高鸿业微观经济学业第七版课后答案18第三章消费者选择

第三章消费者选择

第一部分教材配套习题本习题详解

１．已知一件衬衫的价格为８０元，一份肯德基快餐的价格为２０元，

在某消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基快餐对

衬衫的边际替代率ＭＲＳ是多少？

解答：用Ｘ表示肯德基快餐的份数；Ｙ表示衬衫的件数；ＭＲＳＸＹ表示在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所需

要放弃的衬衫的消费数量。在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在均衡点上有边际替代率等于价格比，则有：

MRS

XY Y

P

X

X P

Y

201

804

它表明，在效用最大化的均衡点上，该消费者关于一份肯德基快餐对衬

衫的边际替代率ＭＲＳ为0.25。

２．假设某消费者的均衡如图３—１所示。其中，横轴ＯＸ１和纵轴ＯＸ２分别表示商品１和商品２的数量，线段ＡＢ为消费者的预算线，曲线Ｕ为消费者的无差异曲线，Ｅ点为效用最大化的均衡点。已知商品１的价格Ｐ

１＝２元。求:

（１）求消费者的收入；

（２）求商品２的价格Ｐ２；

（３）写出预算线方程；

（４）求预算线的斜率；

（５）求Ｅ点的ＭＲＳ1２的值。

图３—１某消费者的均衡

解答：（１）横轴截距表示消费者的收入全部购买商品１的数量为３０单位，

且已知Ｐ１＝２元，所以，消费者的收入Ｍ＝２×３０＝６０元。

（２）图３—１中纵轴截距表示消费者的收入全部购买商品２的数量为２０

M 单位，且由（１）已知收入Ｍ＝６０元，所以，商品２的价格P2＝

20＝60 20＝

3（元）。

（３）由于预算线方程的一般形式为P1X1＋P2X2＝M,所以本题预算线方程具体写为：2X1＋3X2＝60。

（４）(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为X2＝－2

3

X1＋20。所以，预算线的斜率为2

－。

3

(5)在消费者效用最大化的均衡点E上，有MRS

12X P

21

X P

12

，即无差异曲线斜率

的绝对值即MRS等于预算线斜率的绝对值P1

。因此，MRS12＝

P2

P1

＝

P2

2

。

3

3．对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者一定数量的实物补助，

另一种是发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分析法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。

解答：一般说来，发给消费者现金补助会使消费者获得更大的效用。其原因在于：在现金补助的情况下，消费者可以按照自己的偏好来购买商品，以获

得尽可能大的效用。如图３—３所示。

图３—３实物补贴和货币补贴

在图中，ＡＢ是按实物补助折算的货币量等于现金补助情况下的预算线。在现金补助的预算线ＡＢ上，消费者根据自己的偏好选择商品１和商品２的购

买量分别为*X和

1

*

X，从而实现了最大的效用水平Ｕ２，即在图３—３中表现2

为预算线ＡＢ和无差异曲线Ｕ２相切的均衡点Ｅ。

在实物补助的情况下，则通常不会达到最大的效用水平

Ｕ

２

。因为，譬如，

当实物补助两商品数量分别为 ｘ１１

、ｘ ２１

的 Ｆ 点，或者为两商品数量分别为 ｘ １２和 ｘ２２

的 Ｇ点时，则消 费者获得无差异曲线 Ｕ１

所表示的效用水平， 显然， Ｕ１＜ Ｕ２。

d

A ＝20－4P 和 4.

假设某商品市场上只有

A 、

B 两个消费者，他们的需求函数各自为 Q

d

B ＝30－5P 。 Q

(1)列出这两个消费者的需求表和市场需求表。

(2)根据 (1)，画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。

解答： (1)由消费者 A 和 B 的需求函数可编制消费

A 和

B 的需求表。至于市场的需求

表的编制可以使用两种方法，一种方法是利用已得到消费者 A 、B 的需求表，将每一价格水 平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者 A 和 B 的需 求函数加总求得市场需求函数，即市场需求函数

Q

d

＝Q A d ＋Q d

B ＝(20－4P)＋(30－ 5P)＝50－

d

＝50－9P 来编制市场需求表。按以上方法编制的

9P ， 然后运用所得到的市场需求函数 Q

需求表如下所示。

d

d

d

d A + Q P

A 的需求量 Q A A 的需求量 Q B

市场需求量 Q

B

0 20 30 50 1 16 25 41 2 12 20 32 3 8 15 23 4 4 10 14 5 0 5 5 6 0 0

(2)由(1)中的需求表， 所画出的消费者 A 和 B 各自的需求曲线以及市场的需求曲线如

图3— 4 所示。

图3-4 消费者 A 和 B 各自的需求曲线以及市场的需求曲线

在此，需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格 P ＝5 和需

求量Q

d＝5 的坐标点位置。关于市场需求曲线的这一特征解释如下：市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在P≤ 5 的范围，市场需求曲线由两个消费者

需求曲线水平加总得到，在P≤ 5 的范围，市场需求函数Q

d＝Q d A＋Q d B＝(20－4P)＋(30

－5P)＝50－9P成立；；而当P＞5 时，消费者 A 的需求量为0，只有消费者 B 的需求

曲线发生作用，所以，P＞5 时， B 的需求曲线就是市场需求曲线。当P＞6 时，只有消费者 B 的需求也为0。

市场需求函数是：

0 P＞6

Q =

30－5P 5≤P≤ 6

50－9P 0≤P≤ 5

市场需求曲线为折线，在折点左，只有 B 消费者的需求量；在折点右边，是AB 两个消费者的需求量的和。

5.某消费者是一个风险回避者，他面临是否参与一场赌博的选择：如果他参与这场赌博，他将以5%的概率获得10 000 元，以95%的概率获得10 元；如果他不参与这场赌博，他将

拥有509.5 元。那么，他会参与这场赌博吗？为什么？

解答：该风险回避的消费者不会参与这场赌博。因为如果该消费者不参与这场赌博，

那么，在无风险条件下，他可拥有一笔确定的货币财富量509.5 元，其数额刚好等于风险条

件下的财富量的期望值10 000×5%＋10×95%＝509.5 元。由于他是一个风险回避者，所以在

他看来，作为无风险条件下的一笔确定收入509.5 元的效用水平，一定大于风险条件下这场

赌博所带来的期望效用。

二、计算题

1. 已知某消费者关于X、Y 两商品的效用函数为U= xy 其中x、y 分别为对商品X、Y 的消费量。

(1)求该效用函数关于X、Y 两商品的边际替代率表达式。

(2)在总效用水平为 6 的无差异曲线上,若x=3,求相应的边际替代率。

(3)在总效用水平为 6 的无差异曲线上,若x=4,求相应的边际替代率。

(4) 该无差异曲线的边际替代率是递减的吗?

解答：(1) MU =U＇(X)=

X 1

2

1 1

2 2

X Y ,MU Y =U＇(Y)=

1

2

1 1

2 2

X Y

MRS

XY Y MU

X MU

X

Y

1 1

1

2 2

X Y

2

= =

1 1

2 2

X Y

Y

X

(2) 6= xy ，XY=36; 若x=3，y=12

MRS =

XY Y

X

=

12

3

=4

(3) 6= xy ，XY=36; 若x=4，y=9

Y X =

9

4

=2.25

MRS =

XY

(4)当x=3 时，M RS XY =4；当x=4 时，M RS XY =2.25，所以该无差异曲线的边际替代率

是递减的。

5. 已知某消费者每年用于商品 1 和商品 2 的收入为540 元，两商品的价格分别为P1=20 元和P2=30 元，该消费者的效用函数为U=3X 1X 2

2

，该消费者每年购买这两种商品的数量各应是多少？每年从中获得总效用是多少？

解答：

U

2

MU U ( X ) 3X

1 1 2

X

1

U

MU U ( X ) 6X X

2 2 1 2

X

2

MU MU

1 2

把已知条件和MU 1，MU 2 值带入下面均衡条件P P

1 2

PX P X M

1 1

2 2

2

3X 6X X

2 1 2

得方程组：20 30

20X 30X 540

1 2

解方程得，X1=9，X2=12, U=3X 1X 2

2=

3888

3 5

3. 假定某消费者的效用函数为8

8

U X1 X ，两商品的价格分别为P

1，P2，消费者的收入

2

为M。分别求该消费者关于商品 1 和商品 2 的需求函数。

解：根据消费者效用最大化的均衡条件：M U

MU

1

2

P

1

1

P

2

，其中，由已知的效用函数

3 5 5 5 3 3

dTU 3 dTU 5

U X1 X 可得：8

8 MU ，8

8 8 8

X X MU X X

2 1 1 2 2 1 2

dX 8 dX 8

1 2

3X P

2 1 于是，整理得：,

5X P

1 2 即有

5P X

1 1

X （1）

2 3

P

2

5P X

1 1

把（1）式代入约束条件P1 X1 P2 X2 M ，有，M

P X P

1 3

1 2

P

2

解得：

3M

X ，代入（1）式得

1 8

P

1

X

5M

2 8

P

2

所以，该消费者关于两商品的需求函数为

3M

X ，

1

8P

1

X 2

5M

8P

2

4. 假定某消费者的效用函数为0.5 3

U q M ，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：（1）该消费者的需求函数；

（2）该消费者的反需求函数；

（3）当

1

p , q 4 时的消费者剩余。

12

解：（1）商品的边际效用为

U

MU 0.5q

q

0.5 U

，货币的边际效用为 3

M

MU p 可得：

0.5 q

p

0.5

由实现消费者均衡条件，整理得消费者的需求函数为

3

q

1

36 2 p

。

（2）根据需求函数q

1

36 2 p ，可得反需求函数

p

1

6

q 0.5

（3）消费者剩余

1

4 1 0.

5 1 4

2

CS q dq pq q

6 3

1

3

2 1 1

3 3 3

5. 设某消费者的效用函数为柯布—道格拉斯类型的，即U x y ，商品x 和商品

y 的价格分别为Px 和Py，消费者的收入为M ，和为常数，且1。

（1）求该消费者关于商品x 和商品y 的需求函数。

（2）证明当商品x 和商品y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费

者对两商品的需求量维持不变。

（3）证明消费者效用函数中的参数和分别为商品x 和商品y 的消费支出占消费者收入的份额。

解：（1）由消费者的效用函数U x y ，解得：MU

x

MUy

U

x

U

y

x 1y

1

x y

消费者的预算约束方程为P X x P y y M

MU x P

X

根据消费者效用最大化的均衡条件M Uy P

y

，代入已知条件，解方程组得消费

P x x P

y

y M

者关于商品x 和商品y 的需求函数分别为：

x= a M

P

X

, y=

M

P

y

（2）商品x 和商品y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的

预算线变为P x x P y y M ，其中为一非零常数。

MU x P

X

此时消费者效用最大化的均衡条件为M Uy P

y

，由于0，故该方程组化

P x x P y

y

M

MU x P

X

为M Uy P

y

，显然，当商品x 和商品y 的价格以及消费者的收入同时变动一个

P x x P y

y

M

比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。

（3）由消费者的需求函数可得：

x P y

P x

y

，，式中参数为商品x 的消费支M M

出占消费者收入的份额和参数为商品y 的消费支出占消费者收入的份额。

6.假定肉肠和面包卷是完全互补品。人们通常以一根肉肠和一个面包卷为比率做一个热狗,并且

已知一根肉肠的价格等于一个面包卷的价格。

(1)求肉肠的需求的价格弹性。

(2)求面包卷对肉肠价格的需求的交叉弹性。

(3)如果肉肠的价格是面包卷的价格的两倍,那么,肉肠的需求的价格弹性和面包卷对肉肠价格的需求的交叉弹性各是多少?

解：（1）令肉肠的需求为X，面包卷的需求为Y，相应的价格为P x、P Y ，且有P x=P Y

该题目的效用论最大化问题可以写为：

maxU(X ，Y)=min(X ，Y)

s.t.P x X+P Y Y=M

M M M

= = 解上述方程有：X=Y=

P P 2P 2

X Y X P

X

1

dX P M P

由此可得肉肠的需求的价格弹性为： e dx=- 2

X X

（）

P

X

M

dP X 2

1

X

X

P

2

1

(2) 面包对肉肠的需求交叉弹性为：e xy=

(3) maxU(X ，Y)=min(X ，Y)

s.t.P x X+P Y Y=M dY

P

X

dX Y

M P

2 X

（）

P

X

M

2

2

1

P

X

1 M 2M 2M

如果P x=2P Y,X=Y, 解上述方程有：X=Y= = =

P P 3P 3

X Y X P X

1

可得肉肠的需求价格弹性为：e dx=

2M P

2 X

（）

P

X

2M

3

3

1

P

X

1

Y P 面包对肉肠的需求交叉弹性为：e yx= X

P Y

X

2M P

2 X

（）

P

X

2M

3

3

1

P

X

1

7.已知某消费者的效用函数为U＝X1X2，两商品的价格分别为P1＝4，P2＝2，消费者的

收入是M＝80。现在假定商品 1 的价格下降为P1＝2。求：

(1)由商品 1 的价格P1 下降所导致的总效应，使得该消费者对商品 1 的购买量发生多少

变化？

(2)由商品 1 的价格P1 下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品 1 的购买量发生多

少变化？

(3)由商品 1 的价格P1 下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品 1 的购买量发生多

少变化？

解答：利用图解答此题。在图3-6 中，当P1＝4，P2＝2 时，消费者的预算线为AB，效用最大化的均衡点为a。当P1＝2，P2＝2 时，消费者的预算线为AB′，效用最大化的均衡点为b。

图3—6

MU MU

1 2

（1）先考虑均衡点a。根据效用最大化的均衡条件P P

1 2

P X P X M

1 1

2 2

X X

2 1

得： 4 2

解得: X 2＝20 ,X 1＝10

4X 2X 80

1 2

最优效用水平为U1＝X1X 2＝10×20＝200

再考虑均衡点b。当商品 1 的价格下降为P1＝2 时，与上面同理，根据效用最大化X X

2 1

的均衡条件得： 2 2

解得: X2=X1＝20

2X2X 80

1 2

从a 点到 b 点商品 1 的数量变化为ΔX 1＝20－10＝10，这就是P1 变化引起的商品 1 消

费量变化的总效应。

(2)为了分析替代效应，作一条平行于预算线AB′且相切于无差异曲线U1 的补偿预算线FG，切点为 c 点。

在均衡点c，总效用保持不变，同时满足边际效用均等法则，X1 ，X 2 满足

MU MU

1 2 X X

1 2

P P

1 2

即 2 2

TU X1X2 200 T U X X

1 2

200

解得X 1＝X2。将X 1＝X2 代入效用约束等式U1＝X 1X2＝200，解得X1＝X2＝10 14，

从a 点到 c 点的商品 1 的数量变化为ΔX 1＝10 －10 4，这就是P1 变化引起的商品 1 消费量变化的替代效应。

(3)至此可得，从 c 点到 b 点的商品 1 的数量变化为ΔX 1＝20－10 6，这就是P1 变化引起的商品 1 消费量变化的收入效应。

8. 某消费者消费两种商品X 和Y, 假定无差异曲线在各点的斜率的绝对值均为y

x

，x、y 为两

商品的数量。

(1)说明每一种商品的需求数量均不取决于另一种商品的价格。

(2)证明每一种商品的需求的价格弹性均等于1。(3)证明每

一种商品的需求的收入弹性均等于1。

(4)每一种商品的恩格尔曲线的形状如何?

解答：（1）根据题意可得，该消费者在效用最大化均衡点满足无差异曲线的

斜率等于预算线斜率，预算线斜率绝对值等于p

x

p

y

，所以可得：

y

x

=

p

x

p

y

。整理得：y=

p

x

p

y

x。

把y= p

x

p

y

x 代入预算约束等式xP x＋yP y=M ，解得x=

M

2P X

把x=

M

2P X

代入预算约束等式xP x＋yP y=M，得y=

M

2P

y

由此可见，X 商品的需求教量与Y 商品的价档P y 无关，Y 商品的需

求数量与x 商品的价格P x 无关

（2）X 商品和Y 商品的需求的价格弹性分别为

e dx=- dX P M P

X X

（）

2

M

dP X 2P

X X

1

2P

X

e xy= dY

dP

Y

P

Y

Y

M P

Y

2 1

（）

M

2P

Y

2P

Y

所以，每一种雨品的需求的价格弹性均等于 1 3）X 商品和y 商品的收入弹性分别为

E mx=- dX M 1 M

g

M

dM X 2P

X

1

2P

X

E my= dY

dP

Y

P

Y

Y

1

2P

Y

M

M

1

2P

Y

所以，每一种品的需求的收入弹性均等于1。

（4）由X 商品的需求函数X=

M

2P X

求x 商品的恩格尔曲线的斜率为

dx 1

dM 2P X

。

由Y 商品的需求函数Y=

M

2P Y

求Y 商品的恩格尔曲线的斜率为

dY 1

dM 2P Y

。

所以，两商品的恩格尔曲线的斜率均为正的常数。而且，当收入为零时，两商品的需求数量均为零，由此可见，X 和Y 商品的恩格尔曲线均为一条

从原点出发且斜率为正的直线。

三、论述题

1. 根据基数效用论者关于消费者均衡的条件:

(1) 如果M U MU

1 2

P P

1 2

,消费者应该如何调整两种商品的消费数量? 为什么?

P1 P 2

MU

i

(2) 如果

，其中常数表示不变的货币的边际效用，消费者应该如何对该种商品i P

i

的消费数量进行调整? 为什么?

答：(1) 若M U MU

1 2

P P

1 2

，消费者没实现均衡，须重新调整其购买组合，原则是

增加单位货币获得边际效用较大的商品购买和消费，同减少单位货币获得边际效

用较小的商品购买，例如M U MU

1 2

f ，则理性消费者应增加商品 1 的购买，同P P

1 2

时减少商品 2 的购买量，原因是一方面，增加一元钱商品 1 的购买使总效用增加量大于减少一元钱商品 2 的购买使总效用的减少量，保证消费者在总支出不变的

条件下总效用是增加的。另一方面，在边际效用递减规律的作用下，商品 1 的边际效用会随其购买量增加而递减，商品 2 的边际效用会随其购买量减少而递增，

这样M U

P

1

1 和M U

P

2

2 最终会相等，即最后一单位货币购买两种商品的边际效用相等

时，总效用最大，消费者实现均衡。当M U MU

1 2

p 时，则理性消费者应增加商P P

1 2

品2 的购买，同时减少商品 1 的购买量。

（2）基数效用论者认为，在一种商品的价格、消费者的效用函数和收入

给定的前提下，如果M U

P

i

i f ，这说明消费者用一单位货币购买该种商品i

所获得的边际数用大于他所付出的这单位货币的边际效用，于是，消费者就会増加对这种商品i 的购买，使得总效用不断増加。在这一过程中，在边际效用递减规律的作用下，商品i 的边际效用MU会下降，假定货币的边际效

用一般为常数，于是，消费者最后会达到M U

P

i

i = ，实现效用最大化均衡。

类似地，如果M U

P

i

i p ，说明消费者用一单位货币购买该种商品i 所

获得的边际数用小于他所付出的这单位货币的边际效用，消费者会少对该种商品的购买，留存货币，使得总效用不断增加。随着消费者减少对该种商品的购买，消费每单位商品边际效用增加，消费者用一单位货币购买该种商品

MU

i 所获得的边际数用也增加、最后，消费者达到i

P

i

= ，表示消费者用最后一单位货币购买该种商品i 消费所获得的边际效用等于他所付出去的这

一单位货币的边际效用，实现效用最大化均衡。这说明M U

P

i

i ，消费者就

要调整消费数量，实现了效用最大化。消费者通过对这种商品购买数量的调

整，实现M U

P

i

i = 时，实现了效用最大化，达到消费者均衡。

2. 基数效用论者是如何推导需求曲线的？

答：基数效用论通过边际效用递减规律、根据消费者效用最大化的均衡条件得来