2013年苏州、无锡、常州、镇江四市高三二模数学试卷
2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（—）
数学Ⅰ试题 2013.3
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3,5B =，则()U A B =e ▲ ．
2．若实数a 满足
221ai
i i
+=-，其中i 是虚数单位，则a = ▲ ． 3．已知m 为实数，直线1:30l mx y ++=，2:(32)20l m x my -++=，
则“1m =”是“12//l l ”的 ▲ 条件（请在“充要、充分不 必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个天空）． 4
．根据右图的伪代码，输出的结果T 为 ▲ ．
5．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若l β?，且αβ⊥，则l α⊥；②若l β⊥，且//αβ，则l α⊥； ③若l β⊥，且αβ⊥，则//
l α；④若m αβ=，且//l m ，则//l α．
则所有正确命题的序号是 ▲ ．
6．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上， 则露在外面的6个数字恰好是2，0，1，3，0，3的概率为 ▲ ． 7．已知0
1cos(75)3
α+=
，则0
cos(302)α-的值为 ▲ ． 8．已知向量a ，b 的夹角为0
45，且1a =，210a b -=，则b = ▲ ． 9．设n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，已知
2142
n n S n T n +=-，*n N ∈，
则
1011
318615
a a
b b b b +=++ ▲ ．
10．已知1F ，2F 是双曲线的两个焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ?，若边1MF 的中点在
此双曲线上，则此双曲线的离心率为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A ，函数x
y e =的图像与y 轴的交点为B ，P 为函数
x y e =图像上的任意一点，则OP AB 的最小值 ▲ ．
12．若对于给定的正实数k ，函数()k
f x x
=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2，则k 的取值范围是 ▲ ．
13．已知函数123
()1234
x x x x f x x x x x +++=+++
++++，
则55((22f f -+-= ▲ ．
14．设函数()ln f x x =的定义域为(),M +∞，且0M >，对于任意a ，b ，(,)c M ∈+∞，
若a ，b ，c 是直角三角形的三条边长，且()f a ，()f b ，()f c 也能成为三角形的三条边长，那么M 的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)
在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．
（1）若3
2
BA BC
=，b =a c +的值； （2）求2sin sin A C -的取值范围．
如图，在三棱柱111A B C ABC -中，已知E ，
F ，
G 分别为棱AB ，AC ，11A C 的中点，
90
ACB ∠=，1A F ⊥平面ABC ，
CH BG ⊥，H 为垂足．求证：
（1）1//A E 平面GBC ； （2）BG ⊥平面ACH ．
17．(本小题满分14分)
已知实数a ，b ，c R ∈，函数3
2
()f x ax bx cx =++满足(1)0f =，设()f x 的导函数为()f x '，满足(0)(1)0f f ''>． （1）求
c
a
的取值范围； （2）设a 为常数，且0a >，已知函数()f x 的两个极值点为1x ，2x ，11(,())A x f x ，
22(,())B x f x ，求证：直线AB 的斜率2,9
6a a k ??
∈-- ???．
1
A
某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O ，半径为R （米）的球形灯泡．该
灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA ，EB ，EC ，ED 所在圆的圆心都是O 、半径都是R （米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF 垂直于地面，杆顶E 到地面的距离为h （米），且h R >；灯脚1FA ，1FB ，1FC ，1FD 是正四棱锥1111F A B C D -的四条侧棱，正方形1111A B C D 的外接圆半径为R （米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a (元)，灯托造价是每米
3
a
(元)，其中R ，h ，a 都为常数．设该灯架的总造价为y (元) ．
（1）求y 关于θ的函数关系式； （2）当θ取何值时，y 取得最小值？
11
已知椭圆22:14
x E y +=的左、右顶点分别为A ，B ，圆22
4x y +=上有一动点P ，P 在x 轴的上方，(1,0)C ，直线PA 交椭圆E 于点D ，连结DC ，PB ． （1）若0
90ADC ∠=，求ADC ?的面积S ；
（2）设直线PB ，DC 的斜率存在且分别为1k ，2k ，若12k k λ=，求λ的取值范围．
20．(本小题满分16分)
设数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项的和为n S ，对于任意正整数m ，n
，
1m n S +=恒成立．
（1）若11a =，求2a ，3a ，4a 及数列{}n a 的通项公式； （2）若4212(1)a a a a =++，求证：数列{}n a 成等比数列．
2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（—）
数学II （附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内．作答．．
，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4－1 几何证明选讲） （本小题满分10分） 如图，已知CB 是⊙O 的一条弦，A 是⊙O 上任意一点，过点A 作⊙O 的切线交直线CB 于点P ，D 为⊙O 上一点，且ABD ABP ∠=∠．
求证：2
AB BP BD =?．
B ．（选修4—2：矩阵与变换） （本小题满分10分）
已知矩阵10a A c ??=?
??? 的一个特征值为11λ=-，其对应的一个特征向量为111α-??
=????
，
已知81β??=????
，求5
A β.
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） （本小题满分10分）
已知直线l
的参数方程21x t
y =-???=+??（t 为参数），圆C 的极坐标方程：2sin 0ρθ+=．
（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）在圆C 上求一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小．
D.（选修4—5：不等式选讲） （本小题满分10分）
已知a ，b ，c 都是正数，且236a b c ++=
+的最大值．
（第21-A 题）
· O
A
B P
D
C
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内． 22．（本小题满分10分） 如图，圆锥的高4PO =，底面半径2OB =，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，
F 为底面圆周上一点，满足EF DE ⊥．
（1）求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； （2）求二面角O DF E --的正弦值．
23．（本小题满分10分）
（1）山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；
（2）某城市有n （n 为奇数，3n ≥）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这n 个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．
答案：
O E D A F B P