈是无理数}，2x 是无理数. A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 3.下列命题中假命题的个数（ ）. (1)2,11x R x ?∈+≥；（2）,213x R x ?∈+=； （3）,x Z ?∈x 能被2和3整除； （4）2,230x R x x ?∈++= A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 4. 命题“原函数与反函数的图象关于y x =对称”的否定是（ ）. A. 原函数与反函数的图象关于y x =-对称 B. 原函数不与反函数的图象关于y x =对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y x = 对称 D. 存在原函数与反函数的图象关于y x =对称 5.对下列命题的否定说法错误的是（ ）. A. p ：能被3整除的数是奇数；p ?：存在一个 能被3整除的数不是奇数 B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ?：存在 一个四边形的四个顶点不共圆 C. p ：有的三角形为正三角形；p ?：所有的三 角形不都是正三角形 D. p ：2,220x R x x ?∈++≤； p ?：2,220x R x x ?∈++> 6.命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）. A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤ B. 存在32,10x R x x ∈-+≤ C. 存在32,10x R x x ∈-+> D. 对任意的32,10x R x x ∈-+> 7.下列命题中 （1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是 特称命题是 . 8. 用符号“?”与“?”表示下列含有量词的命题. (1)实数的平方大于等于0： （2）存在一对实数使2330x y ++<成立： 9. 平行四边形对边相等的否定是 10. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是 11. 判断下列全称命题的真假： （1）末位是0的整数可以被子5整除； （2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点 距离相等； （3）负数的平方是正数； （4）梯形的对角线相等. 12. 判定下列特称命题的真假： （1）00,0x R x ?∈≤； （2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； （3）0{|x x x ?∈是无理数}，20x 是无理数. 13. 写出下列命题的否定： （1）若24x >，则2x >； （2）若0,m ≥则20x x m +-=有实数根； （3）可以被5整除的整数，末位是0； （4）被8整除的数能被4整除； （5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等. §1.4全称量词与存在量词 （第二课时） 一、选择题 1. 下列语句不是特称命题的是（ ） A.有的无理数的平方是有理数 B. 有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意的x Z ∈，12+x 是奇数 D.存在R x ∈，12+x 是奇数 2. 下列命题中，真命题是 A.R m ∈?,使函数mx x x f +=2)(（R x ∈）是偶函数 B. R m ∈?,使函数mx x x f +=2 )(（R x ∈）是奇函数 C. R m ∈?,使函数mx x x f +=2)(（R x ∈）是偶函数 D. R m ∈?,使函数mx x x f +=2)(（R x ∈）是奇函数 3.若命题p ：R x ∈?，0122>+x ，则p ?是（ ） A. R x ∈?，0122 ≤+x B. R x ∈?，0122 >+x C. R x ∈?，0122<+x D. R x ∈?，0122≤+x 4.下列四个命题中的真命题为（ ） A. R x ∈?，012=-x B. Z x ∈?，013=-x C. R x ∈?，012>+x D. Z x ∈?，341< 5.对下列命题的否定说法错误的是（ ） A. p ：能被2整除的数是偶数；p ?：存在一个能被2整除的数不是偶数 B. p ：有些矩形是正方形；p ?：所有的矩形都不是正方形 C. p ：有的三角形为正三角形；p ?：所有的三角形不都是正三角形 D. p ：R x ∈?，022 ≤++x x ；p ?：R x ∈?， 022>++x x 6.已知命题P ：?n ∈N ，2n ＞1000，则?p 为（ ） （A ）?n ∈N ，2n ≤1000（B ）?n ∈N ，2n ＞1000（C ）?n ∈N ，2n ≤1000 （D ）?n ∈N ，2n ＜1000 7.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（ ） （A ）所有不能被2整除的数都是偶数 （B ）所有能被2整除的数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数是偶数 （D ）存在一个能被2整除的数不是偶数 8.下列命题中的假命题．．．是（ ） C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈> 9.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ?∈有 ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若 T,V 是Z 的两个不相交的非空子集， , T U Z ?=且 ,,, a b c T ?∈有 ;,,,abc T x y z V ∈?∈有xyz V ∈，则下列结 论恒成立的是（ ） A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 10.命题“存在0x ∈R ，0 2x ≤0”的否定是（ ） （A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 0 2 x ≥0 （C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0 11.四个关于三角函数的命题： 1p ：?x ∈R, 2 sin 2x +2cos 2x =12 2p : ?x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ?x ∈[]0,π 4p : sinx=cosy ?x+y=2 π 其中假命题的是( ) （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p 二、填空题 12、命题“存在x R ∈，使得2 250x x ++=”的否定是 13.下列命题是全称命题的是 ；是 特称命题的是 ①正方形的四条边相等； ②有两个角是 45的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于零；④至少有一个正整数是偶数。 14.命题“零向量与任意向量共线”的否定为 三、解答题 14.已知命题“对于任意R x ∈，012 ≥++ax x ”是假命题，求实数a 的取值范围。 第一章 常用逻辑用语（复习） 1. 命题及其关系 （1）了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题间的相互关系； （2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2. 简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 3. 全称量词与存在量词 (1) 理解全称量词与存在量词的意义； . 知识回顾： 1.什么是命题?其常见的形式是什么?什么是真命题?什么是假命题? 2.有哪四种命题?他们之间的关系是怎样的? 3.什么是充分条件、必要条件和充要条件？ 4你学过哪些逻辑联结词?四逻辑联结词联结而成的命题的真假性怎样? 5.否命题与命题的否定有什么不同? 6.什么是全称量词和存在量词? 7.怎样否定含有一个量词的命题 ? 典型例题 例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假 （1） 若1 变式1：在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；③若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等.以上命题中逆命题为真命题的是 变式2： 若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的 （ ） A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.以上结论都不正确 例1 命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A.若21x ≥，则1x ≥或1x ≤- B.若11x -<<，则21x < C.若1x >或1x <-，则21x > D.若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥ 变式：命题“若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥”的逆否命题是 . 例2 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ）. （1）p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点 （2）p ： () 1() f x f x -=；q ：()y f x =是偶函数 （3）p ：cos cos αβ=；q ：tan tan αβ= （4）p ：A B A = ；q ：A C B C u u = A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 变式1：下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)在ABC ?中，p ： 30≠∠A ，q ：2 1sin ≠ A ; (2) p ：2-≠+y x ,q ：y x ,不都是1- 变式：设命题p ：|43|1x -≤，命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤，若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 例3 给出下列命题: p ：关于x 的不等式22(1)0x a x a --+>的解集是 R ，q ：函数2lg(2)x y a a =-是增函数. (1) 若p q ∨为真命题，求a 的取值范围. (2) 若p q ∧为真命题，求a 的取值范围. 变式1：以下判断正确的是（ ） A. 命题p 是真命题时，命题“p q ∧”一定是真命题 B. 命题“p q ∧”是真命题时，命题p 一定是真命 题 C. 命题“p q ∧”为假命题时，命题p 一定是假命 题 D. 命题p 是假命题时，命题“p q ∧”不一定是假 命题 变式2：设命题p ：c c <2 和命题q ：对R x ∈?， 0142 >++cx x ，且p q ∨为真，p q ∧为假，则例4 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假 （1）有些实数的绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形； （3）R x ∈?，012 <+x 变式1：已知命题:p x ?∈R ，sin 1x ≤，则p ?是_____________________ 变式2：下列四个命题 ①?R x ∈，01x x 2≥++ ②?Q x ∈，3 1 212-+x x 是有理数。 ③?R ∈βα,，使β+α=β+αsin sin )sin( ④?Z y x ∈,，使1023=-y x __________。 一、选择题 1. 下列语句不是命题的有（ ）. ①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x -> A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 2. 给出命题：p ：31>，q ：4{2,3}∈，则在下列三个复合命题：“p 且q” “p 或q” “非p”中，真命题的个数为（ ）. A.0 B.3 C.2 D.1 3. 若a b c 、、是常数，则“2040a b ac >-<且”是“对任意x R ∈，有20ax bx c ++>”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 4.命题“若,B A ?则B A =”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A.0 B.2 C.3 D.4 5. 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A. p 真q 真 B. p 假q 真 C. p 真q 假 D. p 假q 假 6. 有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像。金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里。p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在（ ） A. 金盒里 B. 银盒里 C. 铅盒里 D. 不能确定在哪个盒子里 7. 不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是 （ ） A. )2,2(- B. ]2,2(- C. ]2,(-∞ D. )2,(--∞ 8. “a 和b 都不是偶数”的否定形式是（ ） A. a 和b 至少有一个是偶数 B. a 和b 至多有一个是偶数 C. a 是偶数，b 不是偶数 D. a 和b 都是偶数 9.以下判断正确的是（ ） A.命题“负数的平方是正数”不是全称命题 B.命题“x x N x >∈?3,”的否定是“x x N x >∈?3,” C.“1=a ”是“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π”的必要不充分条件 D. “0=b ”是“函数c bx ax x f ++=2)(是偶函数”的充要条件 10.设集合{} 0,2><<--=a a x a x A ，命题p ： A ∈1,命题q ：A ∈2，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则a 的取值范围是（ ） A.10<a