全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简
1．二次根式的乘法法则
(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．
观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．
(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：
①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．
③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．
④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．
当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法
则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．
即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．
【例1】计算：
(1)0.4×3.6；(2)545×
3
2
23.
分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．
解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×
32
23＝5×32×
45×
23＝15
2×
3×15×
23＝15230.
2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．
用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．
(2)注意事项：
①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．
②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．
(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．
(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．
计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为
4×9，再化简．
【例2】化简：
(1)300；(2)21×63；
(3)(－50)×(－8)；
(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．
分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.
(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.
(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.
(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.
3．二次根式的除法法则
对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么a
b
＝
a
b.这就是二次根
式的除法法则．
(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝
a
b.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)
(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．
知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；
(2)m a ÷n b ＝
m a n b ＝m
n
a
b (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开
方数与被开方数相除．
点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.
【例3】如果
x x －1＝x x －1
成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1
C ．0≤x ≤1
D ．以上答案都不对
解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.
答案：D
点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.
(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．
4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)
1625＝
(45)2＝45，1625＝45
，显然
1625＝1625
；(2)81
121＝
(911)2＝911，81121＝911，显然
81121＝81121
，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么
a b ＝a
b
，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有
a b ＝a
b
；
(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；
(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)53
5； (2)－2a 12a ；
(3)－a
－1
a ； (4)x
y
x (x ＜0，y ＜0)．
分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．
解：(1)5
35
＝52×35＝
52×
35＝15.
(2)∵1
2a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－
(2a )2·
12a ＝－2a .
(3)∵－1
a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a
＝
(－a )2·(－1
a )＝－a .
(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x
＝－(－x )2y x
＝－
(－x )2·
y x ＝－xy .
(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2
(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号
外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．
5．最简二次根式的概念
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
对最简二次根式的理解
①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.
【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋b
b 是最简同类二次根式，求a ，b 的
值．
分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．
解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧
a ＝0，
b ＝2.
所以a ，b 的值分别是0,2.
本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根
式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．
6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：
二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．
(2)公式、法则：
整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：
整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．
乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．
在进行二次根式的运算时常见的错误是：
①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；
③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9
145÷
(3235)×1222
3； (2)2ab a 2b ·3
a b ÷(－12
1a )．
分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．
解：(1)9145÷
(3235)×12
22
3
＝(9÷
32×12)145÷35×83 ＝(9×
23×12)145×53×83
＝3
881＝3
22×292＝3×292＝2
32； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－12
1a )＝[2ab ·3÷(－1
2)]
a 2
b ·
a b ÷1
a
＝－12ab
a 2
b ·a b
·a ＝－12ab a 4
＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .
7．二次根式的化简
(1)化二次根式为最简二次根式的方法：
①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．
②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽
方的因数或因式开出来．
(2)口诀
“一分、二移、三化”
“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．
“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．
(3)化去分母中的根号
①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．
②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．
a与a；
a＋b与a－b；
a＋b与a－b；
a b＋c d与a b－c d.
③化去分母中的根号时，分母要先化简．
(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．
【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．
(2)把代数式x－1
x根号外的因式移到根号内，化简的结果为
__________．
(3)把
－x3
(x－1)2
化成最简二次根式是__________．
(4)化简
3
5－2
时，甲的解法是：
3
5－2
＝
3(5＋2)
(5－2)(5＋2)
＝5＋
2，乙的解法是：
3
5－2
＝
(5＋2)(5－2)
5－2
＝5＋2，以下判断正确的是
()．
A．甲正确，乙不正确
B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙的解法都正确
D．甲、乙的解法都不正确
解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.
原式＝b2·a＝－b a.
(2)因为－1
x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－
1
x＝
－(－x)2(－1
x)＝－－x.
(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．
∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，
∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.
故原式＝(－x)2·(－x)
(1－x)2
＝－
x
1－x
－x.
(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.
答案：(1)－b a(2)－－x
(3)－
x
1－x
－x(4)C
8．二次根式的乘除法的综合应用
利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：
(1)比较大小
比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．
对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；
二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．
(2)化简求值
对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先
把原式化简，再代入求值．
在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．
再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．
(3)探索规律
适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……
__________.
解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，
201155
5个
.
答案：5 55 555 5 555 2011555个
【例8－1】已知9－x x －6＝9－x
x －6
，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4
x 2－1
的
值．
分析：式子
a b ＝a
b ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x
－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.
解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧
x ≤9，x >6.
∴6＜x ≤9.
∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)
(x ＋1)(x －1)
＝(1＋x )x －4
x ＋1
＝(1＋x )
x －4
x ＋1
＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 2
2
3＝
2＋23，338＝
3＋38.
验证：223＝
233＝
23－2＋2
22－1
＝2(22－1)＋2
22－1＝
2＋222
－1
＝2＋23
；
3
38＝
338＝
33－3＋3
32－1＝
3(32－1)＋3
32－1
＝
3＋332－1
＝3＋38.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想44
15的变形结果并进行
验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．
分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．
解：(1)4415＝4＋415. 验证：4
415＝
4315＝
43－4＋4
42－1
＝
4(42－1)＋4
42－1
＝4＋
4
42－1
＝4＋
4
15.
(2)猜想：n
n
n2－1
＝n＋
n
n2－1
(n≥2，n为正整数)．
证明：因为n
n
n2－1
＝
n3
n2－1
＝
n3－n＋n
n2－1
＝
n(n2－1)＋n
n2－1
＝
n＋
n
n2－1
，所以n
n
n2－1
＝n＋
n
n2－1
.
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二次根式总结归纳
二次根式总结 一、引言 二次根式是数学中的一个重要概念，也是初等代数中一个基础的内容。它在解方程、求根、化简表达式等问题中起着重要作用。本文将对二次根式进行全面、深入的总结，包括重要观点、关键发现和进一步思考。 二、基本概念 1. 二次根式的定义 二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。当a为正实数时，√a有两个实 数解；当a为零时，√0=0；当a为负实数时，√a没有实数解。 2. 二次根式的性质 •非负实数的平方根仍为非负实数； •平方根具有唯一性，即对于任意非负实数a，√a唯一确定。 3. 二次根式的运算 •加减法：对于两个二次根式√a和√b，如果它们的被开方数相同，则可以直接相加或相减；如果被开方数不同，则需要化简后再运算。 •乘法：对于两个二次根式√a和√b，它们的乘积可以化简为√ab。 •除法：对于两个二次根式√a和√b，它们的商可以化简为√a √b =√a b ，其中b不 能为零。 三、重要观点 1. 二次根式的化简 化简二次根式是解题中常见的操作。可以利用平方根的性质，将二次根式化简为最简形式。√8=√4⋅√2=2√2。 2. 二次根式的应用 二次根式在解方程、求根、化简表达式等问题中经常出现。在解关于x的方程时，可能会遇到形如x2=5的方程，需要求得x=±√5。
3. 二次根式与无理数 二次根式通常是无理数。无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。π和e都 是无理数。而对于正实数a来说，如果其平方不是有理数，则其平方根一定是无理数。 四、关键发现 1. 二次根式的图像 二次根式的图像是一个开口向上或向下的抛物线。当a>0时，抛物线开口向上； 当a<0时，抛物线开口向下。图像关于x轴对称。 2. 二次根式的大小比较 对于两个非负实数a和b，如果a 16.2 二次根式的运算 16.2.1 二次根式的乘除 一、内容和内容解析 1．内容 二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式. 2．内容解析 二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章，因此承担着整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务.本节研究二次根式的乘法运算.运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质. 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程；会进行简单的二次根式的乘法运算； （2）会用公式化简二次根式. 2．目标解析 （1）学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容； （2）学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式. 三、教学问题诊断分析 本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯. 在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：（1）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简，也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号；（2）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简. 本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简. 四、教学过程设计 二次根式加减乘除混合运算考点与解析 1．计算：． 考点：二次根式的乘除法． 专题：计算题． 分析：按照?=，从左至右依次相乘即可． 解答： 解：， =2． 点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心． 2．计算：﹣32+×+|﹣3| 考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值． 分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可． 解答： 解：﹣32+×+|﹣3| =﹣9+×+3﹣ =﹣5﹣． 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键． 3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）． 考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值． 分析： 运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题． 解答： 解：原式=﹣1++4﹣3 =． 点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题； 牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键． 4．计算：． 考点：二次根式的混合运算． 专题：计算题． 分析： 先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可． 解答： 解：原式=﹣+2 =4﹣+2 =4+． 点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算． 5．计算： （1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1 （2）（1+）÷． 考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题：计算题． 分析： （1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣ ﹣﹣2，然后合并即可； （2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 解答： 解：（1）原式=﹣﹣﹣2 =﹣2； （2）原式=? =x． 点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算． 6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1． 考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂． 分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣ 2|+÷+（）﹣1的值是多少即可． 解答： 解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1． 全面剖析二次根式的乘除及化简 1．二次根式的乘法法则 (1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)． 观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数． (2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点： ①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根． ③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况． ④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内． 当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法 则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数． 即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)． 【例1】计算： (1)0.4×3.6；(2)545× 3 2 23. 分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法． 解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545× 32 23＝5×32× 45× 23＝15 2× 3×15× 23＝15230. 2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)． 二次根式基本运算、分母有理化 板块一 二次根式的乘除 最简二次根式： 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式 二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 二次根式的乘法法则 =0a ≥，0b ≥） 二次根式的除法法则 =0a ≥，0b >） 利用这两个法则时注意a 、b a 、 b 都非负，否则不成立， ≠ 一、最简二次根式 【例1】 中，最简二次根式有____________________. 【例2】 下列根式 ） A ．2个 B ．3个 C ．4 个 D ．5个 【例3】 下列各式正确的是（ ） A 10b a B ．1= C = D ．= 中考要求 例题精讲 【例4】 化简下列各式（字母均取正数）： 2)x ≥． 【巩固】把下列各式化成最简二次根式 （1 （2 （3)0x ≥ 【例5】 若0abc <，且a b c >> 【例6】 化简： 【例7】)20x y >> 【例8】 )0a ≥ )00x y ≥，≥ 【例9】 已知：m n =，求m 的取值范围 ab 【例10】已a b =， 10 二、二次根式的乘除 分母有理化： 把分母中的根号化去叫做分母有理化． 互为有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式． 0． 【例11】把下列各式分母有理化： 2 【例12】化=（） A B C D．不同于A C的答案 【例13】计 初中数学——二次根式的化简 概述： 在初中数学中，二次根式的化简是一个重要且常见的知识点。在解题中，需要将二次根式化简为最简形式，便于后续的求解和计算。本文将详细介绍二次根式的化简方法，并提供20道以上的练习题，带参考答案。 知识点详解： 一、定义 二次根式指形如√a（a≥0）的式子，其中a称为被开方数。在初中数学中，二次根式主要涉及两个方面——二次根式的加减乘除和化简。 二、化简方法 对于二次根式的化简，我们需要掌握以下方法： 1. 同底数化简法——将不同的二次根式的底数化为相同，再进行加减运算。 例如：√2+√8，我们可以将√8化为2√2，即√2+2√2，再合并同类项得到3√2。 2. 分解质因数化简法——先将被开方数分解为质因数，再化简为最简形式。 例如：√48，我们将48分解质因数为2×2×2×2×3，即√(2^4×3)，再运用指数运算法则，即√(2^4)×√3=4√3。 3. 有理化分母法——通过有理数乘以一个恰当的分式， 将分母中的二次根式变为有理数，从而达到化简的目的。 例如：1/√2，我们乘以分式√2/√2，即(1×√2)/(√2×√2)=√2/2。 4. 公式化简法——对于常见的二次根式，可以运用公式进行化简。 例如：√(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)。 二次根式的化简需要我们熟练掌握以上方法并根据具体情况选择合适的方法进行化简。 三、练习题 1. 将√12化简为最简形式。 参考答案：2√3 2. 化简(√5-√3)/(√5+√3)。 参考答案：(2-√15)/2 3. 化简√(3+2√2)。 参考答案：1+√2 4. 化简4√2-2√6+√18。 参考答案：4√2-2√6+3√2 5. 化简2√6+4√24。 参考答案：8√2+2√6 6. 化简√12-3√3。 参考答案：2√3 7. 化简√5+√20。 参考答案：3√5 二次根式的化简及运算 一、二次根式基本运算 二次根式的乘除法 1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 2. 3. 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 4. 二次根式的加减法 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。类似于合并同类项。 化简步骤： （1）“一分”，即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或因式）的幂的积的形式； （2）“二移”，即把能开得尽的因数（或因式），用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上； （3）“三化”，即化去被开方数中的分母。 二、二次根式的乘方 1. 将单独根式中的整式（数）部分，根式部分分别乘方，如计算（23）2时，先将2乘方，再将3乘方，结果再相乘； 2. 多项式的乘方注意使用乘方公式，同时也可以将其因式分解。 总结： 1. 乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑被开方数的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式； 2. 对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母。 例题1 （1）除实数a 外，与k 的差的绝对值最大的实数是 ； （2）求x 的值。 解析：（1）直接求b 、c 、d 、e 与k 的差的绝对值，比较大小即可；（2）根据题意，a －k ＝x ，b －k ＝－ 33，c －k ＝－33，d －k ＝23，e －k ＝3 3，又有a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝5k ，可求k 的值。 答案：解：（1）∵|b －k|＝|－3 1|＝ 3 3 ，|c －k|＝|－27|＝33，|d －k|＝12＝23，|e －k|＝ 31＝3 3， ∴与k 的差的绝对值最大的实数是c ； （2）依题意，得a －k ＝x ，b －k ＝－33，c －k ＝－33，d －k ＝23，e －k ＝3 3 ， 五式相加，得a ＋b ＋c ＋d ＋e －5k ＝x －3，又有a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝5k ，所以x －3＝ 0，即x ＝3。 例题2 设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示54.0，则下列表示正确的是（ ） A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab 2 D. 0.1a 2 b 解析：先把54.0化为2、3的形式，再把a 、b 代入计算即可。 答案：解：∵54.0＝3209.0??＝0.32?3，2＝a ，3＝b ，∴54.0＝ 0.3ab 。故选A 。 点拨：此题主要考查二次根式的化简，应化简到被开方数开不尽为止。 有条件的根式求值 利用已知条件进行二次根式的运算，关键是对所给条件进行适当的变形，条件的变形没有规律可循，要根据题目需要，运用所学知识适当变形。 例题 已知x 、y 为正数，且x （x ＋y ） ＝3y （x ＋5y ），求y xy x y xy x -+++32的值。 解析：要求代数式的值，首先将分子分母的字母统一成一种，因此要整理已知条件，设法将其中一种字母用另一种表示，然后代入代数式中，约分即可。 答案：由已知条件得x －2xy －15y ＝0。∴（x ＋3y ）（x －5y ）＝0， ∵x ＋3y ＞0，∴x －5y ＝0， ∴x ＝5 y ，x ＝25y ， 二次根式的乘除 二次根式是数学中重要的概念之一，它是数学中的一类 代数式子。简单来说，二次根式就是一个数学式子，它在根号内含有一个二次式，即一个含有二次幂的多项式。在计算二次根式的乘除时，需要使用一些基本的数学运算规则和方法，本文将对这些知识进行详细介绍。 首先，我们来了解一些基本概念。在代数式中，如果一 个式子中含有根号，则这个式子被称为根式。而如果在根式中，根号下面的表达式是一个二次式，即一个多项式中含有二次幂，则这种类型的根式就被称为二次根式。例如， $\sqrt{2x^2+5x-1}$就是一个二次根式。 接下来，我们来看二次根式的乘法规则。假设有两个二 次根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，则它们的乘积可以表示为$\sqrt{ab}$，即$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。例如，$\sqrt{2x^2+5x-1}\times\sqrt{3x^2- 7x+2}=\sqrt{(2x^2+5x-1)\times(3x^2-7x+2)}$。 在进行二次根式的乘法时，需要注意以下两点： 1. 如果两个二次根式的根号下面的表达式相同，则可以 将它们合并为一个二次根式。例如， $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=\sqrt{a^2}=a$。 2. 如果两个二次根式的根号下面的表达式不同，则需要 化简后再进行计算。化简的方法如下：先将两个二次根式中的根号下面的式子相乘，然后再将根号下面的式子分解成两个因数的积，如$ab=(\sqrt{a}\times\sqrt{b})^2$，最后将这两 个二次根式合并。 例如，计算$\sqrt{3x^2-7}\times\sqrt{2x^2+5x-1}$。 首先将两个根式中的根号下面的式子相乘，得到$(3x^2- 7)\times(2x^2+5x-1)$。再将这个式子拆分成两个因数的积，即$(3x^2-7)\times(2x^2+5x- 1)=(3x^2)\times(2x^2)+(3x^2)\times(5x)-7\times(2x^2)- 7\times(5x)+7=6x^4+8x^3-29x^2+7$。最后，将这个式子化简为二次根式，得到$\sqrt{3x^2-7}\times\sqrt{2x^2+5x- 1}=\sqrt{6x^4+8x^3-29x^2+7}$。 接下来，我们来了解一下二次根式的除法规则。假设有 两个二次根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，则它们的商可以表示为 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\t imes\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。例如，$\frac{\sqrt{2x^2+5x-1}}{\sqrt{3x^2- 7x+2}}=\frac{\sqrt{2x^2+5x-1}\times\sqrt{3x^2- 7x+2}}{3x^2-7x+2}$。 在进行二次根式的除法时，需要注意以下两点： 1. 如果除数的根号下面的表达式不是一个二次式，则需 要先将被除数和除数中的根号进行化简。例如，计算 $\frac{\sqrt{2x^2-7}}{5}$，需要将分母化简为一个二次式，即$\frac{\sqrt{2x^2- 7}}{5}=\frac{1}{5}\times\sqrt{2x^2- 7}\times\frac{\sqrt{2x^2-7}}{\sqrt{2x^2- 7}}=\frac{\sqrt{(2x^2-7)\times 1}}{5}=\frac{\sqrt{2x^2-7}}{5}$。 2. 如果被除数和除数的根号下面的表达式不同，则需要 二次根式乘除法 二次根式乘除法是高中数学中的重要内容之一，它涉及到了根式的运算。在进行二次根式的乘除运算时，我们需要掌握一些基本的规则和技巧。 一、二次根式的乘法 对于二次根式的乘法，我们可以利用分配律来进行计算。例如，对于√a * √b，我们可以将其化简为√(a * b)。这个规则可以推广到包含更多项的二次根式的乘法。例如，对于√a * √b * √c，我们可以将其化简为√(a * b * c)。 需要注意的是，当二次根式中含有负数时，我们应该先将负号提取出来，然后再进行乘法运算。例如，对于√(-a) * √b，我们可以将其化简为-√(a * b)。 二、二次根式的除法 对于二次根式的除法，我们可以先将被除数和除数的根号内的数相乘，然后再进行化简。例如，对于√a / √b，我们可以将其化简为√(a / b)。需要注意的是，当被除数和除数都是正数时，我们才可以进行化简。当被除数和除数中含有负数时，我们应先将负号提取出来，然后再进行除法运算。例如，对于√(-a) / √b，我们可以将其化简为-√(a / b)。 三、二次根式的乘除组合运算 在实际问题中，我们经常会遇到需要进行多步运算的情况。在进行二次根式的乘除组合运算时，我们需要按照一定的顺序进行，以保证计算的准确性。 我们应该先进行括号内的运算，然后再进行乘法和除法的运算。当遇到多个乘法或除法时，我们可以按照从左到右的顺序进行运算。 例如，对于表达式√a * (√b + √c)，我们应该先将括号内的二次根式化简为√(b + c)，然后再进行乘法运算，得到结果√(a * (b + c))。 四、应用举例 下面通过一些具体的例子来说明二次根式的乘除法的应用。 例1：计算√2 * √3 根据乘法的规则，我们可以将其化简为√(2 * 3)，即√6。 例2：计算√(-2) * √3 我们将负号提取出来，得到-√(2 * 3)。然后，再进行乘法运算，得到结果-√6。 例3：计算√(4a) * √(9b) 【知识回顾】 1.二次根式：式子a〔a≥0〕叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足如下条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数一样，如此这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质： 〔1〕〔a〕2=a〔a≥0〕；〔2 〕 5.二次根式的运算： 〔1〕因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． 〔2〕二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 〔3〕二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除〕，将被开方数相乘〔除〕，所得的积〔商〕仍作积〔商〕的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． a≥0，b≥0〕=b≥0，a>0〕． 〔4〕有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律与结合律，乘法对加法的分配律以与多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1如下各式1 其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2、求如下二次根式中字母的取值围 〔1〕 x x - - + 3 1 5 ；〔2〕 2 2) - (x 例3、在根式1) A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、： 的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y a〔a＞0〕 = =a a2 a -〔a＜0〕 0 〔a=0〕； 二次根式的性质与化简 二次根式是指含有平方根的表达式，它在数学中有着重要的应用。本文将探讨二次根式的性质以及化简方法。 一、二次根式的性质 1. 二次根式的定义与表示： 二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。二次根式可以用分数指数表示，即a的1/2次方。 2. 二次根式的运算性质： （1）加法与减法：当二次根式的根数相同时，可以进行加法或减法运算。例如√a + √b = √(a + b)，√a - √b = √(a - b)。 （2）乘法与除法：当二次根式的根数相同时，可以进行乘法或除法运算。例如√a × √b = √(a × b)，√a / √b = √(a / b)。 3. 二次根式的化简与分解： 对于二次根式而言，有时可以进行化简与分解。例如√(a^2) = a，√(a/b) = √a / √b。 二、二次根式的化简方法 1. 化简含有相同根数的二次根式： 当两个二次根式具有相同根数时，可以根据运算规律进行化简。例如√(a) × √(b) = √(a × b)，√(a) / √(b) = √(a / b)。 2. 化简含有不同根数的二次根式： 当两个二次根式具有不同根数时，可以通过有理化的方法进行化简。有理化的目的是将二次根式的分母消去。具体操作步骤如下：（1）将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。 （2）将有理化后的分母进行分配。 （3）将相同根数的二次根式合并，并进行运算。 3. 示例： 化简二次根式√(15) / √(3)： （1）将含有二次根式的分母进行有理化，即√(3) × √(3) = 3。 （2）有理化后的分母为3。 （3）利用有理化后的分母，进行分配运算，即（√(15) × √(3)) / 3。 （4）合并二次根式，即√(45) / 3。 （5）化简二次根式，即3√(5) / 3。 （6）最终得到化简后的结果：√(5)。 4. 注意事项： 化简二次根式时，需要注意分母不能为零，同时要注意因式分解的 方法，以便于简化运算步骤。 总结： 数学知识点二次根式的化简和计算二次根式是数学中的一个重要概念。它涉及到了根号、平方以及一些基本的代数运算。对于初学者来说，二次根式的化简和计算可能是一个难点。本文将重点介绍二次根式的化简和计算方法，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。 一、二次根式的定义和性质 在开始讲解二次根式的化简和计算之前，我们先来回顾一下二次根式的定义和性质。 1. 二次根式的定义：形如√a的表达式称为二次根式，其中a为非负实数。 2. 二次根式的性质：对于非负实数a和b，有以下性质： （1）√ab = √a * √b （2）√(a/b) = √a / √b (b≠0) （3）√(a+b) ≠ √a + √b （4）√(a-b) ≠ √a - √b 了解了二次根式的定义和性质后，我们就可以着手学习二次根式的化简和计算了。 二、二次根式的化简方法 二次根式的化简是指将一个二次根式转化为最简形式，即化为一个 不含根号的有理数。 化简二次根式的方法主要有以下几种情况： 1. 提取因式法：对于√(a * b)，如果a和b中含有平方数因子，则可 以将其提取出来，使得根号内只剩下不含平方数的因子。例如，√(4x^2) = 2x，√(12) = 2√3。 2. 有理化分母法：对于二次根式的分母中含有根号的情况，可以通 过有理化分母的方法将其化简。具体的步骤是将原分母乘以一个适当 的因式，使得分母中的根号被消去。例如，将1/√2的分母有理化为 √2/2。 3. 合并同类项法：对于多个二次根式的加减运算，可以将具有相同 根号的项进行合并。例如，√2 + √2 = 2√2，√3 - √2 + √2 = √3。 通过以上化简方法，我们可以将复杂的二次根式化简为简洁的形式，便于后续的计算和运算。 三、二次根式的计算方法 在进行二次根式的计算时，我们主要涉及到加减乘除等运算。 1. 加减运算：对于相同根号的项，可以直接合并。例如，√2 + √3 = √2 + √3。 对于不同根号的项，无法进行直接计算，只能化为最简形式。例如，√2 + √3 = √(2 + 3) = √5。 高中数学二次根式化简与运算技巧 在高中数学中，二次根式是一个重要的概念，它涉及到根号下的含参量、根号的化简与运算等内容。掌握二次根式的化简与运算技巧，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高我们解题的效率。本文将围绕这一主题，通过具体的题目举例，分析考点，并给出解题技巧和指导，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握二次根式的化简与运算。 一、二次根式的化简技巧 化简二次根式是我们学习二次根式的基础，也是解题的前提。下面我们通过一道题目来说明一下化简二次根式的技巧。 例题1：化简 $\sqrt{8}$。 解析：我们可以将 $\sqrt{8}$ 分解为 $\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}$，再进一步化简为$2\sqrt{2}$。这里的关键是将被开方数分解为两个因数的乘积，其中一个因数是平方数。 对于更复杂的二次根式，我们可以利用因式分解的方法进行化简。例如： 例题2：化简 $\sqrt{50}$。 解析：我们可以将 $\sqrt{50}$ 分解为 $\sqrt{25} \cdot \sqrt{2}$，再进一步化简为 $5\sqrt{2}$。这里的关键是找到被开方数的因式，其中一个因式是平方数。二、二次根式的运算技巧 除了化简二次根式，我们还需要掌握二次根式的运算技巧，包括加减乘除。下面我们通过一些例题来说明这些技巧。 例题3：计算 $\sqrt{3} + \sqrt{5}$。 解析：这是一个二次根式的加法运算。由于$\sqrt{3}$ 和$\sqrt{5}$ 不能合并，所以我们直接将它们相加，即 $\sqrt{3} + \sqrt{5}$。 例题4：计算 $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})$。 解析：这是一个二次根式的乘法运算。我们可以利用公式 $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，将 $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ 化简为 $(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2$，即 $2 - 3 = -1$。 除了加法和乘法，我们还需要掌握二次根式的除法运算。下面我们来看一个例题。 例题5：计算 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$。 解析：这是一个二次根式的除法运算。我们可以将 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$ 化简为 $\sqrt{\frac{6}{2}}$，即 $\sqrt{3}$。 通过以上例题，我们可以看出，二次根式的运算技巧主要是利用化简和运算法则，例如因式分解、公式等。在运算过程中，我们要注意保留根号下的含参量，并注意约定根号的正负号。 三、举一反三 通过对二次根式的化简与运算技巧的学习，我们可以举一反三，将这些技巧应 用到更复杂的题目中。例如： 例题6：计算 $\sqrt{7 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2\sqrt{6}}$。 解析：我们可以将 $\sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$ 分解为 $\sqrt{(\sqrt{6} + 1)^2}$，再进 一步化简为 $\sqrt{6} + 1$。同理，$\sqrt{7 - 2\sqrt{6}}$ 化简为 $\sqrt{6} - 1$。最后，将两个结果相加，即 $(\sqrt{6} + 1) + (\sqrt{6} - 1) = 2\sqrt{6}$。 通过以上例题，我们可以看出，掌握二次根式的化简与运算技巧不仅可以帮助 我们解题，还可以提高我们的数学思维能力和逻辑推理能力。 二次根式乘除法 二次根式乘除法是数学中的一种常见运算方法，用于对含有二次根式的表达式进行乘法和除法运算。本文将围绕二次根式乘法和除法展开讨论，详细介绍其运算规则和应用场景。 一、二次根式乘法 二次根式乘法是指两个含有二次根式的表达式进行相乘的运算。在进行二次根式乘法时，我们需要注意以下几个规则： 规则1：二次根式相乘时，可以将根号内的数相乘，并将根号外的系数相乘。 例如，对于√a * √b，可以将根号内的数a和b相乘，得到√(a*b)；同时，将根号外的系数相乘，得到√a * √b = √(a*b)。规则2：二次根式相乘时，如果根号内的数相同，则可以合并为一个根号，并将根号外的系数相乘。 例如，对于√a * √a，可以将根号内的数a相乘，得到√(a^2) = a；同时，将根号外的系数相乘，得到√a * √a = a。 规则3：二次根式相乘时，如果根号内的数不同，则无法进行合并。例如，对于√a * √b，根号内的数a和b不同，无法进行合并，所以√a * √b无法进行简化。 通过以上规则，我们可以进行二次根式的乘法运算。举个例子，计算√2 * √3： 将根号内的数2和3相乘，得到√(2*3) = √6； 然后，将根号外的系数1和1相乘，得到√2 * √3 = 1 * 1 = 1；所以，√2 * √3 = 1 * √6 = √6。 二、二次根式除法 二次根式除法是指将一个含有二次根式的表达式除以另一个含有二次根式的表达式的运算。在进行二次根式除法时，我们需要注意以下几个规则： 规则1：二次根式除法可以转化为乘法，即将除法转化为分子与倒数的乘法。 例如，对于√a / √b，可以转化为√a * (1 / √b)。 规则2：二次根式的倒数等于二次根式中根号内的数的倒数乘以根号外的系数。 例如，对于1 / √a，其倒数为1 / √a = （1 / a）√a。 通过以上规则，我们可以进行二次根式的除法运算。举个例子，计算√6 / √2： 将除法转化为乘法，即√6 / √2 = √6 * (1 / √2)； 然后，根号内的数6除以2，得到√(6/2) = √3； 根号外的系数1除以根号内的数2，得到√6 / √2 = √3。 二次根式乘除法在数学中应用广泛，特别是在代数运算和解方程中 二次根式的化简与计算 二次根式在数学中扮演着重要的角色，它们常被用于解决各种数学 问题。在本文中，我们将讨论如何化简和计算二次根式。 一、二次根式的化简 化简二次根式的目的是将其写成最简形式，即约分到根号下的数不 能再存在平方因子。下面是几种常见的二次根式化简方法： 1. 取出公因数法 当二次根式的根号下部分含有多个因子时，我们可以尝试通过取出 公因数的方式进行化简。例如，对于√18，我们可以将其分解为√(9*2)，进一步化简为3√2。 2. 平方因式分解法 当二次根式的根号下部分可以进行平方因式分解时，我们可以利用 这个特性进行化简。例如，对于√75，我们可以将其分解为√(25*3)，进一步化简为5√3。 3. 有理化分母法 当二次根式的根号下部分含有分母时，我们可以通过有理化分母的 方式进行化简。具体来说，我们需要将根号下的分母用有理数表示， 并将分子乘以相应的因子，以消除根号下的分母。例如，对于(2/√3)， 我们可以用有理数的形式表示为(2*√3/3)，从而实现了化简。 二、二次根式的计算 计算二次根式主要指的是进行加减乘除等数学运算。下面是几种常 见的二次根式计算方法： 1. 加减运算 进行二次根式的加减运算时，我们需要首先化简每个二次根式，然 后按照相同根号下的内容进行合并，并化简结果。例如，计算√3 + 2√3，我们首先化简两个根号下的3，然后合并系数得到3√3。 2. 乘法运算 进行二次根式的乘法运算时，我们需要将每个二次根式展开，并按 照指数规则进行计算。具体来说，对于√a * √b，我们可以将其化简为 √(a*b)。例如，计算√2 * √3，我们可以化简为√6。 3. 除法运算 进行二次根式的除法运算时，我们需要利用有理化分母的方法，将 除数有理化，并利用分数的除法规则进行计算。例如，计算(2√3) / √2，我们可以有理化分母，化简为(2√3 * √2) / (√2 * √2)，进一步计算得到 (2√6) / 2，最终化简为√6。 综上所述，二次根式的化简与计算是解决数学问题中常见的基本技巧。通过掌握化简和计算的方法，我们能够更加灵活地应用二次根式 来解决各种数学难题。希望本文对您的学习有所帮助。 1 二次根式的乘除运算 姓 名 一 基本概念： 1．二次根式的乘法：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数 . 强调：乘法交换律在二次根式中同样适用。 公式：（1）(0,0)a b ab a b ∙=≥≥ （2）()a 0,b 0a b c abc ∙∙=≥≥ 例题1:如果 ()11x y x y ∙-=-， 那么x ,y 例题2：计算23∙=__ 255 ∙= 3225∙= 2．二次根式乘法公式的逆用： 例题1: 计算2002100=⨯= (210,102⨯) ， 45= ⨯ = 3．二次根式的除法：二次根式相除，把被开方数相除，根指数 . 公式：（1）(0,0)a a a b b b =≥>, （2）公式的逆用： a b = a b (0,0)a b ≥> （3）形式改变：m n ÷=m n ÷(m 0,n 0) 例题1.如果3 3 -=-x x x x ，则x 的取值范围为 . 例题2. 计算 7212 = ，34 = ， 21132 ÷= 。 二．二次根式的化简 1.化去分母中的根号：将分子分母同乘这个根式，利用乘法化去分母中的根号。 例题1.化去分母中的根号： 1133 3⨯==⨯ 6 3 322b a a = = 2.最简二次根式的判定：（1）被开方数不含____（2）被开方数的因数或因式的次数小于____. 例题1.下列式子哪些是最简二次根式： 6 x 22a b + 32ab 3 a 0.5ab 64 24x 2.利用二次根式乘除法公式化成最简二次根式：要点：分别开方。 三．二次根式乘除混合运算 例题1.化简： 12 2720 35 0.5a b 224836-· 二次根式乘除法的混合运算，先定符号，再乘除绝对值。系数乘除系数，根号乘除根号。 例题 321332()32 2 b ab a b a ⨯ ÷÷ ⨯- 初二数学下册：二次根式化简的4个方法 二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广： (4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 2．二次根式的加减运算需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. (3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数． 4.简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： 1因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：． 2因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论． 1 乘法公式法 例1计算： 分析：因为2=，所以中可以提取公因式。 解：原式= =×× =19 2 因式分解法 例2化简：。 分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。 解：原式= = =0. 3 整体代换法 例3化简。 分析：该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。不妨另辟蹊径，设=a，=b则 a+b=2，ab=1. 解：原式= = = = =4x+2 4 巧构常值代入法 例4已知，求的值。 《二次根式的乘除运算》知识点讲解及例题解析 【学习目标】 1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化. 【要点梳理】 要点一、二次根式的乘法 1.乘法法则： （a ≥0，b ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0， ≥0，….. ≥0）. (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如 . 要点二、二次根式的除法 1.除法法则： )a a a b a b b b ==÷或（a ≥0，b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数 相除. 要点诠释： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 要点三、分母有理化 1.分母有理化 把分母中的二次根式化去叫做分母有理化. 2.有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：a a a =来确定，如：a a 与a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式. ②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如a b +与a b ， a b a b 与， a x b y a x b y 与. 初三数学二次根式的概念、二次根式的乘除法 【本讲主要内容】 二次根式的概念、二次根式的乘除法 1. 二次根式的概念 2. 二次根式的性质 3. 二次根式的乘法 4. 二次根式的除法 【知识掌握】 【知识点精析】 一. 二次根式的概念： 1. 定义：式子a a ()≥0叫做二次根式． 注意：（1）根式定义中的a ≥0是定义的一个重要组成部分，不可省略；因为负数没有平方根，所以当a <0时，a 没有意义．如-2不是二次根式，()-22是二次根式，当a ≤0时， -a 是二次根式． （2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式． 2. 最简二次根式 （1）最简二次根式的定义： ①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． （2）化二次根式为最简二次根式的方法： ①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简． ②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来． “一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或质因式）的幂的积的形式． “二移”即把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上． “三化”即化去被开方数的分母． 二. 二次根式的性质： 1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 3. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩ ||() () 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．沪科版八年级数学下册说课材料：16.2.1 二次根式的乘除
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