中国石油大学(华东)概率试卷(一)卷及答案

《概率论与数理统计》试卷一

一、选择题（共6小题，每小题3分，共计18分） 1．设事件A 与B 互不相容，则( D ).

A ．()0P A

B ?=； B ．()()()P AB P A P B =； C. ()1()P A P B =-； D ．()1P A B ?=.

2. 设随机变量X 的分布函数为0, 0 1(), 0121, 1

x x F x x e x -

=≤

A ．0；

B ．12； C. 11

2

e --； D ．11e --.

3. 设随机变量X 的分布函数为1

()0.3()0.7(

)2

x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布，则EX =（ C ）.

A. 0;

B. 0.3；

C. 0.7;

D. 1 .

4．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则

22(1}P X Y +≤=（ D ）. A. 14; B. 12； C. 8π; D. 4

π.

5. 设随机变量X ,Y 独立同分布，X 的分布为F (x )，max{,}Z X Y =的分布函数 为（ B ）.

A ．()()F x F y ；

B ．2()F x ；

C.21[1()]F x --； D ．[1()][1()]F x F y --.

6. 设二维随机变量（X ，Y ）服从22(, ;, 0)N μμσσ；则2()E X Y =（ A ）.

A.22()μμσ+； B ．2()μμσ+； C. 22()σμσ+ ； D ．2()σμσ+.

二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）

1.已知111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===，则()P A B = 1

3.

2. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则2()P X EX ==11

2

e -.

3. 设随机变量X 和Y 相互独立，密度函数分别为1, 01

()0, X x f x ≤≤?=?

?

其它 ，

, 0()0, y

Y e y f y -?>=?

?其它，则Z =X +Y 的概率密度为()Z f z =1, 01

(1), 1 0, z z e z e e z --?-≤

-≥???

其它. 4. 设12,,,m X X X ???为来自二项分布总体(,)b n p 的简单随机样本，2,X S 分别为样本

均值和样本方差，若22[]=E X kS np +，则k = -1 .

三、计算下列各题（共3小题，每小题8分，共计24分）

1. 在150个产品中有40个次品，110个正品，从中任取20个产品，求 （1）恰好取到9个次品的概率；（2）至少取到2个次品的概率.

解：（1） 911

40110

120

150

C C p C =. （2） 2011911040110

22020150150

1C C C p C C =--.

2. 设随机变量X 的概率密度函数 2, 01

()0, x x f x <

其它，

现对X 作40次独立重复观察，求事件1

{}2

X ≤出现的次数在10至15

之间的概率. （提示：用正态逼近，(1.83)0.9664Φ=）

解 记Y 表示40次独立重复观察中事件1{}2

X ≤出现的次数，由题知

~(40,)Y b p ，其中

12011

()224p P X xdx =≤==?

即 1~(40,)4Y b ，15

10,2

EY np DX npq ====，

(1015)(0)P Y ΦΦΦΦ????

≤≤≈-=-??

()= 1.83(0)0.96640.50.4664.ΦΦ-=-=

3．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为0.5，若第一次 及格则第二次及格的概率也为0.5，若第一次不及格则第二次及格的概率为 0.25. 求（1）该学生两次考试中至少有一次及格的概率；

（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率. 解 （1）设12,A A 分别表示第一、二次考试及格。

121212()()()()P A A P A P A P A A ?=+- 220.5(0.50.50.25)0.5=++?-=0.625

（2）212122

2()0.52

(|)()0.50.50.253

P A A P A A P A ===+?。

四、（10分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从

袋中取两次球，每次取一个，以X ，Y 分别表示两次取球所得的红球、黑 球的个数，（1）求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律；

（2）求在X =1下，Y 的条件分布律.

解 （1） （X ,Y ）的联合分布律：

0 1 2111

0 4636

11 1 0

39

1 2 0 0

9

Y X

（2）在X =1下，Y 的条件分布律：

0 1

32

55

Y p 。

五、（10分）设二维随机变量（X, Y）的联合概率分布律为

0 1

0 0.1 0.2

1 0.3 0.4

X Y

求（1）EX，EY，DX，DY；

（2）X, Y的协方差、相关系数；

（3）（X, Y）的协方差阵、相关阵.

解（1）0.7,0.6,0.21,0.24.

EX EY DX DY

====

（2）0.4,

EXY=

(,)0.40.420.02,

Cov X Y EXY EXEY

=-=-=-

0.089.

XY

ρ===-

（3）协方差阵

0.210.02

,

0.020.24

-

??

∑= ?

-

??

相关阵

10.089

.

0.0891

R

-

??

= ?

-

??六、（10分）设二维随机变量(X, Y )在G上服从均匀分布，其中G由

0,2,0

x y x y y

-=+==所围成，求:

（1）关于X，关于Y的边缘密度函数；

（2）问X与Y是否独立？为什么？

（3）计算概率()

3

X

P Y≤.

解：（1）

, 01

()2 12

0,

X

x x

f x x x

<≤

?

?

=-<≤

?

?

?

，

其它

，

22, 01

()

0,

Y

y y

f y

-≤≤

?

=?

?其它

；

（2）X,Y不独立，因为在G上，(,)()()

X Y

f x y f x f y

≠.

（3）

1

2

2

03

1

()

32

y

y

X

P Y dy dx

-

≤==

??.

七、（共两小题，每小题8分，共16分）

1. 设随机变量X与Y的概率分布分别为

0 112 33X p ， 1 0 1111

333

Y p -

且 22(=)1P X Y =，求(1) (,)X Y 的联合分布律；（2）(,)X Y 的相关系数. 解 （1） (,)X Y 的联合分布律为：

1 0 1

1 0 0 03

11

1 0 33

X Y -

（2）2

(,)0003

Cov X Y EXY EXEY =-=-?=，

0.XY ρ=

2. 设12,X X 为来自2~(0,)X N σ的样本，试确定2

1212X X Y X X ??

+= ?-??

的分布.

解 212~(0,2)X X N σ+~(0,1)N 212~(0,2)X X N σ-~(0,1)N 又由多维正态分布的性质可知，12X X +与12X X -相互独立，

故 212212X X Y X X ??+== ?-??~(1,1).

F