2020-2021学年山西省临汾一中高二下期中文科数学试卷

【最新】山西省临汾一中高二下期中文科数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列求导数运算正确的是（ ）

A ．'211()1x x x +=+

B ．'1(lg )lg x x e

= C ．'

(3)3ln 3x x =

D ．2'(cos )2sin x x x x =-

2．下列说法正确的是（ ）

A ．图象连续的函数()f x 在区间(,)a b 上一定存在最值

B ．函数的极小值可能大于极大值

C ．函数的最小值一定是极小值

D ．函数的极小值一定是最小值

3．函数()g x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）

A ．''

0(2)(3)(3)(2)g g g g <<<-

B ．''0(3)(3)(2)(2)g g g g <<-<

C ．''0(2)(3)(2)(3)g g g g <<-<

D ．''0(3)(2)(2)(3)g g g g <-<<

4．设{},{}n n a b 是两个等差数列，若n n n c a b =+，则{}n c 也是等差数列，类比上述性质，设{},{}n n s t 是等比数列，则下列说法正确的是（ ）

A ．若n n n r s t =+，则{}n r 是等比数列

B ．若n n n r s t =，则{}n r 是等比数列

C ．若n n n r s t =-，则{}n r 是等比数列

D ．以上说明均不正确

5．设曲线2

y ax =在点(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则切线方程为（ ）

A ．210x y --=

B ．230x y --=

C ．210x y +-=

D ．230x y +-=

6．已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值为10，则(,)a b 的值（ ）

A ．(4,11)-

B ．(3,3)-

C ．(4,11)-或(3,3)-

D ．不存在

7．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究

过如图所示的三角形数：

根据合情推理试猜测第七个三角形有（ ）个石子.

A ．28

B ．21

C ．36

D ．32

8．函数()2a g x x =+在[1,2]上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．[0,)+∞ C ．(0,)+∞

D ．(,0]-∞

9．在【最新】春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量

及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：

通过分析，发现销售量y 对商品的价格x 具有线性相关关系，其回归方程为

^

3.240y x =-+，则表格中m 的值是（ ）

A ．6.4

B ．8

C ．9.6

D ．10 10．已知函数2ln ,0()33,0x x f x x x x >?=?+-≤?

，则函数零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

11．在平面几何中，若正三角形的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214

S S =，类比上述命题，在空间中，若正四面体的内切球体积1V ，外接球体积为2V ，则12

V V =（ ） A ．

16 B ．18 C ．19

D ．127 12．若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是

A

．(

B

．[ C ．[2,1)-

D

．(2]-

二、填空题

13．已知函数2()243f x x x =-+，则函数()f x 在[1,2]-上的最大值为__________.

14．若函数3()42f x x ax a =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围__________.

15．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”，则假设为__________. 16．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，且有(1)0g =，当0x >时，

有()()()()0f x g x f x g x ''+>，则()()0f x g x >的解集为__________.

三、解答题

17．在ABC ?中，2C π

∠=，求证：2B π

∠<.

18．已知三角形的三条边长分别为,a b c ，，求证：.11a b c a b c

+>+++

19．已知数列{}n a，

1

1

2 a=

，

1

3

3

n

n

n

a

a

a

+

=

+

.

求：（1）写出

2345

,,,

a a a a；

（2）求出数列{}

n

a的通项公式

n

a.

20．已知函数()ln3,

f x x ax a R

=-+∈.

（1）当1

a=时，计算函数的极值；

（2）求函数的单调区间.

21．某企业两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品. 从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：

甲厂：

乙厂：

（1）分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（2）由以上统计数据填写22

?列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

22．已知函数()(ln)

f x x x m

=+，3

()

3

a

g x x x

=+.

（1）当2

m=-时，求()

f x的单调区间；

（2）若

3

2

m=时，不等式()()

g x f x

≥恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

1．C

【解析】

试题分析：21

1(+)'1x x x =-，A 错；1(lg )'ln10

x x =，B 错；'(3)3ln 3x x =，C 正确；22(cos )'2cos sin x x x x x x =-，D 错.故选C.

考点：导数的计算.

2．B

【解析】

试题分析：如下图函数()f x 的图象，在开区间(,)a b 内无最值，A 错；显然()()f e f b >，极小值可能大于极大值，B 正确；在区间[],a d 上，最小值为()f a ，不是极小值，C 错；在区间[],a d 上，极小值为()f c ，不是最小值，故选B.

考点：函数极值定义的理解.

3．C

【解析】

试题分析：由图象知,函数()y g x =在(0,)+∞上为连续可导的增函数,且增长速度越来越快,所以在(0,)+∞上的导数为正,且越来越大,'(0)'(2)'(3)g g g <<又'=f （0）0,所以

0'(2)'(3)g g <<,由于(3)(2)(3)(2)32

g g g g --=

-,表示图象上经过(2,(2)),(3,(3))g g 两点割线的斜率, 因为函数()y g x =为凹函数,所以(3)(2)'(2)'(3)32g g g g -<<-,故选C. 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.导数几何意义.

4．B

【解析】

试题分析：类比题设等差数列性质,猜想: 设{},{}n n s t 是等比数列，若n n n r s t =，则{}n r 是等

比数列. 证明如下: {},{}n n s t 公比分别为,p q ,则11111n n n n n n n n n n

r s t s t pq r s t s t +++++==?=为非零常数,为真命题,故选B.

考点：1.类比推理；2.等比数列定义.

5．A

【解析】

试题分析：'2y ax =,1'2x y a ==,由于切线与260x y --=平行,所以22a =,1a =,故曲线在(1,1)处切线方程为12(1)y x -=-,化简得210x y --=,故选A.

考点：1.导数的几何意义；2.两直线平行的条件；3.函数在某一点处切线方程.

6．A

【解析】

试题分析：2

'()32f x x ax b =++，则()()11010f f =???'=??，2110320a b a a b ?+++=?++=?解得411a b =??=-?或

33

a b =-??=?，当3,3a b =-=时，22'()3633(2)0f x x x x =-+=-≥，此时()f x 在定义域R 上为增函数，无极值，舍去.当4,11a b ==-,2'()3811f x x x =--,1x =为极小值点,符合,故选A.

考点：1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件.

【易错点睛】本题主要考查用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得有极值的条件，'()0f x =是函数取得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，本题中，当3,3a b =-=时，'()0f x ≥，此时()f x 在定义域R 上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.本题容易错选A ，认为两组解都符合，一定要注意检验.

7．A

【解析】

试题分析：设第n 个三角形的石子数记为()f n ，则有

(1)1,(2)3,(3)6,(4)10,f f f f ====，

(1)1,(2)12,(3)1+2+3,(4)1+234,f f f f ==+==++猜想

(7)123+4+5+6+7=28f =++，故选A.

考点：合情推理.

8．C

【解析】 试题分析：2

'()(2)a g x x =-+，[]1,2x ∈，令'()0g x <，得0a >，故选C. 考点：函数的单调性与导数的关系.

9．D

【解析】 试题分析：1(99.51010.511)105x =++++=,1(11865)655m y m =++++=+,将点(10,6)5

m +代入方程^ 3.240y x =-+,求出10m =. 故选D. 考点：回归直线方程恒过样本点的中心(,)x y .

10．C

【解析】

试题分析：当0x >时,()ln f x x =,令()0,1f x x ==符合; 当0x ≤时, 2()33f x x x =+-,

令1,2()0,f x x ==因为0x ≤,所以x =. 故函数有两个零点,故选C. 考点：函数的零点求法.

11．D

【解析】

试题分析：由正三角形的内切圆、外接圆面积比为1:4，得到它们半径比为1:2.由类比推

理有,正四面体的内切球、外接球半径比为1:3,故体积比为331:3=1:27,选D.

考点：1.类比推理；2.球的体积公式.

【易错点睛】本题主要考查的知识点有：类比推理，圆的面积公式和球的体积公式，属于容易题. 类比推理是由特殊到特殊的推理.在本题中，把平面图形类比到空间图形，二维推广到三维，由正三角形的内切圆、外接圆半径比得到正四面体的内切球、外接球半径比，由球的

体积公式，得到内切球外接球体积之比.

12．C

【详解】

试题分析：由于函数()f x 在开区间2(,6)a a -有最小值,则函数()f x 的极小值点在

2(,6)a a -内, 且在2(,6)a a -内的单调性是先减再增. 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-,当

11x -<<时, '()0f x <,当1x >,'()0f x >,所以()f x 得最小值为(1)f .2

16()(1){a

a f a f <<-≥,得到21a -≤<,故选C.

考点：利用导数求函数的最值.

【易错点睛】

本题考查用导数求函数的最值，属于难题. 根据题意，求出函数()f x 的导数'()f x ，利用

导数求出函数()f x 的极小值来，由所给已知条件的分析，极小值点21(,6)a a ∈-. 本题中

的两个条件216,()(1)a a f a f <<-≥都容易漏掉，所以做题时一定要认真分析，充分挖掘题中的隐含条件，才能得到正确的答案.

13．9

【解析】

试题分析：'()44f x x =-,令'()0f x >有12x <≤,令'()0f x <有11x -≤<,所以函数()f x 在[

)1,1-为减函数,在(]1,2上为增函数. 故函数()f x 在[1,2]-上的最大值为(1)f -或(2)f , 而(1)9f -=,(2)3f =.故最大值为9.

考点：利用导数求二次函数在闭区间上的最大值.

14．0a ≤

【解析】

试题分析：2'()122f x x a =-，由于函数()f x 在R 上为增函数，所以'()0f x ≥恒成立，

得26a x ≤，2min (6)a x ≤，故0a ≤.

考点：1.函数单调性与导数的关系；2.恒成立问题的转化.

15．,,a b c 都不是偶数

【解析】

试题分析：用反证法证明命题时,假设命题的否定成立. ,,a b c 中至少有一个是偶数, 它的否定为: ,,a b c 都不是偶数.

考点：反证法.

【易错点睛】本题考查用反证法证明命题的方法，属于容易题. 反证法也叫归谬法，有的命题直接证明可能比较困难，这时就用反证法，“正难则反”.“,,a b c 中至少有一个是偶数”包括三个中有一个偶数，三个中有两个偶数，三个都是偶数等多种情况，而它的否定只包括一个情况：,,a b c 都不是偶数.

16．(1,0)(1,)-?+∞

【解析】

试题分析：构造函数()()()h x f x g x =,则函数()h x 是R 上的奇函数. 且(1)(1)0h h =-=,当0x >时，有()()()()0f x g x f x g x ''+>，即'()0h x >,所以函数()h x 在(0,)+∞上为增函数,且(1)0h =,则函数()h x 在(,0)-∞上为增函数,且(1)0h -=,()0h x >的解为

10x -<<或1x >.()()0f x g x >的解集为(1,0)(1,)-?+∞.

考点：1.函数的奇偶性；2.奇函数图象的特征；3.利用单调性解不等式.

【易错点睛】本题考查了奇偶函数的性质，判断函数的奇偶性，由单调性画草图等，属于中档题.本题构造新的函数是关键,由已知条件()()()()0f x g x f x g x ''+>想到

(()())'0f x g x >, 还要判断新函数的单调性, 利用“奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同”, 得到函数()h x 在(,0)-∞上的单调性,再画出草图,由图象得到解集.

17．证明见解析.

【解析】

试题分析：本题直接证明比较困难,故采用反证法. 试题解析：证明：假设2B π

∠≥，所以B C π∠+∠≥

与三角形内角的内角和为π矛盾

所以假设不成立 因此2B π

∠<

考点：反证法证明命题.

18．详见解析

【解析】 证明方法一：设(),(0,)1x f x x x

=∈+∞+ 设12,x x 是(0,)+∞上的任意两个实数，且210x x >≥，

1212121212()()11(1)(1)

x x x x f x f x x x x x --=-=++++ 因为210x x >≥，所以12()()f x f x <．所以()1x f x x =

+在(0,)+∞上是增函数． 由0a b c +>>知()()f a b f c +> 即11a b c a b c

+>+++ 证明方法二：直接做差证明 19．（1）23453333,,,78910a a a a =

===；（2）3,5n a n N n *=∈+. 【解析】

试题分析：（1）直接代入计算；（2）把133n n n a a a +=+变形为1113111,33n n n n a a a a ---+==+通过证明数列1{}n a 为等差数列, 求出1{}n

a 的通项公式, 得到{}n a 的通项公式n a . 试题解析：解：（1）由题可知112a =，133n n n a a a +=+， 所以1213337

a a a ==+，

2323338

a a a ==+。 343331393

a a a ===+ 45433310

a a a ==+ （2）由112a =，133n n n a a a +=+，n N *∈可知 0,n a n N *≠?∈

从而可得2n ≥，

111

3111,33n n n n a a a a ---+==+ 即 1111,3

n n a a --= 且1

12,a = 所以数列1{

}n a 是以2为首项，13为公差的等差数列，从而有 1152(1)33

n n n a +=+-= 所以 35

n a n =+， 因此数列{}n a 的通项公式为3,5n a n N n *=

∈+. 考点：形如1n n n pa a pa q

+=+(,p q 为常数)的数列的通项公式的求法. 20．（1）极大值为(1)2f =；函数无极小值；（2）当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为

(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调增区间为1(0,)a ，单调减区间为1(,)a

+∞. 【解析】

试题分析：（1）求出导函数()f x '，分别令()0f x '>、()0f x '<，求出x 的范围，得到极

值；（2）对函数()f x 求导，对实数a 分情况讨论，使()0f x '>或()0f x '<，得到函数()f x 的增区间或减区间.

试题解析：解：（1）当1a =时，()ln 3f x x x =-+，11()1(0)x f x x x x

-'=-=> 令()0f x '>解得01x <<，所以函数()f x 在(0,1)单调递增；

令()0f x '<解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增；

所以当1x =时取极大值，极大值为(1)2f =；函数无极小值。

（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x '=

-； 当0a ≤时，1()0f x x

'=

>在(0,)+∞恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞单调递增； 当0a >时 令()0f x '>解得10x a <<

，所以函数()f x 在1(0,)a

单调递增； 令()0f x '<解得1x a >，所以函数()f x 在1(,)a +∞单调递增； 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞

当0a >时，函数()f x 的单调增区间为1(0,)a ，单调减区间为1(,)a +∞

考点：1.利用导数求函数的极值和单调区间；2.分类讨论思想.

21．（1）甲厂生产的零件的优质品率估计为0080, 乙厂生产的零件的优质品率估计为0060；

（2）列联表见解析，有99.9%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异.

【解析】

试题分析：（1）分别求出甲厂和乙厂生产的零件内径尺寸落在[29.94,30.06)内的个数,用优质品数除以样本容量,算出百分比；（2）由（1）的数据填好22?列联表, 代入公式计算2K 的值, 利用给出的数据,得出结论.

试题解析：解 （1）甲厂抽查的产品中有400件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为400100%80%500

?=； 乙厂抽查的产品中有300件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为

300100%60%500

?=.

（2）

由列联表中的数据，得

2

2

1000(400200300100)47.61910.828700300500500K ??-?=≈>??? 所以有99.9%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．

考点：1.22?列联表的填写；2.独立性检验.

【思路点睛】本题重点考查了独立性检验的应用，属于容易题.独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出22?列联表，再根据列联表中的数据，代入

2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++，计算出k 值，然后代入临界值表，比较即可得到答案.

22．（1）()f x 的单调递增区间是(,)e +∞，递减区间是(0,)e ；（2）3[,)2

+∞.

【解析】

试题分析：（1）求出'()f x , 令()0f x '>,解得x 的范围,得到增区间, 令()0f x '<,解得x 的范围,得到减区间；（2）由不等式,得到213(ln )2x a x +≥, 转化为求函数213(ln )2()x h x x

+=的最大值.

试题解析：解：（1）当2m =-时，()(ln 2)ln 2f x x x x x x =-=-，

定义域为(0,)+∞，且()ln 1f x x '=-.

由()0f x '>，得ln 10x ->，所以x e >.

由()0f x '<，得ln 10x -<，所以0x e <<.

故()f x 的单调递增区间是(,)e +∞，递减区间是(0,)e ．

（2）当32

m =时，不等式()()g x f x ≥恒成立，

即

33(ln )32

a x x x x +≥+恒成立． 由于0x >，所以231ln 32

a x x +≥+， 即21ln 32a x x ≥+，所以213(ln )2x a x

+≥ 令213(ln )2()x h x x +=，则36ln ()x h x x -'=， 令()0h x '>，解得01x <<，所以()h x 在(0,1)上单调递增；

令()0h x '<，解得1x <，所以()h x 在(1,)+∞上单调递减；

所以()h x 在1x =处取得极大值3(1)2

h =，也是函数()h x 在定义域上的最大值． 因此要使2

13(ln )2x a x +≥恒成立，需有32a ≥， 所以a 取值范围为3[,)2

+∞． 考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.函数恒成立问题.

【思路点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最大值，属于难题.利用导函数()f x '的正负与原函数()f x 的单调性之间的关系. 即当()0f x '>时，()f x 单调递增，()0f x '<时单调递减；恒成立问题通常分离出参数，转化为求另一个函数的最值问题了.而最值也是利用导函数求出.