平面电磁波

1 时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。

2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或wave equations 的解。

3 在某些特定条件下，Maxwell equations 或wave equations 可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。

4 最简单的电磁波是平面波。等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。

5 许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。

§ 6.1 波动方程

1 电场波动方程：ερμμε?+??=??-?t J t E E 222

磁场波动方程 J t H H ?-?=??-?2

με 2 如果媒质导电（意味着损耗），有E J

σ=代入上面，则波动方程变为

ερμεμσ?=??-??-?222t E t E E

0222=??-??-?t

t H H μεμσ

如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，则

μεωωμσ ?=+-?E E j E 22

=+-?H H j H μεωωμσ

采用复介电常数，ε

μωωε

μεωωμσμεω 22

2)1(=-=-j

j ，上面也可写成 3 在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。

0222=??-?t E

E με

0222=??-?t

H με

4在线性、均匀、各向同性、导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。

0222=??-??-?t

t E E μεμσ

0222=??-??-?t

H t H H μεμσ

如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，并采用复介电常数，

μωωε

μεωωμσμεω 222)1(=-=-j j ，上面也可写成 02

=+?E E εμω

=+?H H εμω

注意，介电常数是复数代表有损耗。

5 学习要求：推导，数学形式与物理意义的对应。

§ 6.2 均匀平面电磁波

1 波动方程的均匀平面波解

真实的物理世界不存在均匀平面波，它需要无限大的理想介质和无穷大的能量。但离场源很远的局部区域的电磁波可以看成均匀平面波。 2 由均匀平面波的定义，我们可以设电场只与同一坐标分量有关，如直角坐标系中的z 坐标。 3 下面我们首先用Maxwell 方程证明均匀平面波电磁场的纵向分量（平行于传播方向的电磁场分量，此时为z 分量）等于零；其次我们给出非零场分量wave 方程的一般解，由一般解说明波的本质；然后导出均匀平面波的传播特性。

4 把,0,0,0,0=??=??=??=??y

H x H y E x E 代入Maxwell 两个旋度方程，可得

0,0=??=??t

H t

E z

因此z z H E ,是不随时间变化的常量，相互没有耦合，既与时变电磁场无关，又不包含信息，在时变电磁场中，可令它们为零。故均匀平面波电磁场的纵向分量（平行于传播方向的电磁场分量，此时为z 分量）等于零。

5 现在电场矢量位于x －y 平面，不失一般性，可令x x E a E

=，这时电场波动方程可以简

化为

222=??-??t E z E x

x με 其一般解为

)()(21vt z f vt z f E x ++-=

式中με

v 为波速

6 波动的本质：

令 vt z c -=

场量仅仅与c 有关，c 的值决定场量的处于上面状态。因此c 的值称为相位，上述方程称为等相位面方程。从等相位面方程看，空间坐标的变化与时间坐标的变化可以相互补偿以保持相位或者说场量的恒定，这就是波动的本质。 7电磁波传播方向的判定：

利用等相位面方程判定。如果等相位面方程是vt z c -=，时间t 增加，欲保持相位不变，z 必须增加，因此等相位面是向z 增加方向移动，也就是电磁波传播方向是z +方向。 8 均匀平面波为横电磁波（TEM ）

由5可知，电磁波传播方向为z +和z -方向。电场没有传播方向的分量。电磁波的传播方向通常称为纵向，如果电场和磁场没有传播方向的分量，则该电磁波称为TEM 波（横电磁波）。

9 磁场、磁场与电场的关系、波阻抗：由Maxwell 磁场旋度方程可得

)]()([21vt z f v vt z f v t

E z

H x

y +'+-'--=??-=???εε

两边积分可得

()()])([1

])([2121vt z f vt z f Z

vt z f vt z f v H y +--=

+--=ε 式中ε

εμεε=

=-1

)

(v Z 为波阻抗。它仅仅与媒质的参数有关，也称为媒质的本征阻抗。在真空中)(3771200

Ω≈==

πεμZ 。 10 均匀平面波中电场、磁场及电磁波传播方向三者之间的关系：

前面的式中包含着两个方向传播的电磁波，如果只考虑向一个方向，比如z +方向传播的电磁波，则有

)

(11vt z f Z

a H a H vt z f a E a E y y y x x x -==-==

因此在真空中的均匀平面波，其电场方向、磁场方向及电磁波传播方向三者之间相互正交，满足右手螺旋关系；电场与磁场相位相等；电场与磁场的幅度之比等于波阻抗。 11 电磁能量：

m e H ZH E ωμεεω==

==2222

)(2121 故电场能量密度与磁场能量密度相等。（如果不相等会怎样？）

空间任一点电磁波的瞬时能量密度等于电场能量密度与磁场能量密度之和。 12 坡印亭矢量与电磁能量的传播：

v v a E a E a Z E a H a E a H E S z x z x z x z y y x x

ωωμε

εε

μ=====?=?=222)()(

故均匀平面波电磁波能量沿传播方向以波速传播。

§ 6.3正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播

1无限大均匀媒质中的正弦均匀平面波除了具有前面均匀平面波的全部特性之外，还有一些特点：1）正弦意味着时谐电磁波，此时的波形函数1f 或2f 变为正弦类函数，有正弦函数就会出现频率变量ω，也可以引入场量的复数表示式；2）媒质既可以无耗，也可以有耗。这样就更接近实际世界。一在理想介质： 2 波动方程及其解

场量用复数表示，无源区复数形式的波动方程为

022

=+?E k E

与§ 6.2同样的假定和推理，有x x E a E

=和

022

2=+??x x

E k z

E 式中μεω22=k ，k 为传播常数，简称为波数。上面方程的解为

e j jkz x jkz x x e E e E E φ+--==0

0 其瞬时值为

)cos(),(0e x x kz t E a t z E φω+-=

（注：教科书(6.3.4a)式笔误，应与前面复数表示式规定一致）

同样利用Maxwell 磁场旋度方程可得y

y H a H

= )cos()cos(),(00e x y e y y kz t Z

a kz t H a t z H φωφω+-=+-=

3 等相位面方程、波的相速及波长。

等相位面方程是：c kz t =-ω，在时谐电磁波条件下k ,ω为恒定量，由此可得

0=-kdz dt ω。相速p v 为 με

με

ωωω1

====

k dt dz v p

与§ 6.2中的结论一致。但这里的方法更具有一般性。波长：在传播方向上相位差为π2的两点之间的距离 k

λ2= 4 复数坡印亭矢量

E a H E S x z 202121 =?=*

二在导电媒质中 5 波动方程及其解

场量用复数表示，无源区复数形式的波动方程为

022=+?E k E

式中)(2

σεμωεμωj k

-== 。因此只要把前面的实数k 改为复数k

，解的形式不变。 6 传播常数、波阻抗：

αβω

σεμωj j k

-=-=)( 传播常数为复数意味着沿传播方向电磁波有衰减。这时称为β相位常数，α为衰减常数。

φω

σεμ

εμj e Z j Z

=-==)(

波阻抗的相角)4

0(π

φφ<<表示磁场滞后于电场。波阻抗为复数表示电场与磁场在时间上

不同步。

x x E a E

=和y y H a H =，电场、磁场的复数表示式为

e e j z j z x j z k j x z k j x x e e E e E e E E φβαφ+--+--===0

00 e e e j z j z x j z j z y j z k j y z k j y y e e Z

E e e H e H e H H φβαφβαφ+--+--+--==== 0000 电场、磁场的瞬时值为

)cos(),(0e z x x z t e E a t z E φβωα+-=-

)cos()cos(),(00e z x y e z y y z t e Z

a z t e H a t z H φβωφβωαα+-=+-=--

7 坡印亭矢量

x z e Z

E a H E S α2202121-*=?=

由此可见在导电媒质中电磁波功率流密度按指数规律衰减。

8 不良导体与良导体：

导电媒质中不良导体与良导体的划分不仅与媒质的电导率有关，而且与其中传播的电磁波的频率有关。

9不良导体，传导电流大大小于位移电流，ωεσ<<，也称为弱损耗媒质。

波阻抗 ε

μωε

εμ≈

-=)1(j

传播常数 αβωε

μεωωεσμεωj j j

-=-≈-=)211()1( （注意：相位比幅度敏感，故传播常数近似的精度比阻抗近似精度高一阶）这样有

μεωβ≈ Z σεμσ

α2

1=≈ 这是用纯数学方法导出的衰减常数近似式。

10我们也可以用物理方法导出弱损耗媒质电磁波的衰减常数的近似式（参考教科书163页）。这种物理方法更具有普遍性，是计算弱损耗媒质电磁波的衰减常数的代表性方法。 11 良导体，传导电流大大大于位移电流，ωεσ>>。

波阻抗 jX R j e j

j Z j +=+==-≈-=σωμσωμσωμω

σμ

ωεσεμπ

22)1(4

良导体阻抗呈感性。

传播常数

αβωμσωμσωμσωεσμεωωεσμεωπ

j j e j j k j -=-==-≈-=-2

2)()1(4

ωμσ

αβ=

12 趋肤效应和趋肤深度

在良导体中，由于传导电流存在，电磁波的能量转换为热能。也就是电磁波有传播损耗。电磁波由良导体衰减常数2

ωμσ

α=

可知，电磁波频率越高，电磁波在良导体中的衰减常数

就越大，这样高频电磁波只能存在于导体表面附近的一个薄层内，高频电流（E J

σ=）也

主要分布在这个薄层。这就是趋肤效应，频率越高，电导率越大，趋肤效应越明显。趋肤深度δ定义为电磁波场强衰减到表面场强值

时电磁波所穿透的距离。即有 E e

Ee 1=

-αδ 故1=αδ即 ωμσ

δ2

13 表面电阻：

电磁波在良导体中损耗能量的功率就等于电磁波进入良导体表面的功率。设电磁波垂直进入良导体表面，则进入良导体表面的平均功率流密度，即良导体表面单位面积所吸收的功率为

R H Z H H E S av 20200002

1)4cos(21)4cos(21===

ππ 电磁波进入良导体后，在良导体中就有电流z

j z x x x e E a J a E J βασσ--===0 存在（参考教科书164页图6.3.3），电磁波在良导体中损耗能量的功率可以看成x 方向的电流密度在y 方

向单位长度的电流x

I 流过一个等效电阻s R 所消耗的功率。（这个等效电阻s R 在y 方向上的宽度为1，在x 方向上的长度为1，在z 方向上的深度无穷大，注意，这是个等效高频电阻，电导率σ不能直接用于计算s R ）。

s x R I R H 2

202

121= ??∞--∞+=

==0000β

ασσβαj E dz e E dz J I z j z x x 因为良导体有2

ωμσ

αβ==

可得0H I x = 这样δσ

ωμσσσωμ1

212=

=R R s 于是等效电阻s R 可以看成在y 方向上的宽度为1，在x 方向上的长度为1，在z 方向上的深度为δ，电导率为σ的一个电阻（参考教科书164页图6.3.4）。从上式可知高频电阻要大于

低频电阻。

14 与趋肤效应有关的例子1）雷达（Radar ）与声纳；2）潜艇水下通信；3）腔体镀金、银，镀层厚度。4）高频电阻于低频电阻的不同。

§ 6.4电磁波的极化

1 电磁波极化的概念非常重要：1）使用边界条件需要；2）应用中需要。

2 电磁波极化的定义：空间任意一个固定点上电磁波电场强度矢量的空间指向随时间变化的方式。

3 极化的由来：均匀平面波由于没有纵向（z 向）场分量，只有两个横向场分量。这两个横向场分量有各自的相位，合成后总的场量的方向就取决于它们之间的相位差。

x a E =

根据极化方式的不同可大致分为三类 4线极化波：x E 与y E 同相或反相

)cos()cos(kz t E a kz t E a E yom y xom x -±-=ωω

在空间任取一点，比如0=z 观察合成矢量E

，其幅度

t E E E yom xom ωcos 2

2+=

其相位

xom

yom E E ±=arctan

不随时间变化而指向一个固定方向。这就是线极化波，电场强度E

的方向就是极化方向，

极化方向与传播方向一起构成极化面。 5 圆极化波：x E 与y E 等幅，相位相差

π t E a t E a E om y om x ωωsin cos

±=

合成矢量E

，其幅度

om E E =

其相位

t t

E t

E om om ωωωα±=±=cos sin arctan

因此合成矢量E

的幅度不变，但其指向则以角频率在与传播方向垂直的平面里旋转。这就

是圆极化波。

6 左旋与右旋、判断方法：

圆极化波有不同的旋转方向。我们规定如电场强度矢量E

与电磁波传播方向符合右手螺旋

关系，则其称为右旋极化波，反之称为左旋极化波。

如果电磁波的传播方向是z 向，若电场x E 分量的相位超前y E ，则为右旋极化波；反之为左旋极化波。

7 椭圆极化波、长轴与短轴、轴比：一般情形

t E a t E a E a E a E ym y xm x y y x x ωφωcos )cos(

++=+=

消去t ω可得

φφ22

sin cos 2=???

??+-???

??ym y ym xm y x xm x E E E E E E E E 这是个椭圆的方程，故为椭圆极化波。ym xm E E ,分别为椭圆的两个轴长，其中长着称为长

轴，短者称为短轴，长短轴之比称为轴比。

椭圆极化波也有左旋、右旋之分，其旋向的规定和判断方法与圆极化波一样。

8 总之，从极化的角度，1）平面电磁波可以分为椭圆、圆极化波、线极化波几类；2）任意平面波可以分解为两个极化方向垂直的线极化波。3）各类极化波也可以也可以互相表示。椭圆、圆极化波可以分解为两个极化方向垂直的线极化波，同时线极化波也可以分解为两个幅度相等、旋向相反的圆极化波。

9 极化的应用：目标的极化信息、极化隔离、极化复用，极化分集

§ 6.6 正弦平面电磁波在不同媒质界面上反射、折射的一般规律（方向关系）

1前面讨论了均匀平面波在无穷大媒质的传播特性。现在我们开始讨论均匀平面波遇到障碍物时的传播特性。首先讨论最简单的情形，即正弦平面电磁波在不同媒质界面上反射、折射的一般规律。由于任意平面波可以分解为两个极化方向垂直的线极化波，因此在讨论平面波的反射折射时，只要考虑线极化波即可。 2 沿任意方向传播的正弦平面波的表示式：

令ψ

表示电场或磁场的任一分量的复数形式，则它满足复数形式的波动方程 022=+?ψψ

k 在直角坐标系中为

0222222

2=+??+??+??ψψψψ

k z

y x 用分离变量法，令)()()(),,(z Z y Y x X z y x =ψ

代入上式，可得 0222=+X k dx

X d x 0222=+Y k dy

Y d y 0222=+Z k dz

Z d z 2222k k k k z y x =++

上面方程的解为z jk y

jk x

jk zx y x e e

±±±,,，不失一般性，取其中一组，可得

k j z k y k x k j z

jk y

jk x jk e e e

e e z y x z y x z y x

?-++----===0)

(0)0,0,0(),,(ψψ

ψψ

式中0ψ为ψ在原点处的值，位置矢量z a y a x a r z y x

++=表示场点的位置，

0k k k a k a k a k z z y y x x

=++=为波矢量或传播矢量，其方向单位矢量0k 表示平面波的传播

方向，其幅度即波数k 。

上式即任意方向0k

传播的正弦平面波的表示式。其瞬时表示式为

)

cos()Re()Re()Re(),,,(00)

(000φωψψψψ

ψφωωω+?-====+?-+?-r k t e

e e t z y x r k t j t

j r k j t

等相位面方程：C r k t =?-

由等相位面方程可知等相位面是平面，它的方向就是波矢量的方向，即平面波的传播方向。 3 正弦平面波在不同媒质分界平面上反射、折射的一般规律： 1）这个一般规律来源于电磁场边界条件，是边界条件在正弦平面波情况下的具体表现形式。 2）设分界面为0=z 平面，电磁波从0z 媒质2的一面入射。可写出

入射波表示式是：)0()(0≤=++-z e E E z k y k x k j i i iz iy ix 反射波表示式是：)0()

(0≤=++-z e E E z k y k x k j r r rz ry rx 折射波表示式是：)0()

(0≥=++-z e E E z k y k x k j t t tz

ty tx

有111εμω

===k k k r i 和222εμω==k k t

在媒质1（0

+=1 在媒质2（0>z ）中，总电场为t E E

根据电场边界条件，在分界面0=z 两边，电场的切向分量应该连续，即

tt t rt it t E E E E E

==+=21，故

)(0)(0)(0y k x k j t

t y k x k j t r y k x k j t i ty tx ry rx iy ix e E e E e E +-+-+-=+ 欲上式在分界面上对任意一点坐标（x ，y ，0）都成立，式中指数项必须相等，即

y k x k y k x k y k x k ty tx ry rx iy ix +=+=+

欲上式对任意的y x ,都成立，必须

tx rx ix k k k ==

ty ry iy k k k ==

上面两式说明：入射波、反射波和折射波的波矢量t r i k k k

,,在分界面0=z 上的分量相等、

投影相等（重合），即它们在同一个平面上，这个平面与分界面垂直，称为入射面（也就是

反射面或折射面）。设波矢量t r i k k k ,,与分界面法线的夹角分别为t r i θθθ,,，并称之为入射

角、反射角、折射角。

不失一般性，令入射面与0=y 面重合，这样0===ty ry iy k k k ，

t t tx r r r rx i i i ix k k k k k k k k k θθθθθθsin sin sin sin sin sin 211====== 因为tx rx ix k k k ==，故有

r i θθ=

和t i k k θθsin sin 21=，即t i θεμωθεμω

sin sin 2211=

上式就是熟悉的折射定律，与光学中的折射定律一样。

4正弦平面电磁波在不同媒质界面上反射、折射的一般规律总结：1）入射波、反射波、折射波三个波矢量与分界面法线共四线共面；2）反射定律；3）折射定律。问题：1）如果入射波与折射波的频率不一样会发生什么现象。2）有耗媒质会发生什么现象。 5实际应用：高频近似，几何光学。

§ 6.7 正弦平面电磁波在不同媒质界面上的斜入射（幅值关系）

1 前面正弦平面电磁波在不同媒质界面上反射、折射的一般规律只给出三种波之间的方向关系，本节将给出这三者幅值之间的关系，进而写出三者的具体表示式，为此需要使用边界条件。为了运用边界条件，必须分解出电场的切向分量或磁场的切向分量。因此我们把一般的

平面波分解为两个线极化波//i i i E E E +=⊥。一个是垂直极化波⊥i E

，电场矢量垂直于入射面；另一个是水平极化波//i E

，电场矢量平行于入射面。然后我们分别讨论两者反射、折射

问题，再叠加出总的结果。

2 垂直极化波：步骤1）根据上节平面电磁波在不同媒质界面上反射、折射的一般规律，以及平面波电场与磁场方向、幅度之间的关系，我们可以画出入射波、反射波、折射波三个波矢量方向，以及电场、磁场方向与分界面的几何关系图（参考教科书180页图6.7.2）。步骤2）写出媒质1和媒质2中总的电磁场表示式：

在媒质1，总电磁场为入射波与反射波的叠加（注意波矢量的分解和场矢量的分解）

)

cos sin (0)cos sin (0001)cos sin (0)cos sin (0001111111111111111111θθθθθθθθz k x k j r z k x k j i r k j r r k j i r i z k x k j r z k x k j i r k j r r k j i r i e H e H e H e H H H H e E e E e E e E E E E r r --+-?-?---+-?-?-+=+=+=+=+=+= 1

1111sin sin cos cos θθθθr i z r

i x H H H H H H +=+-=

在媒质2，总电磁场即为折射波场

)

cos sin (002)

cos sin (0022222222222θθθθz k x k j t r k j t t z k x k j t r k j t t e

H e H H H e E e E E E +-?-+-?-====== 2

222

22sin cos θθH H H H z x =-=

步骤3）写出分界面上电磁场的切向分量，并应用边界条件，导出反射波、折射波与入射波

幅度之间的关系：

在分界面0=z 上，由边界条件，电场、磁场的切向分量应该相等，x x t t H H E E 2121, ==即 221111sin 0sin 0sin 0θθθx jk t x jk r x jk i e E e E e E ---=+

由反射、折射定律，上式可写成

000t r i E E E =+

同理并考虑磁场与电场幅值之间的关系（波阻抗）可得

202

101101cos 1cos 1cos 1θθθt r i E Z E Z E Z -=+- 由上面两式联立解得

1121

1021121200

0211221121000

1121

200

211221120cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos cos cos cos cos 2cos cos cos cos i i t t i r r i t i r H Z Z Z E Z Z Z E H H Z Z Z Z Z E H E Z Z Z E E Z Z Z Z E θθθθθθθθθθθθθθθθθ+=+==+-==+=+-=

定义反射系数：

1221

222

11221120

0cos cos cos cos cos cos cos cos θθθθθθθθZ Z Z Z Z Z Z Z E E R i r +

+-==⊥ 步骤4）用反射系数重新写出媒质1、媒质2中的电磁场表示式

在媒质1

11111111111111sin cos cos 0)cos sin (0)cos sin (01)(θθθθθθθx jk z jk z jk i y z k x k j i z k x k j i e e R e E a e E R e E E -+⊥

---⊥+-+=+= 111111111111sin cos cos 10111sin cos cos 10111)(sin sin sin )(cos cos cos θθθθθθθθθθθθx jk z jk z jk i r i z x jk z jk z jk i r i x e

e R e H H H H e e R e H H H H -+⊥--+⊥

-+=+=--=+-=

在媒质2

)cos sin (022222θθz k x k j t e E E +-=

)cos sin (202)cos sin (2

022*******sin cos θθθθθθz k x k j t z z k x k j t x e

H H e H H +-+-=-=

注意：推导时要注意区分两类矢量方向：场矢量H E ,方向与波矢量k 方向