正切函数图象
正切函数
1.正切函数的图像
(1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x
cos sin --=tanx
(其中x ≠k π+2π
,k ∈Z)推出正切函数的周期为π.
(2)根据tanx=x x
cos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0,
从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π
,k ∈Z}
(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π
).利用单位圆中的正切线，通
过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π
(k
∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.
y=tanx
2.余切函数的图像如下：
y=cotx
3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx
余切函数y=cotx
注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)内是增函数，但不能说成在整个
定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.
【重点难点解析】
本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切
线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π
(k
∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.
1.正切函数应注意以下几点：
(1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π
,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2)
正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π
)(k ∈Z)上是连续的；(3)
在每一个区间(k π-2π,k π+2π
)(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.
2.解正切不等式一般有以下两种方法：
图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.
例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间.
分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像.
解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π
］
-tanx,x ∈(k π-2π
,k π)(k ∈Z)
所以其图像如图所示，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π
,k
π］(k ∈Z).
说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx ｜的最小正周期为π.一般地，y=A ｜
tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为
ω
π.
例2 求函数y=lg(tanx-3)+3cos 2+x 的定义域. 解：欲使函数有意义，必须
tanx ＞3, 2cosx+3≥0,
x ≠k π+2π
(k ∈Z)
由此不等式组作图
∴函数的定义域为(k π+3π,k π+2π
).
评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.
例3 求函数y=tan(2x-3π
)的单调区间.
解：y=tanx,x ∈(-2π+k π, 2π
+k π)(k ∈Z)是增函数.
∴-2π+k π＜2x-3π＜2π
+k π,k ∈Z.
即-12π+2πk ＜x ＜125π+2π
k ，k ∈Z
函数y=tan(2x-3π)的单调递增区间是(-12π+2πk ,125π+ 2π
k ).(k ∈Z)
例4 求函数f(x)=tan(2x+3π
)的周期.
解：因为tan(2x+3π+π)=tan(2x+3π
)
即tan ［2(x+2π)+3π］=tan(2x+3π
)
∴tan(2x+3π)的周期是2π
.
例5 求函数y=3tan(2x+3π
)的对称中心的坐标.
分析：y=tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2π
k ,0)(k ∈Z).函数y=Atan(ω
x+φ)的图像可由y=tanx 经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x 轴交点.
解：由2x+3π= 2π
k ,(k ∈Z)得 x=4πk -6π
(k ∈Z)
∴对称中心坐标为(4πk -6π
,0)(k ∈Z)
注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究.
【难题巧解点拔】
例 判断函数f(x)=tan(x-4π)+tan(x+4π
)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.
分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x 有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.
解：此函数的定义域为{x ｜x ∈R 且x ≠k π+4π
,k ∈Z}它是关于原点对称.
又f(-x) =tan(-x+4π)+tan(-x-4π
)
=-tan(x-4π)-tan(x+4π
)=-f(x)
故此函数是奇函数.
y=tan(x-4)+tan(x+4)
=tan ［(x-4π)+(x+4π)］［1-tan(x-4π)tan(x+4π
)］
=tan2x ［1+cot(x+4π)tan(x+4π
)］=2tan2x
∵sin(2π
-a)=cosa
cos(2π
-a)=sina
∴tan(2π
-a)=cota
cot(2π
-a)=tana
故tan ［2π-(x+4π)］=cot(x+4π
)
即-tan(x-4π)=cot(x+4π
)
周期为2π
当k π-2π＜2x ＜k π+2π 2πk -4x ＜x ＜2πk +4π
(k ∈Z)
即x ∈(2πk -4π,2πk + 4π
)时，原函数是增函数.
评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.
y=Atan(ωx+φ)(A ≠0)的周期为T=
ωπ.
例2 已知
)]6cos(9211lg[
π+-x ≤1,求函数y=cot 2x-2cotx+5的值域.
分析：从已知条件的不等式中解出cotx 的范围，然后在此条件下求被求函数的值域.
解：由已知条件，可得0≤lg ［211-9cos(x+6π
)］≤1.
得-21≤cos(x+6π)≤21
∴k π+3π≤x+6π≤k π+32π
,k ∈Z.
∴k π+6≤x ≤k π+2,k ∈Z.
∴0≤cotx ≤3 y=cot 2x-2cotx+5=(cotx-1)2
+4
∴当x=k π+4π
,k ∈Z 时，y 取最小值4.
当x=k π+2π
,k ∈Z 时，y 取最大值5.
从而函数y=cot 2
x-2cotx+5的值域是［4,5］.
【典型热点考题】
例1 满足tan α≥cot α的角的一个取值区间是( )
A.(0，4π)
B.［0，4π］
C.［4π，2π］
D.(4π，2π)
分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内.
解：由选择项，可以考虑α∈(0，2π
)的性况.
∵tan α≥tan(2π-α),且α, 2π-α∈(0, 2π
)
∴α≥2π-α,∴4π≤α＜2π.
故选C.
例2 函数y=x x
2tan 12tan 12
2+-的最小正周期是( )
A. 4π
B. 2π
C.π
D.2π
解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B 正确. ∴应选B.
解法2：y=x x
2tan 12tan 12
2+-=cos4x
∴T=42π=2π
∴应选B.
例3 函数y=x
2
1log 2++x tan 的定义域是 .
解：x 应满足
2+log 2
1x ≥0 ①
x ＞0 ② tanx ≥0 ③
x ≠k π+2π
,k ∈Z ④
由①②得0＜x ≤4 ⑤
由③④并注意到⑤得 0＜x ≤4
0≤x ＜2π或π≤x ＜23π
∴0＜x ＜2π
或π≤x ≤4.
∴应填(0，2π
)∪[π，4]
例4 如果α、β∈(2π
,π),且tan α＜cot β,那么必有( )
A.α＜β
B.β＜α
C.α+β＜23π
D.α+β＞23π
解：∵tan α＜cot β＜0，∴tan αtan β＞1.
有tan(α+β)=βαβ
αtan tan 1tan tan -+＞0
有α+β∈(π，23π)∴α+β＜23π
.
∴应选C.
说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取α=β=32π
,可排除A 、
B 、D.
【同步达纲练习】 一、选择题
1.下列不等关系中，正确的是( )
A.cot3＞cot4＞cot5
B.cot4＞cot3＞cot5 B.cot4＞cot5＞cot3 D.cot5＞cot4＞cot3
2.下列不等式中，正确的是( )
A.tan 74π＞tan 73
π
B.tan(-413π)＞tan(-512
π)
C.cot4＜cot3
D.cot281°＜cot665°
3.观察正切曲线，满足条件｜tanx ｜≤1的x 的取值范围是(其中k ∈Z) ( )
A.(2k π-4π,2k π+4π
)
B.(k π,k π+4π
)
C.(k π-4π,k π+4π
)
D.(k π+4π,k π+43π
)
4.函数y=tanx-cotx 的奇偶性是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数，也是偶函数
D.非奇非偶函数
5.如果4π＜θ＜2π
，则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是( )
A.sin θ＜cos θ＜tan θ
B.cos θ＜sin θ＜tan θ
C.tan θ＜sin θ＜cos θ
D.cos θ＜tan θ＜sin θ
6.y=tanx+cotx 的最小正周期是( ) A.π
B. 2π
C. 4π
D.以上均不正确
7.将函数y=tan2x 的图像向右平移4π
个单位后得到的图像的解析式为( )
A.y=tan(2x+4π)
B.y=tan(2x-4π
)
C.y=cot2x
D.y=-cot2x
8.若tan(2x-3π
)≤1,则x 的取值范围是( )
A. 2πk -12π≤x ≤2πk +247π
(k ∈Z)
B. 2πk -12π＜x ≤2πk +247π
(k ∈Z)
C.k π-12π≤x ＜k π+247π
(k ∈Z)
D.k π-12π＜x ＜k π+247π
(k ∈Z)
9.函数f(x)=
x
x cot cot 1
+的定义域为( ) A.(k π,k π+2π
),k ∈Z B.(k π-2π
,k π),k ∈Z
C.(k π,k π+π),k ∈Z
D.以上均不正确
10.下列命题中正确的是( ) A.y=tanx 在第一象限单调递增. B.在y=cotx 中，x 越大，y 反而越小 C.当x ＞0时，tanx ＞0. D.以上均不正确.
11.函数y=tan(21x-3π
)在一个周期内的图像是( )
12.函数f(x)=x x x
x 2sin 2cos 2sin 2cos -+的最小正周期是( )
A.4π
B.2π
C.π
D. 2π
二、填空题
1.使函数y=tanx 和y=cosx 同时为单调递增函数的区间是 .
2.满足tan α＜cot α的角α的范围是 .
3.函数y=3tan(21x-4π
)的定义域是 ，值域是 .
4.函数y=sinx+cotx 的图像关于 对称.
三、解答题：
1.求下列函数的定义域：
(1)y=x x sin 21)
1lg(tan -- (2)y=
)3tan(1
cos 2π-
-x x
(3)y=
2cot
3x -
2.求函数y=θθθθtan sec tan sec 2
2-+的值域.
3.求函数y=-2tan(3x+3π
)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.
4.已知f(x)=tan(2x-b π)的图像的一个对称中心为(3π，0)，若｜b ｜＜31
，求b 的值.
【素质优化训练】
1.解不等式3tan 2
(2x-4π)-(3-3)tan(2x-4π)-3≤0.
2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ),且对于定义域内任何实数x ，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),比较tan(ωa+φ+3ω)与tan(ωa+φ-3ω)的大小.
3.已知有两个函数f 1(x)=asin(kx+3π),f 2(x)=bsin(kx-3π
)(k ＞0)它们的最小正周期
之和为2π，且f 1(2π)=f 2(2π),f 1(4π)=-3f 2(4π
)+1,求a 、b 、k 之值.
4.已知关于x 的一元二次方程4x 2
+5x+k=0的两根分别为sin θ、cos θ,(1)求k.(2)求以tan θ、cot θ为两根的一元二次方程.
5.求证：函数y=Atan(ωx+φ)(A ω≠0)为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z).
答案：
【同步达纲练习】
一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D
二、1.［2k π-π,2k π-2π)和(2k π-2π
,2k π](k ∈Z)
2.(k π,k π+4π)∪(k π+2π,k π+43π
)(k ∈Z)
3.{x ｜x ≠2k π+23π
,k ∈Z}
4.(k π,0)(k ∈Z)
三、1.(1)(2k π-43π,2k π-2π
)(k ∈Z)
(2){x ｜2k π-3π≤x ＜2k π+3π,且x ≠2k π-6π
,k ∈Z }
(3){x ｜2k π+3π
≤x ＜2k π+2π,k ∈Z }
2. 31
≤y ≤3
3.定义域{x ｜x ≠3πk +18π
,k ∈Z}
值域R ，周期3π
，非奇非偶函数
在区间(3πk -185π,3πk +18π
)(k ∈Z)上是单调减函数.
4.b=-31
【素质优化训练】
1.{k ｜2πk +24π≤x ≤2πk +4π
,k ∈Z}
2.相等
3.a=-3-1,b=3+1,k=2
4.(1)k=89 (2)x 2
-932
x+1=0
5.略
对勾函数(图像及概念)
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x 有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=a b 的时候。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=a b ，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0
对勾函数图象性质
对勾函数图象性质 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
对勾函数图象性质 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ b x 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+b x （接下来 写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：
当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时，f(x)=ax+b x ≥2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号)，此时x= √b a 。 当x<0时，f(x)=ax+b x ≤?2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号)，此时x= ?√b a 。 即对勾函数的定点坐标：A:(√b a ,2√ab)、B:(?√b a ,?2√ab) a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同 对勾函数的图像（ab异号）
对勾函数
对勾函数 f(x)=ax+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， X
对勾函数绝对经典(教学知识)
对勾函数f(x)=ax+错误!未找到引用源。的图象与性质 繁华分享 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 对勾函数的图像（ab异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，错误!未找到引用源。。 当 x<0时，错误!未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， 利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数 3 2 4 2 2 2 + + + + = x x x x y的最小值。 解：令3 2 2+ + =x x t，则2 2 )1 (2≥ + + =x t t t t t y 1 1 2 + = + = 根据对号函数 t t y 1 + =在（1，+∞）上是增函数及t的取值范围，当2 = t时y有最小值 y X O y=ax
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质 繁华分享 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 对勾函数的图像（ab异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 当x<0时， 。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， 利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数324 222++++=x x x x y 的最小值。 解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x t t t t t y 112+=+= y X O y=ax
专题对勾函数
基本不 等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+ )0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义 域： ),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称， 即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知 b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a = 即)(x f 在x= a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0， a b ），（a b -,0） 一、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<
此函数与对勾函数x b x a y ) ()(-+ -=关于原点对称，故函数图像为 性质： 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0(
对勾函数详细分析.doc
对勾函数的性质及应用 一 . 对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（ - ∞， 0）∪（0，+∞） 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 2√ab （当且仅当取等号），即在x=时，取最小值4. 图像在一、三象限 , 当时， 由奇函数性质知：当x<0 时，在 x=时，取最大值 5. 单调性：增区间为（），（）, 减区间是（ 0，），（ ,0 ） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4. 图像在二、四象限 , 当 x<0 时，在 x= 时，取最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（ 0，），（ ,0 ）减区间是（），（） , 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：增区间为（ - ，0），（ 0， +） . ②作图如下： 1. 定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：减区间为（ - ，0），（ 0， +） . 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习 1. 函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到 练习 1. 作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3.求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a. 若，图像如下： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当时，在时，取最大值，当x<0 时，在x=时，取最小值 5.单调性：减区间为（），（）；增区间是 练习 1. 函数的在区间上的值域为 b.若，作出函数图像： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4.图像在一、三象限. 当时，在时，取最小值， 当 x<0 时，在 x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）；减区间是 练习 1. 如，则的取值范围是 类型六：函数 . 可变形为，
对勾函数的性质及应用
对勾函数的性质及应用 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2[]2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状， 且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+≥ab 2（当且仅当b x a =取等号），即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+)0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0(
对勾函数的图像与性质探究
第十二讲 对勾函数的图像与性质探究 厦门二中 唐文龙 一、实验内容 探究对勾函数b y ax x =+（00a b ≠≠且，下同）的图像与性质，由三部分组成： 1）当a,b 同号时，探究b y ax x =+的图像与性质 2）当a,b 异号时，探究b y ax x =+的图像与性质 3）探究对勾函数b y ax x =+，与y=ax 和y=x b 的图像的关系 二、设计理念 通过用超级画板绘制b y ax x =+ 的图像，观察对勾函数的图象变化规律，进而探究对勾函数在a,b 符号变化时的图像的性质，并通过探究逐步学会数形结合的数学思想方法，培养学生的探究能力 三、实验过程 1..探究问题 当a,b 同号时研究对勾函数b y ax x =+的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等） 探究过程 1） 当a>0,b>0时，请利用超级画板做出函数b y ax x =+ 的图像，借助函数的图像，研究它的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等 2） 打开文件“对勾函数.zjz ”，拉动参数a,b 对应的滑动块，让a,b,分别从0慢慢增长到10， 仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间。 3） 观察函数图像，注意函数分别在哪些位置取到最小值和最大值， 4） 当a<0,b<0时, 拉动参数a,b 对应的滑动块，让a,b,分别从-10慢慢增长到0类似上述问 题研究此函数的图像与性质 探究结果 当a,b 同号时，从对勾函数b y ax x =+ 的图像上看可得到b y ax x =+有如下性质： 1. .定义域：{}|,0x x R x ∈≠；值域{|y y y ≥≤-
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。的图象与性质 繁华分享 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 对勾函数的图像（ab异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，错误！未找到引用源。。
当x<0时，错误！未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， 利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数324 222++++=x x x x y 的最小值。 解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x t t t t t y 112+=+= 根据对号函数t t y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值2 23。此时x=-1. 2、求函数),(sin 2sin Z k k x x x y ∈≠+=π的单调区间，并求当),0(π∈x 时函数的最小值。 X
专题对勾函数
基本不等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义 域 ： ),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域:),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性:奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状,且函数图像关于原点呈中心对称， 即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a =, 即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时,)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性:增区间为（ ∞+,a b ），（a b -∞-,) 减区间是（0， a b ）,(a b -,0） 一、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<
性质： 类型二：斜勾 函数 b y ax x =+ )0(
对勾函数图象性质
对勾函数图象性质 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）
对勾函数的图像（ab异号）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数 在定义域内是奇函数， 二、类对勾函数性质探讨 函数x b ax y + =，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。 在时且00≠≠b a 有如下几种情况：(1)0,0<>b a (2)0,0>>b a (4)0,0<b a 时，ax y =1，x b y = 2在),0(),0,(+∞-∞上分别单调递增。 故x b ax y y y + =+=21在),0(),0,(+∞-∞为单调递增函数。y X O y=ax
(完整版)对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用 一、对勾函数b y ax x =+) 0,0(>>b a 的图像与性 质： 1. 定义域：),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2[]2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+≥ab 2（当且仅当b x a =， 即)(x f 在x= a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ） ，（a b -∞-,）,减区间是（0， a b ），（a b - ,0） 二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+)0,0(<
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4.图像在二、四象限, 当x<0时，)(x f 在x= a b 时，取最小值ab 2；当0x >时， )(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b - ,0）减区间是（ ∞+,a b ） ，（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0( 对勾函数的性质及应用 、 对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性 x 质： 1. 定义域： ( ,0) (0, ) 2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, ) 原点呈中心对称，即 f(x) f( x) 0 即 f (x) 在 x= b 时，取最小值 2 ab a 、 对勾函数的变形形式 2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, ) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 对勾”的形状，且函数图像关 于 4. 图像在一、三象限 , 当 x 0 时， y ax b 2 ab (当且仅当 x b 取等号)， 由奇函数性质知：当 x <0 时， f (x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab a 5. 单调性：增区间为( , b ) ,a , 减区间是( 0 ， 类型一：函数 y ax b (a 0,b x 质 1. 定义域： ( ,0) (0, ) 0)的图像与性 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状 4. 图像在二、四象限, 当x<0时， f （x）在x= b时，取最小值 2 ab；当x 0时，a f（x）在x= b时，取最大值 2 ab a 5. 单调性：增 区间为（0，b），（b,0 ）减区间是（b, a a a, b a) 类型二：斜勾函数y ax b（ab 0）x ① a 0,b 0 作图如下 1. 定义域：（ ,0）（0, ） 2. 值域：R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无 最大值也无最小值. 5. 单调性：增区间为（- ，0），（0，+ ） ② a 0,b 0 作图如下： 1. 定义域：( ,0) (0, ) 2. 值域：R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值 5. 单调性：减区间为（- ，0），（0，+ ） 对勾函数最值的十种求法 Prepared on 22 November 2020 关于求函数 ()01>+=x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式 0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y 二、?法 若y 的最小值存在，则042≥-=?y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候，2min =y 三、单调性定义 设210x x << 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 四、复合函数的单调性 x x t 1 -=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又 ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y 五、求一阶导 当()1,0∈x 时，0' 六、三角代换 令αtan =x ，??? ??∈2,0πα，则αcot 1=x ∴当4π α=，即22π α=时，()12sin max =α，2min =y ，显然此时1=x 七、向量 ()1,1,1,=??? ??=b x x a b a x x x x y ?=?+?=+=11 11 ， 根据图象，a 为起点在原点，终点在x y 1 =()0>x 图象上的一个向量，θcos a 的几何意义为a 在b 上的投影，显然当b a =时，θcos a 取得最小值。 此时，1=x ，222min =?=y 八、图象相减 ??? ??--=+=x x x x y 11 ，即y 表示函数x y =和x y 1 -=两者之间的距离 求min y ，即为求两曲线竖直距离的最小值 平移直线x y =，显然当x y =与x y 1 -=相切时，两曲线竖直距离最小。 x y 1 -=关于直线x y -=轴对称，若x y =与x y 1 -=在1>x 处有一交点，根据对称性，在10< 对勾函数的性质及应用 一、概念： 【题型1】函数()(0,0)a f x x a k =+ >≠ 【例1】函数1 ()f x x =+ 的值域为 【例2】函数3 () x f x x += +的值域为 【题型2】函数()(0)ax bx c f x ac ++=>。 【例3】函数1 ()x x f x ++=的值域为 【题型3】函数2()(0,0)ax f x a b = ≠>。 【例 4】函数2()1 x f x x = +的在区间[)2,+∞上的值域为 【解析】2x ≥，∴，函数15 222≥+=【例5】如2214 x a x +=-+，(1,2)x ∈，则实数a 的取值范围是 (1,2)x ∈4y x x =+ 1144x x <+，7352a <-<【题型4】函数2()(0)ax bx c f x a ++=≠. 【例6】已知1x >-，求函数710 ()1 x x f x x ++=+的最小值。 ，1x >-， 710 1 x ++的最小值【例7】已知1x <，求函数299 ()x x f x +-=的最大值。 ，1x <， 99 1 x x +--的最大【题型5】函数2 ()(0)x m f x a += ≠ 【例8】求函数21 ()2 x f x x x -= ++在区间(1,)+∞上的最大值。 【例9】求函数2223 () x x f x ++=在区间[0,)+∞上的最大值。 【例10】求函数()f x =的最小值。 类型九：函数 2 ()0) f x a>。 【例12】求函数 2 () f x= 的最小值。 【解析】由题可知，函数 22 () f x===2 t=，则 1 ()() f x g t t t ==+，显然在[) 2,+∞上单调递增，故 min 15 ()(2)2 22 g t g ==+=，此时0 x=，故函数 2 () f x=的最小值为 5 2 。 【例13】求函数() f x=的值域. 对勾函数的性质及应用 一.对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2. 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+ ≥2√ab （当 且仅当b x a = )(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 1、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大 值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0((完整版)对勾函数详细分析
对勾函数最值的十种求法
对勾函数的性质及应用(史上上最完整版)
对勾函数详细分析