高中数学集合逻辑函数向量数列不等式立体几何综合

高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立体

几何 综合测试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．

1. 若非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且若S a ∈，则必有S a ∈-6，则所有满足上述条件的集合S 共有

A ．6个

B ．7个

C ．8个

D ．9个

2. 命题P ：若函数()f x 有反函数，则()f x 为单调函数；命题Q ：

111

222

a b c a b c == 是不等式21110a x b x c ++>与2

2220a x b x c ++>(121212a a b b c c ，，，，，均不为零)同解的充要条件，则以下是真命

题的为

A ．P ?且Q

B ．P 且Q

C ．P ?或Q

D ．P 或Q

3. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =

A ．

42B ．22 C ．41D ．2

1 4. 如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中ABC ?是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为

A.

B.

32

D. 3

左视图

主视图俯视图

5. 已知函数bx x x f +=2

)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线0223=+-y x 平行，若数列})

(1

{

n f 的前n 项和为n S , 则2012S 的值为

A ．20102009

B ．20112010

C ．20122011

D ．2013

2012

6. 若m b a m a f 2)13()(-+-=，当]1,0[∈m 时，1)(≤a f 恒成立，则b a +的最大值为

A ．

31 B ．32 C ．35

D ．3

7 7. 已知a 、b 是不共线的向量，()AB AC R λμλμ=+=+∈，

，a b a b ，那么A B C 、、三点共线的充要条件为

A ．1λμ=

B ．1λμ=-

C ．1=-μλ

D ．2λμ+=

8. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-?-+AC AB DA DC DB 则ABC ?的形状是

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

9. 设函数()(sin cos )(02011),x

f x e x x x π=-≤≤则函数()f x 的各极大值之和为

A.20122(1)

1e e e πππ

－－ B. 1006(1)1e e e πππ－－

C.

10062(1)1e e e πππ－－ D.20102(1)1e e e

πππ

－－ 10. ()x f y =的定义域为R ，且()(),22x f x f -=+()()x f x f -=+77在[]7,0上只有()()031==f f ，则()x f 在

]2012,2012[-上的零点个数为

A ．403

B ．402

C ．806

D ．805

11. 函数()22x x

f x -=-的反函数为)(1

x f -，则使不等式1()2f x ->成立的x 的取值X 围为

A ．15

(,)4-

+∞ B ．15[0,

)4

C ．15(,0)4-

D ．15(,)4-∞- 12. 已知函数32

()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x x x x x ?+>?=??---≤?

，关于方程()0g f x a -=????（a 为正实数）的根的叙述

有下列四个命题

①存在实数a ，使得方程恰有3个不同的实根； ②存在实数a ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数a ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数a ，使得方程恰有6个不同的实根；

其中真命题的个数是

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．

13. 定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于)0,1(成中心对称，若,s t 满足不等式

22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t

s

的取值X 围．

14. 已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若9,3,1341≤>>S a a ，设

122,n n n n b a b b b =++

+则的结果为．

15. 已知正项数列{}n a )0*,(>∈n a N n 的前n 项和n S 满足：12+=n n a S ；设392+-=n n a b ，则数列{}

n b 的前n 项和

的最大值为___________．

16. 如图，直线l α⊥平面，垂足为O ，已知长方体

1111ABCD A B C D -中，

15,6,8AA AB AD ===该长方体做符合以下条件

的自由运动：（1）A l ∈;（2）

C α∈,则1,C O 两点间的最大距离为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程

书写在答题纸上，并写出文

字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本题满分10分）已知集合{

}

2

150A x x px ?-+=，

{}

250B x x x q ?-+=，{}2,3,5A B =，{}3A B =，求集合A 和B .

P

A

B

C

C

第20题图

18. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,21=a ,点(1+n S ,n S )在直线n n y n nx +=+-2

)1((*N n ∈)上.a1=2

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设,211-+=

++n n n n n S S S S T 证明：.33

4

321<++++≤n T T T T 19. （本题满分12分）

阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①

sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②

由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③

令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A B

αβ+-=

=

代入③得 sin sin 2sin cos

22

A B A B

A B +-+=. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

cos cos 2sin

sin

22

A B A B

A B +--=-； (Ⅱ)若ABC ?的三个内角,,A B C 满足cos2cos21cos2A B C -=-,试判断ABC ?的形状.(提示:如果需要，也可以

直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

20. （本题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，

22,4======BC AB AC PC PB PA .

（1）求证：平面ABC ⊥平面APC ；

（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值； 的余弦值为

3

2

2，（3）若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角C

PA M --求BM 的最小值.

21. （本题满分12分）已知正数数列}{n a 和{}n b 满足：对任意n ，1,,n n n a b a +成

等差数列，且总有1n a +=

（1

）判断数列

是否为等差数列；

（2）若1121,2,3,a b a ===求数列}{n a 和{}n b 的通项公式．

22. （本题满分12分）已知函数x x x f 2)(2

-=, )(x g 是R 上的奇函数，且当]0,(-∞∈x 时，2

)()(x x f x g =+． （Ⅰ）求函数)(x g 在R 上的解析式；

（Ⅱ）若函数+-=)()([)(x f x g x x h λ2

3

]在),0(+∞上是增函数，且0≤λ，求λ的取值X 围．

试题答案

1-5BCBCD 6-10DABDD 11-12DA 13.1

[,1]2

-

14. 12n n +? 15. 190 16. 255+ 17. 由3A ∈，{

}

2

150A x x px ?-+=，得8;p =…….3分

由3B ∈，{}2

50B x x x q ?-+=，得 6.q =………….6分

{}2,2,2,2,3A B A B B ∈?∴∈∴=………….8分 {}3,3,3,5,3A B B A A ∈?∴∈∴=……….10分

18. 解：（I ）n n y n nx S S n n +=+-+2

1)1(),(在直线 上，

,111=-+∴

+n

S n S n

n …………………………………………1分 ∴{

n

S n

}构成以S 1=a 1=2为首项，公差为1的等差数列， 分

而时当分

6*).(2,2,2)1()1(,24.,1)1(212212 N n n a a n n n n n S S a n n n S n n n

S n n n n n n

∈=∴==----+=-=≥+=∴+=?-+=∴

- 证明：（II ）n n S n +=2

.

322

123)]

21

1()4121()311[(210).1(34

,

0)

2(4

,*8,2

2

222122122221121<+-+-=+-++-+-=+++==≥+++∴>+=∈+-=-+++-=-+++=

∴n n n n T T T n T T T T n n T N n n n n n n n n n T n n n n 又分时取等号时分

∴原不等式成立.……………………………………………………………………12分

19. 解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------①

cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，------②…………………1分

①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-.------③……………………2分

令,A B αβαβ+=-=有,22A B A B

αβ+-=

=

， 代入③得cos cos 2sin sin

22

A B A B

A B +--=-.………………………………5分 (Ⅱ)由二倍角公式,cos2cos21cos2A B C -=-可化为

22212sin 12sin 112sin A B C --+=-+,…………………………………7分

所以2

2

2

sin sin sin A C B +=.…………………………………10分 设ABC ?的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ， 由正弦定理可得2

2

2

a c

b +=.………………………………11分

根据勾股定理的逆定理知ABC ?为直角三角形.…………………………………12分 解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2cos21cos2A B C -=-可化为

()()22sin sin 112sin A B A B C -+-=-+，…………………………………7分

因为A,B,C 为ABC ?的内角，所以A B C π++=， 所以()()()2

sin sin sin

A B A B A B -+-=+.

又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠, 所以()()sin sin 0A B A B ++-=.

从而2sin cos 0A B =.……………………………………………10分 又sin 0A ≠,所以cos 0B =，故2

B π

∠=

.……………………………………11分

所以ABC ?为直角三角形. ………………………………12分

20. (满分12分)解：（1）取AC 中点O,因为AP=BP ，所以OP ⊥OC 由已知易得三角形ABC 为直角三角形， ∴OA=OB=OC,⊿POA ≌⊿POB ≌⊿POC,∴OP ⊥OB

∴OP ⊥平面ABC, ∵OP 在平面PAC 中，∴平面ABC ⊥平面APC 4分 （2） 以O 为坐标原点,OB 、OC 、OP 分别为

x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.

由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0), C(0,2,0),P(0,0, 32), 5分 ∴)32,2,0(),32,0,2(),0,2,2(=-=-=→

→

→

AP PB BC 设平面PBC 的法向量),,(1z y x n =，

由0,011=?=?n n 得方程组

??

?=-=+-0

3220

22z x y x ，取)1,3,3(1=→n 6分

∴ 7

21,cos 1>=

<→

→n AP ∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为

7

21。 8分

（2）由题意平面PAC 的法向量)0,0,2(2→

→

==OB n ， 设平面PAM 的法向量为)0,,(),,,(3n m M z y x n =

∵)0,2,(),32,2,0(+==n m AM AP 又因为0,033=?=?n n ∴???=++=+0

)2(0322y n mx z y 取)1,3,)2(3(3-+=m n n

3221

3)2(32)

2(32,cos 2

32=++++>=<∴→

→

m

n m n n n ∴ 32)2(32

=+m

n ∴

m n 2423=+）（ 11分

∴B 点到AM 的最小值为垂直距离351052708353228-=-=d 。 12分

21. 是等差数列，21(1)2n

b

n =+，(1)2

n n n a +=

22.

A