初中数学所有函数的知识点总结
初中数学所有函数的知
识点总结
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
课题§3. 5 正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数
教学目标
1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
2、会用待定系数法确定函数的解析式
教学重点
掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
教学难点
掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
教学方法
讲练结合法
教学过程
（I）知识要点
注：二次函数))((44)2(
22
n x m x a a
b a
c a b x a c bx ax y --=-++=++=（0≠a ）
对称轴a
b
x 2-=，顶点)442(2a b ac a b --，
抛物线与x 轴交点坐标)0()0(，，，n m （II ）例题讲解
例1、求满足下列条件的二次函数的解析式：
（1）抛物线过点A （1，1），B （2，2），C （4，2-） （2）抛物线的顶点为P （1，5）且过点Q （3，3）
（3）抛物线对称轴是2=x ，它在x 轴上截出的线段AB 长为22，且抛物线过点（1，7）。
解：（1）设)0(2≠++=a c bx ax y ，将A 、B 、C 三点坐标分别代入，可得方程组为
（2）设二次函数为5)1(2--=x a y ，将Q 点坐标代入，即35)13(2=--a ，得
2=a ，故3425)1(222--=--=x x x y
（3）∵抛物线对称轴为2=x ；
∴抛物线与x 轴的两个交点A 、B 应关于2-=x 对称；
∴由题设条件可得两个交点坐标分别为)0222()022(，、，
+--B A ∴可设函数解析式为：a x a x x a y 2)2()22)(22(2-+=-
+++=，将（1，
7）代入方程可得1=a
∴所求二次函数为242++=x x y ，
例2：二次函数的图像过点（0，8），)51(--，，（4，0） （1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间 （2）当x 取何值时，①y≥0，②y<0
解：（1）依题意可设函数的解析式为：)0(2≠++=a c bx ax y 将三点坐标分别代入，可得方程组为：
?????=++-=+--=0
41658
c b a c b a c 解得?????-=-=-=821c b a
∴函数图像的顶点为（1，9-），对称轴为1=x
又∵01>=a ， ∴函数有最小值，且9m in -=y ，无最大值
函数的增区间为[1，+∞），减区间为]1(，
-∞ （2）由2408202-≤≥≥--≥x x x x y 或，解得可得 由4208202<<-<-- 例3：求函数]11[1)(2，，-∈+-=x x x x f 的最值及相应的x 值 解由4 3)21(122+-=+-=x x x y ，知函数的图像开口向上，对称轴为21 =x ∴依题设条件可得)(x f 在]211[，-上是减函数，在]12 1 [， 上是增函数。 ∴当]11[2 1， -∈=x 时，函数取得最小值，且43 m in =y 又∵2 1 123211->=-- ∴依二次函数的对称性可知)1()1(f f >- ∴当1-=x 时函数取得最大值，且31)1()1(2m ax =+---=y 例4、已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f (1)若函数)(x f 的递减区间是]4(，-∞，求实数a 的取值 (2)若函数)(x f 在区间]4(，-∞上是减函数，求实数a 的取值范围 分析：二次函数的单调区间是由其开口方向及对称轴决定的，要分清函数在区间A 上是单调函数及单调区间是A 的区别与联系 解：（1）)(x f 的对称轴是a a x -=-- =12 ) 1(2，且二次项系数为1>0 可得函数图像开口向上 ∴)(x f 的单调减区间为]1(a --∞， ∴依题设条件可得341-==-a a ，解得 (2)∵)(x f 在区间]4(，-∞上是减函数 ∴]4(，-∞是递减区间]1(a --∞，的子区间 ∴341-≤≥-a a ，解得 例5、函数2)(2-+=bx x x f ，满足：)3()3(x f x f +=- （1）求方程0)(=x f 的两根21x x ，的和 （2）比较)1(-f 、)1(f 、)4(f 的大小 解：由)3()3(x f x f -=+知函数图像的对称轴为32 ) 3()3(=-++= x x x 而)(x f 的图像与x 轴交点)0()0(21，、， x x 关于对称轴3=x 对称 由二次项系数为1>0，可知抛物线开口向上 又134231431=-=-=--，， ∴依二次函数的对称性及单调性可)1()1()4(-< （Ⅳ）教学后记：