大物B课后题10-第十章 波动学基础(1)

习题

10-5 在平面简谐波的波射线上，A,B,C,D 各点离波源的距离分别是3

,,,424

λλλλ。

设振源的振动方程为cos 2y A t πω??

=+

??

?

，振动周期为T.（1）这4点与振源的振动相位差各为多少？（2）这4点的初相位各为多少？（3）这4点开始运动的时刻比振源落后多少？

解 （1） 122,2,2x

x

π

?π

?π

πλ

λ???==

?==

3432,222x x

π?π?ππλλ

???==?==

（2）

112233440,,

2

2

2

3

,222

π

π

π

????ππ

??π??π

=

-?==

-?=-

=-?=-=-?=-

（3）

1212343411

,2422

3,242t T T t T T t T T t T T

??ππ??ππ

???=

=?==???==?==

10-6 波源做谐振动，周期为0.01s ，振幅为2

1.010m -?，经平衡位置向y 轴正方向运动时，作为计时起点，设此振动以1

400u m s -=?的速度沿x 轴的正方向传播，试写出波动方程。 解 根据题意可知，波源振动的相位为3

2

?π= 2122200, 1.010,4000.01

A m u m s T ππωπ--====?=? 波动方程

2

31.010cos 2004002x y t m ππ-???

?=?-

+ ????

??

?

10-7 一平面简谐波的波动方程为()0.05cos 410y x t m ππ=-，求（1）此波的频率、周期、波长、波速和振幅；（2）求x 轴上各质元振动的最大速度和最大加速度。

解 （1）比较系数法

将波动方程改写成0.05cos10 2.5x y t m π??=-

???

与cos x y A t u ω??

=-

???

比较得

1120.05;10;0.2101

5; 2.5;0.5A m T s v s u m s u T m T

π

ωππ

λ--===

==

==?=?=

（2）各质元的速度为

()1

0.0510sin 410v x t m s πππ-=?-?

所以

1

max 0.0510 1.57()v m s π-=?=? 各质元的加速度为

()2

2

0.05(10)cos 410a x t m s πππ-=-?-?

所以

2

2

max 0.05(10)49.3()a m s π-=?=?

10-8 设在某一时刻的横波波形曲线的一部分如图10.1所示。若波向x 轴正方向传播，（1）试分析用箭头表明原点0，1，2，3，4等点在此时的运动趋势；（2）确定此时刻这些点的振动初相位；（3）若波向x 轴的正方向传播，这些点的振动初相位为多少？

解 （1）因为波是沿x 轴的正方向传播的，所以下一个时刻的波形如图10.1中虚线所示。由图可知：O 点的运动趋势向y 轴正方向；1点的运动趋势向y 轴的正方向；2点的运动趋势向y 轴的负方向；3点的运动趋势向y 轴的负方向；4点的运动趋势向y 轴的正方向。 (2) 各点的振动的初相位分别为 01234313;;;0;222

?π?π?π??π=

==== （3）若波向x 轴的负方向传播，则各点振动的初相位分别为

12

34131

;;;0;222

?π?π?π??π'''''===== 10-9 一平面简谐波的波动方程为

()0.02cos 500200y t x m ππ=- (1)求该波的振幅、周期、圆频率、频率波速和波长；（2）

设0x =处为波源，求距波源0.125m 及1m 处的振动方程，并分别绘出它们的y-t 图；（3）

求t=0.01s 及t=0.02s 时的波动方程，并绘出对应时刻的波形图。 解 （1）将波动方程变为

0.02c o s 500

2.5x y t m π??

=- ???

与cos x y A t m u ω??

=-

???

相比较得

110.02;500;25021

0.004; 2.5;0.1A m s v Hz T s u m s uT m

v

ω

ωππ

λ--===

====?==

（2）将x=0.125m 及x=1m 代入波动方程，得振动方程分别为

()()120.02cos 500250.02cos 500200y t m y t m

ππππ=-=-

绘y-t 图如图所示。

（3）将t=0.01s 及t=0.02s 代入波动方程，得两时刻的波方程分别为

()()120.02cos 52000.02cos 10200y x m y x m

ππππ=-=-

两时刻的波形图如图所示。

10-10 一平面简谐波的波动方程为

()2

810cos 42y t x m ππ-=?-

（1）x=0.2m 处的质元在t=2.1s 时刻的振动相位为多少？此相位所描述的运动状态如何？ （2）此相位值在哪一时刻传至0.4m 处？ 解 （1）将x=0.2m ，t=2.1s 代入波动方程得 4 2.120.28?πππ=?-?= 此质元在此时刻的位置为

2

2

810cos8810()y m π--=?=? 速度为

2

4810sin80v ππ-=-??= （2）将x=0.4m 代入有

420.48t πππ-?= 得

()2.2t s =

10-11 一波源做简谐振动，周期为0.01s,振幅为0.1m ，经平衡位置向正方向运动时为计时起点，设此振动以1

400m s -?的速度沿直线传播，

（1）写出波动方程；

（2）求距波源16m 处和20m 处的质元的振动方程和初相位； （3）求距波源15m 处和16m 处的两质元的相位差是多少？

解 （1）取波源的传播方向为x 轴的正向，由题意可知波源振动的初相位为32

?π=

，2200T

π

ωπ=

=，所以波方程为 30.1cos 2004002x y t m ππ????=-

+ ????

??

?

（2）将x=16m 和x=20m 代入波动方程得振动方程为 120.1cos(200 6.5)0.1cos(2008.5)y t m y t m

ππππ=-=-

所以初相位分别是

1020 6.58.5?π

?π

=-=-

（3） 距波源15m 和16m 处的两质元的相位差为 12122002002004004004002x x x x t t π?πππ-???

??=-

--=-= ? ??

???

24,2

Tu x π

π

λ?λ

==?=

?=

10-12 有一波在媒介中传播，其速度3

1

110u m s -=??，振幅4

1.010A M -=?，频率

310v Hz =，若媒介的密度为3800kg m -?,

(1) 求该波的平均能流密度；

（2）求1min 内垂直通过一面积为42

410S m -=?的总能量。

解 （1）由310v Hz =知道31

2210v s ωππ-==?，该波的平均能流密度为

()()()

222243

3

51211800 1.010********.5810I A u J s m ρωπ---==??????=??? （2） 1min 内垂直通过一面积为42

410S m -=? 的总能量为 3

3.7910()E ISt J ==?

10-13 一平面简谐波沿直径为0.14m 的圆柱形管行进（管中充满空气），波的强度为

3121810J s m ---???，频率为 300Hz ，波速为3121810J s m ---???，问：

(1) 波的平均能量密度和最大能量密度是多少？

（2）每两个相邻的，相位差为2π的波振面之间的波段中有多少能量？

解 （1）波的平均能量密度为

()3

531810610300

I J m u ω---?===??

最大能量密度

()4

3

max 2 1.210w J m ω--==??

（2）波长 ()1u

uT m v

λ==

= 所以每两个相邻的，相位差为2π的波段中的能量为

()2

5

7

0.1461019.24102E V S J ωωλπ--??=?=??=???=? ???

10-14 两相干波源分别在P,Q 两处，它们相距

3

2

λ，如图10.3所示。由P,Q 发出频率为v ，波长为λ的相干波。R 为PQ 连线上的一点，求下面的两种情况两波在R 点的和振幅：（1）设两波源有相同的初相位；（2）两波源初相位为。

解 （1）设两波源有相同的初相位，P,Q 两波源在R 点引起振动的相位差为 23PR QR

?ππλ

-?=-?=-

所以和振幅为

12A A A =-

（2） 因为两波源的初相位差为（假设P 振动相位超前Q 振动相位），P,Q 两波源在R 点引起振动的相位差为

22PR QR

?πππλ

-?=-?=-

所以合振幅为

12A A A =+ 10-15 两个波在一根很长的细绳上传播，它们的方程分别为

()()

120.06cos 40.06cos 4y x t y x t ππ=-=+

式中，x,y 以m 计，t 以s 计。

（1） 试证明这细绳实际上作驻波振动，并求波节和波腹的位置； （2） 波腹处的振幅为多大？在x=1.2m 处质元的振幅多大？ 解 （1）任意质元在任意时刻的位移为

120.12cos cos 4y y y x t ππ=+= 所以这细绳实际上做驻波式振动。 波节位置为cos 0x π=，即135

,,,222

x =

…(m)

波腹位置为cos 1x π=±，即0,1,2,3,x =…(m)

（2） 波腹处的振幅为

0.12m =波腹A （）

在x=1.2m 处质元的振幅为

0.12cos1.20.097()A m π==

10-16 绳索上的驻波公式为：0.08cos 2cos50()y x t m ππ=，求 形成该驻波的两反向行进波的振幅、波长和波速。

解 把0.08cos 2cos50()y x t m ππ=与驻波的标准形式

22cos

cos ()x

y A t m πωλ

=线比较得：

10.04,1,25()2A m m u m s T

λ

λω

λπ

-===

=

=? 10-17 一警笛发射频率为1500Hz 的声波，并以1

22m s -?的速度向着观测者运动，观测者相对与空气静止，求观测者所听到的警笛发出声音的频率是多少？（设空气中的声速为

1340m s -?）

解 观测者所听到的警笛发出的声音的频率为 0340

15001604()34022

s u v v Hz u v =

=?=--