高三优质精准培优平行垂直关系的证明

高三精准培优专练

1．平行关系的证明

例1：如图，，，，分别是正方体的棱，，，的中点．

求证：

（1）平面；

（2）平面平面．

2．垂直关系的证明

例2：如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时

E F G H1111

ABCD A B C D

-BC1

C D

EG∥11

BB D D

BDF∥11

B D H

111

ABC A B C

AA⊥ABC M AC=

AB BC =2

B C∥

A BM

AC⊥

A BM

BB N1

AC N⊥

AA C C

平行垂直关系的证明

的值；如果不存在，请说明理由．

一、单选题

1．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：

①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A ．若，，且，则

B ．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则

C ．若，，则

D ．若，，则 3．给出下列四种说法：

①若平面，直线，则； ②若直线，直线，直线，则； ③若平面，直线，则；

④若直线，，则．其中正确说法的个数为（） A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

4．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）

（1），，，

αm n m n α1m 1n 11m n m n ⊥?⊥11m n m n ⊥?⊥1m 1n m ?n 1m 1n m ?n m n αβl m ⊥l n ⊥m n α?，l α⊥αβαβ∥m α⊥m n ⊥n α∥m n ∥n α⊥m α⊥αβ∥a b αβ??，a b ∥a b ∥a α∥b β∥αβ∥αβ∥a α?a β∥a α∥a β∥αβ∥m n αβm α?n α?m β∥n βαβ?∥∥对点增分集训

（2），（3），，（4）， A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3

5．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A ．若垂直于同一平面，则平行

B ．若平行于同一平面，则平行

C ．若不平行，则在内不存在与平行的直线

D ．若不平行，则不可能垂直于同一平面

7．已知是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若，则； ②若，则； ③若，则；

④若是异面直线，，则．其中真命题是（） A ．①和②

B ．①和③

C ．③和④

D ．①和④

n m ∥n m αα⊥?⊥αβ∥m α?n m n β??∥m α⊥m n n α⊥?∥1111ABCD A B C D -M N P ，，1111C D BC A D ，

，MN AP ∥1MN BD ∥11MN BB D D ∥平面MN BDP ∥平面m n ，αβ，αβ，αβ与m n ，m n 与αβ，αβm n ，m n 与m n ，αβγm m αβ⊥⊥，αβ∥αγβγ⊥⊥，αβ∥m n m n αβ??，，∥αβ∥m n ，m m n n αββα??，∥，，∥αβ∥

8．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误的是（）．

A ．

B ．

C ．三棱锥的体积为定值

D ．的面积与的面积相等

9．如图所示，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点是圆周上不同于

的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是（）

A ．

B ．与所成的角为

C ．平面

D ．平面平面

10．如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）

A ．与是异面直线

B ．平面

C ．，为异面直线且

D ．平面

11A C E F ，2EF

=BD CE ⊥EF ABCD ∥平面E FBC -BEF △CEF △AB O VA O C A B ，M N ，VA VC

，MN AB ∥MN BC 45?OC ⊥VAC VAC ⊥VBC 111ABC A B C -1AA ⊥111A B C 111A B C E

BC 1CC 1B E AC ⊥11ABB A AE 11B C 11AE B C ⊥11A C ∥1AB E

11．设分别是正方体的棱上两点，且，给出下列四个命题：

①三棱锥的体积为定值；②异面直线与所成的角为；③平面

；④直线与平面所成的角为．其中正确的命题为（）

A ．①②

B ．②③

C ．①②④

D ．①④

12．如下图，梯形中，，，将

沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面平面．给出

下面四个命题：

①；②三棱锥

；③平面； ④平面平面．其中正确命题的序号是（）

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．②④

二、填空题

13．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．(填序号)

①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论

E F ，1111ABCD A B C D -DC 21AB EF ==，11D B EF -11D B EF 45?11D B ⊥1B EF 11D B 1B EF 60?ABCD AD BC ∥145AD AB AD AB BCD ==⊥∠=?，，ABD △BD A A 'A BD '⊥BCD A D BC '⊥A BCD '-CD ⊥A BD 'A BC '⊥A DC 'm n ，αβ，m α∥n α∥m n ∥m α∥m β∥αβ∥m n ∥m α⊥n α⊥m α∥αβ⊥m β⊥

①；②与所成的角为；③与是异面直线；④．以上四个命题中，正确命题的序号是_________．

15．若四面体的三组对棱分别相等，即，给出下列结论：

①四面体每组对棱相互垂直； ②四面体每个面的面积相等；

③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大而小于； ④连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号）

16．如图，一张矩形白纸，，

分别为的中点，现分别将，沿折起，且在平面同侧，下列命题正确的是____________（写出所有正确命题的序号）．

①当平面平面时，平面 ②当平面平面

时， ③当重合于点时，

④当重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为三、解答题

17．如图，四棱锥中，，，，为正三角形．且

AB EF ⊥AB CM 60?EF MN MN CD ∥ABCD AB CD AC BD AD BC ===，，ABCD ABCD ABCD 90?180?ABCD ABCD 10AB =AD =E F ，AD BC ，ABE △CDF △BE DF ，A C 、BFDE ABE ∥CDF AC ∥BFDE ABE ∥CDF AE CD ∥A C 、P PG PD ⊥A C 、P P DEF -150πP ABCD -22AB AD BC ===BC AD ∥AB AD ⊥PBD △PA =

（1）证明：平面平面；

（2）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且平面，求四面体的体积．

18．如图，四边形为正方形，平面，，，，

．

PAB ⊥PBC P ABCD E PD PB ∥ACE A CDE

-ABCD EA ⊥ABCD EF AB ∥4AB =2AE =1EF =

（1）求证：；

（2）若点在线段上，且满足，求证：平面；

（3）求证：平面．

BC AF ⊥M AC 1

CM CA =EM ∥FBC AF ⊥EBC

浙教版七年级下数学平行线复习培优提高

H G F E D B C A 1 平行线复习 1、平行线的概念例题：判断对错： 1）不相交的直线互相平行 2）不相交的线段互相平行3）不相交的射线互相平行 4）有公共点的直线一定不平行 5）过两点有且只有一条直线 6）在同一平面内两条不同的直线有且仅有一个公共点7）经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行 8）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 10）过任意一点可作已知直线的一条平行线 2、平行线的画法：一贴，二靠，三移，四画 3、同位角，内错角，同旁内角例：分别判断下列各图中有几对同位角，内错角，同旁内角第1图第2图第3图 4、平行线的判定；平行线的性质例：1）如图要判断AB//CD，可以增加一个什么条件？ 2）如图，DH EG BC ∥∥，且DC EF ∥，那么图中和∠1相等的角的个数是多少 3) 将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，图中相互平行的线段有多少对？

E D C B A 5、问题探究——平行线间的折线问题 1）如图，AB//CD，探究∠B, ∠E, ∠D之间存在的关系 2）如图，AB//MN，探究∠B, ∠C, ∠D, ∠E，∠N之间存在的关系？ 3）通过1），2）你发现什么规律 4）如图，已知AB//CD，探究∠l，∠2，∠3之间存在的关系？如果再折两次呢？发现什么规律？ 5）如图，AB∥EF，∠C=90，则角、、存在什么样的关系 6) 如图，AB//CD，α β β α2 , ,= ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ =证明： D C B E A

7）如图，已知AB CD ∥，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，140E ∠=?，求BFD ∠的度数？ 6、问题探究——平行线与角平分线、垂直的问题 1）已知：OE 平分∠AOD ，AB ∥CD ， OF ⊥OE 于O ，求证：∠FOB=2 1∠D 2）如图，AB ∥CD ，若EM 平分∠BEF ，FM 平分∠EFD ， EN 平分∠AEF ，则与∠BEM 互余的角有哪些 3）如图，AB//CD ，直线平分∠AOE ，求证∠2＝90°－2 1∠1 4）如图12，//AC BD ，//AB CD ，E ∠=∠1，F ∠=∠2，AE 交CF 于点O ，试说明：CF AE ⊥.

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )

完整版相交线平行线培优讲义

相交线与平行线一、知识框架二、典型例题 1. 下列说法正确的有（B ） ①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角 2. 如图所示,下列说法不正确的是（D 3. 下列说法正确的有（C ） ①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线 ④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 A.点B 到AC 的垂线段是线段 AB; B. 点C 到AB 的垂线段是线段 AC C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段；D. 线段BD 是点B 到AD 的垂线段 D

13交于0点，图中出现了几对对顶角，若 n 条直线相交呢? 答案：3对，n （n +1） 9.如图，在4 4的正方形网格中， 1, 2, 3的大小关系是 ②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线 ③在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线 ④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4?一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同, 这两次拐弯的角度可能是（ A ） A.第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐 50 C.第一次向右拐50°第二次向右拐130 ° D. 第一次向左拐 50 第二次向左拐 5 .如图，若 AC 丄BC 于C, CE U AB 于D,则下列结论必定成立的是（ A. CD>AD B.ACvBC C. BC>BD D. CD

空间几何——平行与垂直证明

c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?

(完整版)平行线培优资料2(2)

培优（2）—— 平行线的性质及其应用
考点·方法·破译
1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.
经典·考题·赏析
【例１】如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD， BC∥AD，∠A＝38°，求∠C 的度数.
【解法指导】
D
C
两条直线平行，同位角相等；
两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.
A
B
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识
别角的关系式关键.
【解】：∵AB∥CD BC∥AD
∴∠A＋∠B＝180° ∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)
∴∠A＝∠C ∵∠A＝38° ∴∠C＝38°
【变式题组】
01．如图，已知 AD∥BC，点 E 在 BD 的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC 的度数为
（
）
A．155°
B．50° C．45° D．25°
A
E D
F
3
2
l1
C 21
α
B
C
（第 1 题图）
A
B
1
l2
DE
（第 2 题图）
（第 3 题图）
02．（安徽）如图，直线 l1 ∥ l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3 为（）
A． 50°
B． 55°
C． 60°
D．65°
03．如图，已知 FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B 的度数.
【例２】如图，已知 AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG 的度
数.
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平 A
B
分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.
【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD(两
G
条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60° ∠EFC＝45° ∴∠ BCD＝60° ∠FCD＝45° 又∵GC⊥CF ∴∠GCF＝90°（垂
C
D
直定理） ∴∠GCD＝90°－45°＝45° ∴∠BCG＝60°－45°＝ E
F
15°

立体几何平行与垂直经典证明题

N M P C B A 新课标立体几何常考证明题汇总考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（1）求证：EFGH 是平行四边形（2）若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C

第二章相交线与平行线培优讲义(含解析)

第二章相交线与平行线培优讲义如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点．邻补角的概念：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。对顶角的概念及性质：（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角. （2）对顶角的性质：对顶角相等。垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ” 4 3 2 1 D C B A

（2）垂线的性质： ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 5.同位角、内错角、同旁内角的概念： ①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角. ②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角 ③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角. 看图识角：（1）“F ”型中的同位角.如图. （2）“Z ”字型中的内错角，如图. D C B A 876 54 321F E D C B A F M N D B F M N C A M N D B E M N E C A

立体几何中平行与垂直证明方法归纳

c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β a b a =?? βαβ α ∥b a ∥?b a b a //// ??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

广东省深圳市罗湖区望桐路七年级数学第13讲平行线的性质及其应用培优讲义(无答案)新人教版.doc

第13 讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译 1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥C D，B C∥AD，∠A＝38°，求∠C的度数. 【解法指导】 D C 两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补. A B 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB∥CD B C∥AD ∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°( 两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A＝∠C ∵∠A＝38°∴∠C＝38° 【变式题组】 01．如图，已知AD∥BC，点E在B D的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（）A．155°B．50°C．45°D．25° E A 3 D 2 l1 F 2 C α 1 l2 A B B 1 D E C （第 1 题图）（第2 题图）（第 3 题图） 02．（安徽）如图，直线l 1 ∥l 2, ∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3 为（） A．50 °B．55 °C．60 °D．65° 03．如图，已知FC∥AB∥D E，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B的度数. 【例２】如图，已知AB∥C D∥EF，GC⊥C F，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相 A B 结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. G 【解】∵AB∥C D∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD( 两条直线平行，内错角相等) 又∵∠B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠ FCD＝45°又∵GC⊥CF ∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝ C D 90°－45°＝45°∴∠BCG＝60°－45°＝15° 【变式题组】 E F 01．如图，已知AF∥BC, 且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________

立体几何中平行与垂直的证明(整理好)

D 1 B 1D A B C E 1A 1C 立体几何中平行与垂直的证明姓名例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， O 是底ABCD 对角线的交点．求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1；（2）A 1C ⊥平面AB 1D 1．【变式一】如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。求证：E D 1⊥D A 1；【变式二A 】如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,22 1== AD AF G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ；（2）求空间四边形AGBC 的体积。

B C A D E F M C 1 B 11B A 【变式二B 】. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，8AB =，6AC =，10BC =，D 是BC 边的中点.（Ⅰ）求证： 1AB A C ⊥；（Ⅱ）求证：1A C ∥ 面1AB D ；【变式三】如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．【变式四】如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.

初一数学下寒假培优训练讲义--平行线

初一数学寒假培优训练一（余角,补角以及三线八角,平行线的判定）一、考点讲解： 1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． 2．补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角． 3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 4．互为余角的有关性质： ① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1.∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○ ． ②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2=90○ ，∠1+∠ 3= 90○ ，则∠ 2= ∠ 3． 5．互为补角的有关性质： ①若∠A +∠B=180○ 则∠A.∠B 互补，反过来，若∠A.∠B 互补，则∠A+∠B ＝180○ ． ②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○ ，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C ． 6．对顶角的性质：对顶角相等．二、互为余角.互为补角.对顶角比较三、经典例题剖析：例1．如图所示，AOB 是一条直线，?=∠?=∠90,90DOE AOC ，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？（例1） A B E O C D 1 2 3 4

练习： 1. 如图所示，AOE 是一条直线，?=∠=∠90COD AOB ，则（1）如果,301?=∠那么=∠2 ，3∠= 。（2）和1∠互为余角的角有和1∠相等的角有例2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○ ，∠3=_ _ （练习1）练习： 1. 如果一个角的补角是150○ ，那么这个角的余角是_________ 2. ∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○ ，∠l=_ 例3. 若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○ 则∠1=___，∠2=___．练习： 1. 一个角等于它的余角的2倍，那么这个角等于它补角的（） A.2倍 B. 21倍 C.5倍 D. 5 1倍 2. 已知一个角的余角比它的补角的13 5 还少?4，求这个角。四、巩固练习： 1．_______的余角相等，_______的补角相等． 2.一个角的余角（） A.一定是钝角 B.一定是锐角 C.可能是锐角，也可能是钝角 D.以上答案都不对 3．下列说法中正确的是（） A ．两个互补的角中必有一个是钝角 B ．一个角的补角一定比这个角大 C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D ．相等的角一定互余 5．若两个角互补，则（） A.这两个都是锐角 B.这两个角都是钝角 C.这两个角一个是锐角，一个是钝角 D.以上结论都不对 6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数． 7．下列说法中正确的是（） A.相等的角是对顶角 B.不是对顶角的角不相等 C.对顶角必相等 D.有公共顶点的角是对顶角 8．三条直线相交于一点，所成对顶角有（） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 9．下列说法正确的是（） A.不相等的角一定不是对顶角 B.互补的两个角是邻补角 C.两条直线相交所成的角是对顶角 D.互补且有一条公共边的两个角是邻补角

相交线和平行线提高题与常考题型和培优题(含解析)

相交线与平行线培优题(2) 一．选择题（共12小题） 1．如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=124°，则∠2=（） A．56°B．66°C．24°D．34° 2．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100° D．102° 3．如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为（） A．35°B．45°C．50°D．55° 第2题第三题第4题第5题 4如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为：A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠DFE C．∠1=∠AFD D．∠2=∠AFD 6．如图，与∠1是同旁内角的是（） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 7．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180° 8．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7 9．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（）

A．85°B．70°C．75°D．60° 10．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（） A．65°B．115°C．125° D．130° 11．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（） A．65°B．55°C．45°D．35° 12．如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（） A．85°B．60°C．50°D．35° 二．填空题（共12小题） 13．如图，已知BD∥AC，∠1=65°，∠A=40°，则∠2的大小是． 14．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BFA=34°，则∠DAE=度．

平行线的性质和判定培优讲义全

平行线的性质与判定培优讲义教师寄语： . 努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧，每个梦想都会超越你的目标。——佚名【知识精要】: 1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。 2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 4．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 5．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________ .⑵两条直线被第三条直线所截，如果错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：_______________________. 6．在同一平面，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 7．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑵两条平行直线被第三条直线所截，错角相等.简单说成：__________ ⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁角互补.简单说成：__________________。. 【例题精析】: 例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。

空间几何平行与垂直证明

空间几何平行与垂直证明线面平行方法一：中点模型法例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为PC 的中点. 求证：PA//平面BDE 练习： 1.三棱锥_P ABC 中，P A A B A C ==，120BAC ∠= ，P A ⊥平面A B C ，点E 、F 分别为线段P C 、B C 的中点，（1）判断P B 与平面A E F 的位置关系并说明理由；（2）求直线P F 与平面P A C 所成角的正弦值。 P A B C D E C B

2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD .DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD . (1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：AC ⊥平面PBD . 3.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：AC//平面EFG. 4.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：EF //平面BGH. 方法二：平行四边形法例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP A B C D E F G H A B C D E F G H P A B C D E O

2.正方体1111ABC D A B C D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点. 求证：//E G 平面11BD D B 练习 1.如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形， M 为O A 的中点，N 为B C 的中点证明：直线MN ‖平面O C D ； 2.在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//A F 平面PC E 3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点．求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； G E D 1 C 1 B 1 A 1A D C B O A M D C B N P B C D A E F D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C

平行线的性质和判定培优讲义

平行线的性质和判定培优讲义 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

平行线的性质与判定培优讲义教师寄语： . 努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧，每个梦想都会超越你的目标。——佚名【知识精要】: 1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。 2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 4．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 5．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________ .⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：_______________________. 6．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 _______ .

7．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________ ⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。. 【例题精析】: 例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 例2．已知：如图(2)， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。 G

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.

证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图，则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，

线面平行与垂直的证明题

线面平行与垂直的证明 1：如图,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中. (1）求证:AC ⊥平面B １ＢＤD １; （２）求三棱锥B-ACB 1体积. 2：如图,ＡBC Ｄ是正方形,O 是正方形的中心, PO ⊥底面ABCD ，E 是ＰＣ的中点. 求证:（１）ＰＡ∥平面BD Ｅ；（2)平面P ＡC ⊥平面BDE ．３：如图:在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠AB Ｃ = 90°,SA ⊥面ABCD,SA = AB ＝ BC = 1,2 1 = AD ． (Ⅰ）求四棱锥S —A ＢＣD 的体积; （Ⅱ）证明:平面SBC ⊥平面SCD . D 1 C 1 B 1 A 1 C D B A D A B C O E P

4:已知多面体ABCDFE中, 四边形ABCD为矩形,AB ∥EF,AＦ⊥BF,平面AＢＥＦ⊥平面AＢCＤ, Ｏ、M 分别为AＢ、FC的中点,且ＡB= 2，AD = ＥF= １. （Ⅰ)求证:AＦ⊥平面FBC; (Ⅱ）求证:ＯM∥平面ＤＡF. 5:．如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ＡＢCD是正方形，侧棱PD⊥底面AＢCD，PＤ=DＣ,E是P C的中点，作EF ⊥PB交PB于点Ｆ. (１)证明ＰA//平面EDB；（2)证明PB⊥平面EFＤ; 6:已知正方形AＢCＤ和正方形ABＥF所在的平面相交于AＢ,点M,N分别在AC和BF上,且AM=FN．求证：ＭＮ‖平面ＢCE. A B C D P E F B C D E F N M

７：如图,正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证:直线//1B A 平面1ACD （2)求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1; 8: 如图,已知△ABC 是正三角形,EA 、ＣD 都垂直于平面AB Ｃ，且EA=AB ＝2a,DC=a,F 是BE 的中点, 求证：(１) FD ∥平面ＡＢC (2) A Ｆ⊥平面ＥDB ． 9:如图,在正方体ＡBCD-A １Ｂ1C 1D 1中,E 、F 、G 分别是CB 、ＣD 、ＣC 1的中点，（1）求证：平面Ａ B １D 1∥平面ＥFG; (２) 求证:平面AA 1C ⊥面EFG ． F E C1D1 A1 B1 D B F E D C A M

培优专题：平行线与相交线问题知识点复习及其应用举例

平行线与相交线问题知识点复习及其应用举例平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质，为中学几何的基本知识．正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．一、知识要点： 1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。 2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做 ___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________. 5．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 6．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________. 7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 8．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________ .⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。. 方法指导：平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及

七年级数学相交线与平行线培优复习附详细复习资料

A 七年级数学：相交线与平行线培优复习例题精讲例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。解：∵ a ∥b ， ∴ ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义) ∴ ∠1＝∠2 (等式性质) 则 3x+70＝5x+22 解得x=24 即∠1＝142° ∴ ∠3＝180°-∠1＝38° 图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。例2．已知：如图(2)， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B -∠D=24°，求∠GEF 的度数。解：∵AB ∥EF ∥CD ∴∠B=∠BEF ，∠DEF=∠D （两直线平行，内错角相等） ∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知）即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° ∴2（∠B+∠D ）=192°（等量代换）则∠B+∠D=96°（等式性质） ∵∠B-∠D=24°（已知）图(2) ∴∠B=60°（等式性质）即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG 平分∠BEF （已知） ∴∠GEF=21 ∠BEF=30°（角平分线定义）例3．如图（3），已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。解：过E 作EF ∥AB ∵ AB ∥CD （已知） ∴ EF ∥CD （平行公理） ∴ ∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠DEB=∠DEF -∠BEF ∴ ∠DEB =∠D -∠B=30° 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。图（3） G