初中数学专题-探索规律练习及答案

初中数学专题-探索规律

题型一：递增关系（等差、等比）

例1：在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形

ABCD 中，四个顶点坐标分别是（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形A n B n C n D

n 的四个顶点坐标分别为（－2n ,0），（0, n ），（2n ，0），（0，－n ）（n 为正整数），则菱形

A n

B n

C n

D n 能覆盖的单位格点正方形的个数为 （用含有n 的式子表示）. 48 n n 442

-

例2：一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第

n 个整数为____ （n 为正整数）.

例3：一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：

第1行 1 第2行 3 5 第3行 7 9 11 13

…

…

则第4行中的最后一个数是 ，第n 行中共有 个数， 第n 行的第n 个数是 ．29；12

-n ；322-+n n

．

例4：小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：

挪动珠子数（颗） 2 3 4 5 6 … 所得分数（分）

5

11

19

29

41

…

按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为 颗; 当挪动n 颗 珠子时（n 为大于1的整数）, 所得分数为 （用含n 的代数式表示）. 8; 21n n +- 例5：观察下列等式： 1=1，

2+3+4=9， 3+4+5+6+7=25， 4+5+6+7+8+9+10=49，

……

照此规律，第5个等式为 ．

x

y

8

-8 -4 4 O

A

B

C

D

题型二：比例线段、相似

例1：如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△211B D C 的面积为1S ，

△322B D C 的面积为2S ，…，△1n n n B D C +的面积为n S ，则2S =_____；n S =_________（用含n 的式子表示）．

233,

n

例2：如图，P 为△ABC 的边BC 上的任意一点，设BC=a ，

当B 1、C 1分别为AB 、AC 的中点时，B 1C 1=

a 21

， 当B 2、C 2分别为BB 1、CC 1的中点时，B 2C 2=a 43

，

当B 3、C 3分别为BB 2、CC 2的中点时，B 3C 3=a 87

，

当B 4、C 4分别为BB 3、CC 3的中点时，B 4C 4=a 16

15

，

当B 5、C 5分别为BB 4、CC 4的中点时，B 5C 5=______， ……

当B n 、C n 分别为BB n-1、CC n-1的中点时，则B n C n = ；

设△ABC 中BC 边上的高为h ，则△PB n C n 的面积为______(用含a 、h 的式子表示)

a 32

31

, a n

n 212-, ah n n 12212+- 例3：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =a ，CD =b ，E 为边AD 上的任意一点，EF ∥AB ，且EF 交BC 于点F ．若E 为边AD 上的中点，则EF = （用含有a ，b 的式子表示）；若E 为边AD 上距点A 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则EF = （用含有n ，a ，b 的式子表示）．

2a b

+ (1)b n a

n +-

1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，

C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2

的值是__________；如图3, 点12......、、

、n B B B ，

12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的

C 4

B 4

C 3C 2C 1

B 3B 2B 1B

C

A

P

(第12题图)

图3

图2

图1

B 1

C C 2B 2

B n -1

C n-1Bn A B 2C 2A B

C

B 1

C 1C 1

B 1

C

B

A （n+1）等分点，则线段

B 1

C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.

1,2a a ,12

na

例5：如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点， （1）若CE =

12CB ，CF =1

2CD ，则图中阴影部分的面积是 ； （2）若CE =1n CB ，CF =1

n CD ，则图中阴影部分的面积是 （用含n

n 是正整数）．

32，1

+n n 例6：如图，点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ―1在射线OB 上，

且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n ―1B n ―1，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3∥…∥A n B n ―1，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n ―1A n B n ―1为阴影三角形，若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则△A 1A 2B 1的面积

为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．1

2

；6

题型三：图形的边角关系

例1： 如图，正方形OA 1B 1C 1的边长为2，以O 为圆心、OA 1为半径作弧A 1C 1交

OB 1于点B 2，设弧A 1C 1与边A 1B 1、B 1C 1围成的阴影部分面积为1S ；然后以OB 2为对角线作正方形OA 2B 2C 2，又以O 为圆心、OA 2为半径作弧A 2C 2交OB 2于点B 3，设弧A 2C 2与边A 2B 2、B 2C 2围成的阴影部分面积为2S ；…，按此规律继续作下去，设弧n n A C 与边n n A B 、n n B C 围成的阴影部分面积为n S ．则=1S ，

=n S . 4π-，31

22

n n π

---

.

例2：如图1，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111D C B A ，

B

O 1 2

3 4 5

B 1 B 2 B 3

B 4

4

1

A

正方形1111D C B A 的面积为 ；再把正方形1111D C B A 的各边延长一倍得到正方形2222D C B A （如图2），如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为 ．（用含有n 的式子表示，n 为正整数）5，5

题型四：数学归纳法

例1：如图，在ABC ?中，α=∠A ，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，则1A ∠= ．BC A 1∠的平分线与CD A 1∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，BC A 2009∠的平分线与CD A 2009∠的平分线交于点2010A ，得2010A ∠，则2010A ∠= ．2

α, 20102α

例2：规定：用{}m 表示大于m 的最小整数，例如{2

5

}=3，{5}=6，{－1.3}=－1等；用[]m 表示不大于m 的最大整数，例如[

2

7

]=3，[4]=4，[－1.5]= －2，如果整数．．x 满足关系式:{}[]1232=+x x ，则=x __________. 2

例3：如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD 交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．2

1

23

32

n n --

…

B 1

O 1

O 2

O 1

D 1

D 2

D 1

O 2

O 3

O B A

D B A

D

第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠

例4：对于每个正整数n ，抛物线2211(1)

(1)

n n n n n y x x +++=-

+

与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示

这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）； 112220112011A B A B A B +++L 的值为 ．

()2012

2011

,11+n n 例5：如图平面内有公共端点的五条射线,,,,,OE OD OC OB OA 从射线OA 开始，在射线上写出数 字1,2,3,4,5； 6,7,8,9,10；…．按此规律，则“12”在射线 上；“2011”在射线 上． OC ；OB

例6：某种数字化的信息传输中，先将信息转化为由数字0和1组成的数字串，并对数字串进行加 密后再传输.现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0都变成01. 我 们用0A 表示没有经过加密的数字串.这样对0A 进行一次加密就得到一个新的数字串1A ，对1A 再进行 一次加密又得到一个新的数字串2A ，依此类推，…. 例如0A :10，则1A :1001. 若已知2A :100101101001，0A : ；若数字串0A 共有4个数字，则数字串2A 中相邻两个数字相等的数对

至少．．

有 对.101，4

例7：在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A 出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D ，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B ，第三次顺时针方向跳3

步到达顶点C ，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C ，… ，以此类推，跳动第10次到

达的顶点是 ，跳动第2012次到达的顶点是 ． B ；C

例8：在平面直角坐标系xOy 中, 正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2B 1、 A 3B 3C 3B 2, …,按右图所示的方式放置. 点A 1、A 2、A 3, …和 B 1、B 2、

… 分别在直线y =kx +b 和x 轴上. 已知C 1(1, -1),C 2(23,27-), 则点A 3

的坐标是 ;点A n 的坐标是 .()11

299(,);5()4,()4422

n n --?-

例9：如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以

从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连

续跳（2-3n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=?步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=?步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的

A D

C B

数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ．10；6． 例10：符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：2(1)11f =+

，2(2)12

f =+，2(3)13f =+，2

(4)14

f =+，…，利用以上运算的规律写出()f n = (n 为

正整数) ；(1)(2)(3)(100)f f f f ???=g g g g ．2

1n

+；5151

题型五：解析式及坐标

例1：在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你

观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个．80

例2：如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (－3，0)，B (0，1)，形状相同的抛物线C n (n ＝1，2，3，4，…)的顶点在直线AB 上，其对称轴与x 轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，12，…，根据上述规律，抛物线C 2的顶点坐标为________；抛物线C 8的顶点坐标为________．

(3，2) ??

? ??358,

55 例3：如图，直线x y 3

3

=

，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）；点n A （ ， ）．

9

3

8，0/ 例4：如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1是以O 为圆心，2为半径的

圆与过点（0，1）且平行于x 轴的直线l 1的一个交点；A 2是以原点O 为 圆心，3为半径的圆与过点（0，－2）且平行于x 轴的直线l 2 A 3是以原点O 为圆心，4为半径的圆与过点（0，3）且平行于x 轴的直线

l 3的一个交点；A 4是以原点O 为圆心，5为半径的圆与过点（0，－4）且平行于x 轴的直线

l 4的一个交点；……，且点1A 、2A 、3A 、4A 、…都在y 轴右侧，按照这样的规律进行下

去，点A 6的坐标为 ，点A n 的坐标为 (用含n 的式子表示，n 是正整数)．（13，6-），

1

-1

-15

4321

A

4

A

2

A 1A 3

O x y

l 2

l 4

l 1

l 3

（12+n ，n n ?-+1

)1(）