(完整word版)5.1角的概念的推广习题课
第17-19课时
【教学题目】 角的概念及终边相同的角习题课
【教学目标】
1、理解角的概念、角的三要素、象限角及界限角；
2、理解终边相同角的概念；
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；
3、会寻找在指定范围内与已知角终边相同的角.
【教学内容】
1、角的概念、角的三要素、象限角及界限角；
2、终边相同角的概念；
2、与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；
3、计算在指定范围内与已知角终边相同的角.
【教学重点】计算在指定范围内与已知角终边相同的角.
【教学难点】计算在指定范围内与已知角终边相同的角.
【教学过程】
一、知识梳理，归纳小结
1、终边相同的角的概念：如果当角α与角β的始边重合（X 轴非负半轴）时，它们的终边也重合，那么我们称角α与角β是终边相同的角.
2、终边相同的角之间的关系：
所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：
{}|360,S k k Z ββα==+?∈o
即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
即：α与β终边相同?0360k βα-=??α 与β相差0360的整数倍
?0360,k k Z βα=+?∈.
3、关于终边相同的角的几条重要结论
⑴关于终边相同的角中的最大负角和最小正角：与α终边相同的角{}|360,k k Z ββα=+?∈o 有无数个，其中β有最大负角和最小正角. ⑵x 轴上角的集合：{}|180,n n Z ββ=?∈o ；
⑶y 轴上角的集合：{}{}00|90180,|36090,n n Z k n Z ββββ=+?∈?=?±∈o o ； ⑷第一象限角的集合： {}000|36090360,k k k Z ββ?<<+?∈；
⑸第二象限角的集合：{}0000|90360180360,k k k Z ββ+?<<+?∈； ⑹第三象限角的集合：{}0000
|180360270360,k k k Z ββ+?<<+?∈； ⑺第四象限角的集合：
{}{}0000000|270
360360360,|270360360,k k k Z k k k Z ββββ+?<<+?∈?+?<
二、习题讲解，指点迷津——练习册P62-65—角的概念推广
练习册 A 组
1、选择题
⑴下列角中终边与0330角相同的是（ B ）
A 、030
B 、030-
C 、0630
D 、0630-
⑵01120-角所在的象限是（ D ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
⑶把01485-转化为000360(0360)k k z αα+?≤<∈的形式是（ D ）
A 、00454360-?
B 、00454360--?
C 、00455360--?
D 、003155360-? ⑷终边在第二象限的角的集合可以表示为（ D ）
A 、
{}0090180αα<< B 、{}000090180180180,k k k z αα+?<<+?∈ C 、{}0000270180180180,k k k z αα-+?<<-+?∈
D 、{}0000270360180360,k k k z αα-+?<<-+?∈
⑸下列命题是真命题的是（ D ）
A 、三角形的内角必是第一、第二象限的角
B 、第一象限的角必是锐角
C 、不相等的角终边一定不同
D 、{}{}000036090,18090,k k z k k z αααα=?±∈==?+∈
⑹已知集合A={第一象限的角} B={锐角} C={小于900的角}那么A 、B 、C 的关系是（ D ）
A 、B=A ∩C
B 、B ∪C=A
C 、A=B=C
D 、以上关系均不正确
2、填空题
⑴写出0720-到0720之间与01068-角终边相同的角的集合（ ）；
⑵若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为（ ）；
⑶在00到0360的范围内，与060-角的终边在同一条直线上的角为（ ）．
3、解答题
⑴求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角和最大负角； ①0210-； ②0'148437-．
⑵已知角α是第二象限的角，求 ①角
2
α是第几象限的角； ②角2α终边的位置．
练习册 B 组
1、选择题
⑴下列命题中正确的是（ B ）
A 、终边在y 轴非负半轴上的角是正角
B 、第二象限的角一定是钝角
C 、第四象限的角一定是负角
D 、若0360()k k z βα=+?∈则α与β的终边相同
⑵若α是第一象限的角，则是第四象限的角是（ ）
A 、090α-
B 、090α+
C 、0360α-
D 、0180α+
⑶若角α与β终边相同，则一定有（ ）
A 、αβπ+=
B 、0αβ+=
C 、2()k k z αβπ-=∈
D 、k αβπ+= ⑷下面各角中与0330角的终边相同的角是（ ）
A 、0150
B 、0390-
C 、0510
D 、0150-
⑸M={锐角}，N={小于090的角} ，p={第一象限的角} Q={小于090的正角}则下列等式成立的是（ ）
A 、M=N
B 、N=P
C 、M=P
D 、M=Q
2、填空题
⑴若角2α与0240角的终边相同，则α=（ ）；
⑵角α是0180到0360的范围内的一个角，若角5α与角α有相同的始边且又有相同的终边则角α为（ ）；
⑶若角α是第三象限的角，则
2
α角的终边在（ ），2α角的终边在（ ）． 3、解答题
⑴写出终边在直线y =上所有角的集合，并指出在下列集合中，最大负角是多少？
⑵有小于0180的正角，这个角的9倍角的终边与这个角的终边重合，求这个角的度数．
二、课堂小结，知识升华
1、角的概念、角的三要素、象限角及界限角；
2、终边相同角的概念；
2、与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；
3、计算在指定范围内与已知角终边相同的角．
三、作业布置，学情反馈
P习题5.1A组第2题、第3题．
课本
104
(完整版)角的概念的推广教学设计
角的概念的推广一教学设计 哈尔滨市交界职业高中杜银霞 课题：角的概念推广（第一课时） 教学目的： 1?掌握用旋转”定义角的概念，理解并掌握正角”负角”象限角”终边相同的角”的含义。 2. 掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法。 3?从射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。 教学难点：终边相同的角的表示。 设计理念： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。 教学过程： 一、复习引入： 1. 回忆：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是O°WaW 360°,但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于狭隘” 2. 生活中很多实例会不在范围0° 第1课时周期现象与角的概念的推广 1.通过实例使学生感受自然界存在着丰富的周期现象,使学生经历数据分析以及观察散点图特征的学习过程,领悟、思考周期现象. 2.观察实例,理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念及表示方法.通过类比正、负数的规定,认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用. 今天是星期一,7天后是星期几?21天后是星期几?86天后是星期几? 问题1:在现实生活中,具有周期现象的实例:海水的潮汐、候鸟的迁徙、四季变化、钟摆运动、一星期的往复、物理中的简谐振动、地球绕太阳公转等. 问题2:什么是角?角有哪些元素?怎样区分不同旋转方向所成的角? 平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角;旋转开始时的射线叫作角的边,旋转终止时的射线叫作角的边,射线的端点叫作角的顶点. 为了表示不同旋转方向所形成的角,可以把按逆时针方向旋转所形成的角叫作,按顺时针方向旋转所形成的角叫作,把没有旋转的射线也看成一个角,叫作. 问题3:什么是象限角?各象限角怎么表示?轴线角怎么表示? 当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是. 第一象限角的集合为; 第二象限角的集合为; 第三象限角的集合为; 第四象限角的集合为. 终边落在x轴上,角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z},终边落在y轴上,角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z},所以终边落在坐标轴上,角的集合 为. 问题4:终边相同的角 一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=,即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与的和. (1)终边相同角的前提条件:角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的重合. (2)对于终边相同的角应注意以下两点: ①k是;②α是. (3)k·360°与α之间是“+”号,如k·360°-30°可看成.(k∈Z) (4)终边相同的角相等,但相等的角的终边相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的倍. (5)一般地,终边相同的角的表达形式. 1.经过一个小时,手表上的时针旋转了(). A.30° B.-30° C.15° D.-15° 2.下列自然现象:月亮东升西落,气候的冷暖,昼夜变化,火山爆发.其中是周期现象的有(). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.角-950°12'的终边(除端点外)在第象限. 4.写出与70°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 周期现象的简单应用 如果今天是星期一,那么从明天算起,第100天是星期(). A.二 B.三 C.四 D.五 终边相同的角 在0°~360°之间,求出与下列各角终边相同的角,并判断下列各角是第几象限角. (1)825°17';(2)-1046°. §2 角的概念的推广 【教学目标】 1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角； 2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法； 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】 1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念； 2.初步学会终边相同的角的表示方法. 【教学难点】 终边相同的角的集合的表示方法. 【教学方法】 六环节分层导学法 【课前准备】 （学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查. 学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线. （小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。 （检查反馈） 学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题： 1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写； 2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件； 3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练； 4)概念辨析缺乏方法. 完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠. 【教学过程】 一、导入新课 初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题： （1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？ （2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？ （3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？ （4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？ 学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念. 教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角. 【板书】角的概念的推广 二、展示评价 学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价. 展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题. 三、导引探究 教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法. 探究1：判断角所在象限 例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （1）480°；（2）-760°；（3）932°； 归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限. 跟踪训练1：象限角的概念： 第一象限角的集合可表示为____________ ______； 第二象限角的集合可表示为_________ ________ _； 第三象限角的集合可表示为； 《角的概念的推广》——教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务——培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解——锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题——提高学生分析问题、解决问题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题——让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动——培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。 二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。 三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略：（1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：（1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。 31 角的概念的推广 教材分析 这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键． 教学目标 1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义． 2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法． 3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系． 任务分析 这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和掌握． 教学设计 一、问题情境 ［演示］ 1. 观览车的运动． 2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作． 3. 钟表秒针的转动． 4. 自行车轮子的滚动． ［问题］ 1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？ 5.1 角的概念的推广 【教学目标】 1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算． 2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念． 3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想． 【教学重点】 理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法． 【教学难点】 任意角和终边相同的角的概念． 【教学方法】 本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念． 环节教学内容师生互动设计意图 复习导入1．复习初中学习过的角的定义． 2．提出新问题： 运动员掷链球时，旋转方向可以 是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不 止一个平角，那如何来度量角的大小 呢？ 师：初中学过的角的定义是 什么？ 生：在平面内，角可以看作 一条射线绕着它的端点旋转而 成的图形． 师：如图： ∠AOB=∠BOA=120 ， B 初中时的角不考虑旋转方 向，只考虑旋转的绝对量 而且角的范围在0~360°． 复习旧知，使学生 发现旧知识的局限性， 激发学习新知识的兴 趣． 新课1．任意角的概念． （1）射线的旋转方向： 逆时针方向——正角； 顺时针方向——负角； 没有旋转——零角． 画图时，常用带箭头的弧来表示旋 转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的 角，又常称为转角． 教师画图说明正角，负角， 零角，以及角的始边、终边. 教师小结：由旋转方向的 不同定义正负角，由旋转量的不 同得到任意范围内的角． 1.1.1角的概念的推广（学案） 班级姓名 一、学习目标： 1. 理解“旋转”定义角的概念，掌握“正角”、“负角”、“零角”的意义． 2. 理解终边相同的角的意义，掌握与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法. 二、学习重点： 理解并掌握正角、负角和零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法. 一、课前预习： 1.角的概念的推广 （１）“旋转”形成角 在平面内，角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.旋转起始时的射线叫做角的，终止时的射线叫做角的，射线的端点叫做角的 . （２）角的表示方法：①常用字母A，B，C等表示；②也可以用字母α、β、γ等表示； ③特别是当角作为变量时，常用字母x表示. （３）“正角”、“负角”与“零角” 按逆时针方向旋转所得到的角为，如图1-1中，α为正角；而按顺时针方向旋转所得到的角为，如图1-2中，β为负角.我们还规定：当一条射线没有旋转时，也把 α=?. 它看成一个角，叫做 .这样，零角的始边和终边重合.如果角α是零角，那么0 2.象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做 3．与α有相同终边的角，连同α在内可以表示为 二、预习自测： 1.一昼夜时针转过多少度？ 2.跳水运动员后滚翻两周半跳水，转过多少度？ 3.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是 B. - A 60 . 60 - ? ? C30 ? ?30 D 4.将-885°化为α+ k·360°(0°＜α＜360°，k∈Z)的形式是 A.-165°+ (-2)·360° B.195°+ (-3)·360° C. 195°+ (-2)·360° D.165°+ (-3)·360° 5.下列命题中正确的是 A.第一象限角一定不是负角 B.小于90°的角一定是锐角 C.钝角一定是第二象限角 D.终边相同的角一定相等 6.若α是锐角，则180°－α是 A.第一象限角 B.第二角限角 C.第三象限角 D.第四象限角 三、合作探究 合作探究一：角概念的理解 锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？ 例1.射线OA绕端点O顺时针旋转80o到OB位置，接着逆时针旋转250o到OC位置，然后 ∠大小. 再顺时针旋转270o到OD位置，求AOD 合作探究二：象限角的理解 如果α是第一象限的角，那么α的取值范围可以表示为怎样的不等式？其它几个象限呢？一____________________________________________________ 二______________________________________________________ 三______________________________________________________ 四_______________________________________________________ 合作探究三：轴线角的理解 《角的概念的推广》一一教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务一一培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解一一锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题一一提高学生分析问 题、解决冋题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题一一让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动一一培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。 二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。 三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略： （1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导： （1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。 《1.2.1任意角的三角函数》 尊敬的各位评委、各位老师， 大家好！ 今天我说课的容是《1.2.1任意角的三角函数》 下面我将围绕本节从教材分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程设计这几个方面来进行我的说课。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是人教版高中数学必修4中第一章第二节《1.2.1任意角的三角函数》。 在学习本课之前，学生在必修1的学习中对函数有了一定的认识，而三角函数也是基本初等函数之一，它是描述周期现象的重要数学模型，从而本节是学生在锐角三角函数的基础上进行的扩展，是本章教学容的基本概念，是这一章最重要的一节课。 本节课以函数思想为指导，以坐标系和单位圆为定义工具，以初中学过的锐角三角函数为认知的起点，来掌握三角函数新的定义。新的定义可以更好的反应三角函数的本质，使得三角函数反应的数形关系更加的直接，数形结合更加紧密。 它是本章的基础，对三角函数的整体学习至关重要；同时它又是以后学习平面向量、解析几何等容的必要准备，通过这部分容的学习可以进一步的帮助学生理解函数这一基本概念。 2、学情分析 ①、我们的学生在初中学习的时候，是以直角三角形为背景去学习锐角三角函数，并没有从函数角度去认识锐角三角函数。 学生习惯了用直角三角形的比值去定义三角函数，对于用角终边上点的坐标来定义三角函数在认识上就存在着一定的障碍。 ②、我校的学生数学基础相对较差，多数同学对数学的学习没有兴趣和积极性。 ③、学生的学习能力、理解能力较差，学习习惯不好，所以必须在老师的指导下才能进行。 二、教学目标 根据新课标对本节课的教学要求，结合学生已有的认知能力和以上教材分析，我从知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三个方面来设计本节课的三维目标。 1、知识与技能 掌握任意角的三角函数的定义；会求角α的各三角函数值；理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式。 2、过程与方法 体验三角函数概念的产生、发展过程，通过对三角函数值的符号，诱导公式（一）的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力；领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的思想。 3、情感态度与价值观 通过概念生成的过程，让学生去感受数学的自然美与简洁美 培养学生通过现象看本质的唯物主义观，培养学生实事的科学态度。 三、教学重、难点 Ⅰ、教学重点：①、正确理解三角函数的定义；②、任意角三角函数在各个象限的符号；③、终边相同角的诱导公式（一） Ⅱ、教学难点： 【课题】5．1 角的概念推广 【教学目标】 知识目标： ⑴了解角的概念推广的实际背景意义； ⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念． 能力目标： （1）会判断角所在的象限； （2）会求指定范围内与已知角终边相同的角； （3）培养观察能力和计算技能． 情感目标： （1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神； （2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】 终边相同角的概念． 【教学难点】 终边相同角的表示和确定． 【教学设计】 （1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广； （2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角； （3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力； （4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法． 【教学备品】 教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 0°（1）（2） 终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角． 运用知识强化练习 教材练习5.1.1 ．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角： ⑴ 60°；⑵?210°；⑶225°；⑷?300°． 动手操作实验观察 用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时 终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为 角终边相同的角的集合是 说明写出终边在y轴上的角的集合． 第一节：角的概念的推广及弧度制 一、基础知识 1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置得到的图形（正角：逆时针；负角：顺时针；零角：没做任何旋转） 2、象限角：以角的顶点为原点，以角的始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，由角的终边所在位置确定象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限称为“轴上角”或“象限界角”） 3、与α终边相同的角（连同α在内）可写作{}Z k k x x s ∈+==,360|α 4、弧度的定义：圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角 '18573.571801 ==∏ =rad 1801∏= 5、弧长公式及扇形面积公式 R l l ||||R 22αα=?=∏∏ lR R S S 2 1||21||R 222==?=∏∏αα 二、重要题型剖析 1、常用的角的集合表示法 （1）终边相同的角 例1、当α的终边分别落在x 轴的正半轴上，y 轴的负半轴上时，则α用弧度制表示，分别组成的集合 例2、①终边落在x 轴上的角的集合 ②终边落在y 轴上的角的集合 ③终边落在坐标轴上的角的集合 ④终边落在第一三象限平分线上角的集合 （2）区域角和对顶角 例1、写出阴影区域表示的角α集合（包括边界） 例2、①终边在第一象限角的集合 ②终边在第一四象限角的集合 ③终边在第二象限角的集合 ④终边在第一二象限角的集合 ⑤终边在第三象限角的集合 ⑥终边在第二三象限角的集合 （3）对称角 2、已知角x 所在象限求232x x x 、、所在象限 例1、若θ为第三象限，求 32θθ、所在象限并在该象限表示出来 3、旋转角度的应用题 例1、当12点过4 1小时的时候，时钟的长短针的夹角为多少弧度？ 例2、时针走过2小时40分，则分针转过的角为多少？ 角的概念的推广教学设计 扶风县第二高中冯海平 一、教学内容解析： 1．本节课的主要内容是角的概念的推广，主要是运用运动观点来定义和理解角，即用角的始边和终边及旋转方向来定义任意角，从而达到对角的概念的推广。 2．地位和作用：本节内容是高中数学北师大版必修四第一章三角函数的第二节，是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数。 本节课《角的概念的推广》就起到了一个铺垫的作用。它是学习任意角的三 角函数必备的知识。 二、教学目标设置 1.知识与技能 （1）理解为什么要推广角的概念，怎样来推广,理解并掌握正角、负角、零角的定义 （2）理解任意角、象限角的概念；掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；会判断是哪个象限角还是终边在坐标轴上的角 （3）类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广 2.过程与方法 （1）借助图片、视频、实物演示、动手绘制角等手段，让学生充分体会到多媒体等手段对数学教学的作用。 （2）在老师的引导、及时评价下，同学之间的互相评价下，学生积极探究知识的形成过程。 3.情感、态度与价值观 （1）通过本节的学习，让学生意识到数学来源于生活，服务于生活，激发学习数学的兴趣。 （2）体会数形结合思想，学会运用运动变化的观点认识事物. （3）通过课堂上的学生自评、互评，教师评价，培养学生竞争意识和团队合作意识，锻炼学生的语言表达能力，提高分析问题和解决问题的能力。 重、难点突破措施： 采用看图片，视频，列举生活中的实例等多种形式来理解为什么要推广角的概念?怎样来推广？这两个问题。借助电子白板和几何画板让同学做角，来感受现在的角是动态的。再用几何画板展示终边相同的角的产生过程，从而理解终边相同的角不是一个而是无数个，这些角可以组成一个集合。这样会形象直观理解这些抽象的概念，并且产生了深刻的印象。 三、学情分析 高一学生因为在初中学习时，学习态度，学习方法，学习能力的不同，知识掌握程度参差不齐，两级分化已经形成，但普遍储备了一定感性具体的数学问题情境，在初中，学生学习了角的定义，角的范围很窄。现实中存在大量的角，但无法用初中角的知识来解决，例如：五边形内角和540°，他们是知道的但无法做的。因此我们本节课的教学要充分关注整个知识的产生过程，充分调动了学生的参与性，再借助多媒体形象直观展示。 任意角的三角函数（第一课时） 教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验. 3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. 4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 一、重点、难点、关键 重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）. 二、教学过程 [执教线索： 回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）——问题情境：能推广到任意角吗？——它山之石：建立直角坐标系（为何？）——优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关 系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）——自主定义：任意角三角函数定义——登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）——例题与练习——回顾小结——布置作业] （一）复习引入、回想再认 开门见山，面对全体学生提问： 在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？ 探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下： （情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？ 让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调： 传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域. 现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射?：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： f（x），x∈A ，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域. （情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习 第一章§2 一、选择题 1．与600°终边相同的角可表示为(k∈Z)() A．k·360°＋220°B．k·360°＋240° C．k·360°＋60°D．k·360°＋260° 2．已知S＝{α|α＝k·360°－175°，k∈Z}，则集合S中落在－360°～360°间的角是() A．185°B．－175° C．185°，－175°D．175°，－175° 3．下列说法中正确的是() A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角 C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等4．若α为第二象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是() A．第一象限B．第一、二象限 C．第一、三象限D．第二、四象限 5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为() A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z 6．判断下列角的集合的关系： 设集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则() A．A包含于B B．B包含于 A C．A∩B＝?D．A＝B 二、填空题 7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝____________________. 8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝______________. 9.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界)，那么角α的集合是________． 三、解答题 10．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)－720°到－360°的角． 做完后，请看后面答案订正 第二课时角的概念的推广 教学目标： 熟练掌握象限角的集合、轴线角的集合及终边相同的角的表示方法 教学重点： 轴线角的集合，终边相同的角的表示方法 教学难点： 终边相同的角的表示方法 教学过程： I ?复习回顾 请思考并回答以下问题： 1?正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的表示方法是如何定义的? 2?角的定义只强调了射线绕端点旋转的方向，而没有谈及射线绕端点旋转的圈数，那么射线绕端点旋转的圈数对角有无影响？ 3?能否说射线绕端点旋转的圈数越多，角就越大呢？ 4?如图所示的/ ABC是第一象限角吗？为什么？ 指出：①在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的大小?②射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈 数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小 ?③象限角概念中强调“角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合”这一条件 n ?例题分析 ［例1］写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360。的角表示)第一步：在0。到360。内找到满足上述条件的角，即90 °、270° 第二步：写出与上述角终边相同的角的集合，即 S i= { 3 I3 = 90°+ k ? 360° , k€ Z} S2= { 3 |3 = 270°+ k ? 360°, k€ Z} 第三步：写出几个集合的并集，即 s= S1U 5 = { 3 |3 = 90°+ k ? 360 °, k€ Z} U { 3 |3 = 270 °+ k ? 360 ° , k €Z} ={ 3 |3 = 90°+ 2k ? 180°, k€ Z} U { 3 |3 = 90°+ (2k+ 1) ?180°, k€ Z} ={ 3 |3 = 90°+180°的偶数倍} U { 3 |3 = 90°+ 180° 的奇数倍} ={ 3 |3 = 90°+180°的整数倍} = { 3 |3 = 90°+ n ? 180°, n € Z} 能写出终边在x轴的非负半轴、非正半轴上的角的集合吗？ 终边在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x= k ? 360° , k€ Z}，终边在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x= k ? 360°+ 180°, k€ Z}? 以上两个集合的并集代表什么特殊位置上的角的集合呢？ ［例2］写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式一360°< 3 < 720°的元素3写出来： (1) 60°(2)- 21°(3) 363° 14' 第一步：利用终边相同的角的集合公式写出： (1) S= { 3 |3 = 60°+ k ? 360° , k€ Z} (2) S= { 3 |3 =- 21 °+ k ? 360°, k€ Z} 2 角的概念的推广 教学目标】 1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角； 2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法； 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法 【教学重点】 1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念； 2.初步学会终边相同的角的表示方法. 【教学难点】 终边相同的角的集合的表示方法. 【教学方法】 六环节分层导学法 【课前准备】 （学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查. 学生预习教材P6-8 相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线. （小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。 （检查反馈） 学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题： 1）书写不够规范，角的单位“°”容易漏写； 2）思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件； 3）终边相同的角的表示方法掌握不熟练； 4）概念辨析缺乏方法. 完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠 【教学过程】 「、导入新课 初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题： （1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？ （2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？ （3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？ （4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？ 学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念 教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角 及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性?之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角 【板书】角的概念的推广 二、展示评价 学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念， 这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学 生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价 展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题 三、导引探究 教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来 讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法 探究1 :判断角所在象限 例1在0° ~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限 角： （1）480°；（2）-760°；（3）932 ° ; 归纳小结：判断角a所在象限的方法：先在0° ~360。之间，找出与所求角终边相同的 角因为a与B终边相同，因此只需判断角B所在象限，即为角a所在象限?跟踪训练1:象限角的概念： 第一象限角的集合可表示为_____________________________________ ； 第二象限角的集合可表示为_____________________________________ ； 第三象限角的集合可表示为____________________________________ ； 第四象限角的集合可表示为_____________________________________ . 跟踪训练2 :锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？ 兴义市天赋中学数学必修一教案： 4.1角的概念推广（1） 教学目的： 1?掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角” “象限角” “终边相同的角”的含义■ 2.掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法 3 ?体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念； 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的 表示. 授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方 法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法 方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生 从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的. 教学过程： 一、复习引入： 1 ?复习：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形+ 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0°,360°], 这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”H 2 ?生活中很多实例会不在改范围[0°,360°] 体操运动员转体720o,跳水运动员向内、向外转体1080。 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？ 这些例子不仅不在范围[0°,360°]，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办 法才能推广到任意角？（运动） 二、讲解新课： 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 2020 高一数学教案下学期 4.1 角的概念的推广_0909文档 EDUCATION WORD 高一数学教案下学期 4.1 角的概念的推广_0909文档 前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。 本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】 教学目标 1．理解引入大于角和负角的意义． 2．理解并掌握正、负、零角的定义． 3．掌握终边相同角的表示法． 4．理解象限角的概念、意义及其表示方法． 重点难点 1．理解并掌握正、负、零角的定义． 2．掌握终边相同角的表示法． 教学用具 直尺、投影仪 教学过程 1．设置情境 设置实例（1）用扳手拧螺母（课件）；（2）跳水运动员身体旋转（视频）．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法． 2．探索研究 （1）正角、负角、零角概念 ①一条射线由原来位置，绕着它的端点，按逆时针方向旋转转到形成的角规定为正角，如图中角；把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角，如图中的；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角规定为零角，与初中所学角概念一样，、，点分别叫该角的始边、终边、角顶点． ②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为轴上角． ③我们作出，及三个角，易知，它们的终边相同。还可以看出，，的终边也是与角终边重合的，而且可以理解，与角终边相同的角，连同在内，可以构成一个集合，记作．一般地，我们把所有与角终边相同的角，连同角在内的一切角，记成，或写成集合形式． （2）例题分析 【例1】在～间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它北师大版数学必修四：《周期现象与角的概念的推广》导学案(含解析)
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