低通、带通、带阻滤波器设计

西南科技大学

课程设计报告

课程名称：数字通信课程设计

设计名称：FIR 低通、带通和带阻数字滤波器的设计姓名：

学号:

班级：通信0801

指导教师：胥磊

起止日期：2011.6.21-2011.7.3

西南科技大学信息工程学院制

课程设计任务书

学生班级：通信0801 学生姓名：学号：

设计名称：FIR 低通、带通和带阻数字滤波器的设计

起止日期：2011.6.21-2011.7.3指导教师：胥磊

设计要求：

1、采用Kaiser窗设计一个低通FIR滤波器

要求：

●采样频率为8kHz；

●通带：0Hz~1kHz，带内波动小于5%；

●阻带：1.5kHz，带内最小衰减：Rs=40dB。

2、采用Hamming窗设计一个带阻FIR滤波器

要求：

●通带：0.35pi~0.65pi，带内最小衰减Rs=50dB；

●阻带：0~0.2pi和0.8pi~pi，带内最大衰减：Rp=1dB。

采用Hamming窗设计一个70阶的双通带线性相位FIR滤波器

要求：第一通带0.2pi~0.4pi，第二通带0.6pi~0.8pi

4、分别绘制这三种数字滤波器的幅度响应曲线和相位响应曲线；

5、对三种滤波器的性能进行比较和分析。

课程设计学生日志

时间设计内容

7月1日查阅资料，确定设计思路

7月2日编写程序，调试程序

7月3日完成程序，着手写报告

7月4日最后检查，答辩

课程设计考勤表

周星期一星期二星期三星期四星期五

！

课程设计评语表指导教师评语：

成绩：指导教师：

年月日

FIR 低通、带通和带阻数字滤波器的设计

一、 设计目的和意义

1、熟练掌握使用窗函数的设计滤波器的方法，学会设计低通、带通、带阻滤波器。

2、通过对滤波器的设计，了解几种窗函数的性能，学会针对不同的指标选择不同的窗函数。 二、 设计原理

一般，设计线性相位FIR 数字滤波器采用窗函数法或频率抽样法，本设计采用窗函数法，分别采用海明窗和凯泽窗设计带通、带阻和低通。

如果所希望的滤波器的理想频率响应函数为)(jw d e H ，如理想的低通，由信号系统的知识知道，在时域系统的冲击响应h d (n)将是无限长的，如图2、图3所示。

H d (w)

-w c w c

图2

图3

若时域响应是无限长的，则不可能实现，因此需要对其截断，即设计一个FIR 滤波器频率响应∑-=-=1

0)()(N n jwn jw

e n h e H 来逼近)(jw d e H ，即用一个窗函数w(n)来截断

h d (n)，如式3所示：

)()()(n w n h n h d =

（式1）。

最简单的截断方法是矩形窗，实际操作中，直接取h d (n)的主要数据即可。

)(n h 作为实际设计的FIR 数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数为：

∑-=-=1

)()(N n jwn jw

e n h e H

（式2）

令jw e z =，则

∑-=-=1

0)()(N n n z n h z H

（式3），

式中，N 为所选窗函数)(n w 的长度。

如果要求线性相位特性，)(n h 还必须满足：

)1()(n N h n h --±= （式6），根据式6中的正、负和长度N 的奇偶性又将线性

相位FIR 滤波器分成四类。要根据所设计的滤波器特性正确选择其中一类。例如：要设计线性相位低通特性，可选择)1()(n N h n h --=类。

三、 详细设计步骤

s S f T Ω=Ω=ω

（公式4）

表1

窗函数过滤带宽/（2π/N ）阻带最小带宽

海明窗

3.3-53凯泽窗

5

-80

1、采用Kaiser 窗设计一个低通FIR 滤波器

要求：

采样频率为8kHz ；

通带：0Hz~1kHz ，带内波动小于5%； 阻带：1.5kHz ，带内最小衰减：Rs=40dB

思路分析：

根据公式4可以得到通带截止频率p ω为0.25π，阻带截止频率s ω为0.375π。根据表1可算得ω

π

?=

10N ，则凯泽窗的时域表达式可以通过n ω=kaiser(N)得到。

低通滤波器的时域表达式是()()()()

?-?-=n pi n n h dn ωsin ，其中

?应该关于

2

1

-N 对称。这样，滤波器就得到了为:()()n dn d n h n h ω=。最后利用函数freqz 得到加窗后的滤波器的幅频响应和相频响应。

程序见附件1。

2、采用Hamming 窗设计一个带阻FIR 滤波器

要求：

阻带：0.35pi~0.65pi ，带内最小衰减Rs=50dB ； 通带：0~0.2pi 和0.8pi~pi ，带内最大衰减：Rp=1dB

思路分析：

根据要求知阻带截止频率s ω分别为0.35π，π65.0。通带截止频率为0.2π和0.8π。.根据表1可算得ω

π

?=

6.6N ，则海明窗的时域表达式可以通过n ω=hamming(N)得到。带阻滤波器可以看成是高通加低通。它的时域表达式是()()()()()()()()()()

?-?-+?-?--?-?-=

n pi n n pi n n pi n n h l h dn ωωπsin sin sin ，其中?应该关于2

1

-N 对称。这样，滤波器就得到了为:()()n dn d n h n h ω=。最后利用函数freqz 得到加窗后的滤波器的幅频响应和相频响应。

程序见附件2

3、采用Hamming 窗设计一个70阶的双通带线性相位FIR 滤波器

要求：第一通带0.2pi~0.4pi ，第二通带0.6pi~0.8pi 思路分析：

根据要求只知道四个通带带截止频率s ω分别为0.2π，π4.0，0.6π,0.8π。并不知道阻带截止频率，于是假设四个阻带截止频率为0.15π,0.45π，0.55π,0.85π。.由题知N=70，则海明窗的时域表达式可以通过n ω=hamming(N)得到。带通滤波器可以看成是高通减低通。它的时域表达式是()()()()()()()

?-?-+

?-?-=

n pi n n pi n n h l h dn ωωsin sin ，其中?应该关于21-N 对称，而双带通滤波器乐意看成是两个带通滤波器相加。这样，滤波器就得到了为:()()n dn n dn d h n h n h ωω21+=。最后利用函数freqz 得到加窗后的滤波器的幅频响应和相频响应。

程序见附件。

附程序：%子函数，产生理想滤波器的时域波形

function hd=ideal(w,N);%1，2型理想低通滤波器单位单位脉冲响应hd(n),w 为窗口长度，

N为截止频率%

alpha=(N-1)/2;

n=[0:N-1];

m=n-alpha+eps;%加一个小数以避免零作除数

hd=sin(w*m)./(pi*m);

附件1：

% 1、采用Kaiser窗设计一个低通FIR滤波器要求：

% 采样频率为8kHz；

% 通带：0Hz~1kHz，带内波动小于5%；wp=0.、25pi

% 阻带：1.5kHz，带内最小衰减：Rs=40dB。wst=0.375pi

%

clc

clear

Rs=40;

Wp=0.25*pi; %根据通带：0Hz~1kHz，带内波动小于5%；得wp=0.125pi

Wst=0.375*pi; % 阻带：1.5kHz，带内最小衰减：Rs=40dB。得wst=0.1875pi

dert_w=Wst-Wp;

% N=ceil((Rs-7.95)*2*pi/(14.36*dert_w)+1);

N=ceil((10*pi/dert_w)+1);

beta=0.5842*(Rs-21)^0.4+0.07886*(Rs-21);

hd=ideal((Wst-Wp)/2,N); %滤波器在时域系统的冲击响应

B=kaiser(N,beta); %凯泽窗

h=hd.*(B)'; %加窗后

[H,m]=freqz(h,[1],1024,'whole'); %获取频率响应

mag=abs(H); %幅值

db=20*log10((mag+eps)/max(mag)); %分贝数

pha=angle(H); %相位

%绘图

w=m/pi

figure(1);

subplot(2,2,1);

stem(hd);

xlabel('n');

ylabel('hd');

title('滤波器时域');

subplot(2,2,2);

plot(w,mag);

xlabel('w');

ylabel('h');

title('加窗后幅度响应');

subplot(2,2,3);

plot(w,db);

xlabel('w');

ylabel('db');

title('分贝数');

axis([0 1 -100 0]);

subplot(2,2,4);

plot(w,pha);%实际低通滤波器单位脉冲响应

xlabel('w');

ylabel('相位');

title('相频响应');

axis([0 1 -4 4]);

附件2：

%带阻滤波器设计

% 采用Hamming窗设计一个带阻FIR滤波器

% 要求：

% 阻带：0.35pi~0.65pi，带内最小衰减Rs=50dB；

% 通带：0~0.2pi和0.8pi~pi，带内最大衰减：Rp=1dB。

clc

clear

Wpl=0.2*pi; %根据阻带：0.35pi~0.65pi，通带：0~0.2pi和0.8pi~pi，Wph=0.8*pi; %确定两个通带截止频率和两个阻带截止频率。

Wsl=0.35*pi;

Wsh=0.65*pi;

dert_w=min((Wsl-Wpl),(Wph-Wsh));

N=ceil(6.6*pi/dert_w); %根据过度带宽确定N

n=0:1:N-1;

Wcl=(Wsl+Wpl)/2; %低通中心频率

Wch=(Wsh+Wph)/2; %高通中心频率

hd=ideal(pi,N)-ideal(Wch,N)+ideal(Wcl,N); %带通滤波器的原型高通+低通B=hamming(N)'; %海明窗

h=hd.*B; %加窗后

[H,m]=freqz(h,[1],1024,'whole');%获取频率响应

mag=abs(H); %幅值

db=20*log10((mag+eps)/max(mag));%分贝数

pha=angle(H); %相位

w=m/pi;

%绘图

subplot(2,2,1);

stem(n,hd);

title('理想时域波形');

xlabel('n');

ylabel('sa(n)');

subplot(2,2,2);

stem(n,B);

title('海明窗');

xlabel('n');

ylabel('B');

subplot(2,2,3);

plot(w,mag);

title('幅频响应');

xlabel('f/Hz');

ylabel('幅度');

grid on;

axis([0 1 0 1]);

subplot(2,2,4);

plot(w,db);

title('衰减特性');

xlabel('f/Hz');

ylabel('分贝数/db');

axis([0 1 -100 0]);

grid on

附件3：

%双带通滤波器设计

clc

clear

Wpl1=0.2*pi; %根据第一通带0.2pi~0.4pi和第二通带0.6pi~0.8pi Wph1=0.4*pi; %确定两个通带截止频率和两个阻带截止频率。Wsl1=0.2*pi;

Wsh1=0.4*pi;

Wpl2=0.6*pi;

Wph2=0.8*pi;

Wsl2=0.6*pi;

Wsh2=0.8*pi;

dert_w1=min((Wpl1-Wsl1),(Wsh1-Wph1));

N=70;

n=0:1:N-1;

Wcl1=(Wsl1+Wpl1)/2; %低通中心频率

Wch1=(Wsh1+Wph1)/2; %高通中心频率

dert_w2=min((Wpl2-Wsl2),(Wsh2-Wph2));

Wcl2=(Wsl2+Wpl2)/2; %低通中心频率

Wch2=(Wsh2+Wph2)/2; %高通中心频率

B=hamming(N)'; %海明窗

hd1=ideal(Wch1,N)-ideal(Wcl1,N); %带通滤波器的原型高通-低通hd2=ideal(Wch2,N)-ideal(Wcl2,N);

hd=hd1+hd2;

h=hd.*B; %加窗后

[H,m]=freqz(h,[1],1024,'whole');%获取频率响应

mag=abs(H); %幅值

db=20*log10((mag+eps)/max(mag));%分贝数

pha=angle(H); %相位

w=m/pi;

%绘图

subplot(2,2,1);

stem(n,hd);

title('理想时域波形');

xlabel('n');

ylabel('sa(n)');

grid on

subplot(2,2,2);

plot(pha);

title('相频响应');

xlabel('f');

ylabel('相位');

axis([0 1000 -4 4]);

grid on

subplot(2,2,3);

plot(w,mag);

title('幅频响应');

xlabel('f/Hz');

ylabel('幅度');

axis([0 1 0 1.5]);

grid on

subplot(2,2,4);

plot(w,db);

title('衰减特性');

xlabel('f/Hz');

ylabel('分贝数/db');

axis([0 1 -100 0]);

四、 设计结果及分析

● 用凯泽窗设计低通滤波器结果

50100

-0.05

00.05

0.1

0.15n h d

滤波器时域

0.5

1 1.52

00.51

1.5w

h

加窗后幅度响应

0.51

-100-50

0w

d b

分贝数

0.51

-4

-2

02

4w

相位

相频响应

图1

分析：如图1所示，四个图分别为，理想滤波器原型、幅频响应、衰减特性、和相位响应。

从衰减特性图可以看出，滤波器的衰减满足40分贝。

● 用海明窗设计带阻滤波器

20

40

60

-0.2

00.20.4

0.6理想时域波形

n

s a (n )

0.5

1 1.52

-4-202

4相频响应

w/pi 相位

0.510

0.5

1

幅频响应

w/pi

幅度

0.5

1

-100

-50

衰减特性

w/pi

分贝数/d b

图2

分析：如图2所示为海明窗设计的带阻滤波器，从图可知满足通带截止频率0.2π、0.8π和阻带截止频率0.35π、0.65π以及阻带最大衰减50DB 。 用海明窗设计双带通滤波器

20

406080

-0.4

-0.200.2

0.4理想时域波形

n

s a (n )

5001000

-4-202

4相频响应

f

相位

0.51

0.51

1.5幅频响应

f/Hz

幅度

0.51

-100

-50

衰减特性

f/Hz

分贝数/d b

图3

分析：双带通滤波器如图3所示，从图可以看出，两通带大概满足0.2带0.4,0.6到0.8.。

4、对三种滤波器的性能进行比较和分析：

比较图1、图2、图3可以看出，使用凯泽窗设计的低通滤波器的波动较小。而使用海明窗设计的带通带阻的波动较大。比较图2和图3知过渡带的宽度跟滤波器阶数N 有关。凯泽窗的衰减特性比较好，但是也不是固定的，衰减特性还与beta 值有关，故，凯泽窗的衰减特性也可以达到-43DB.

五、 体会

通过这次设计更加熟练了窗函数设计滤波器的步骤： 1、求出理想滤波器的时域函数。

2、根据给定的通带截止频率、阻带截止频率等技术指标确定出窗函数。

3、求得所设计的FIR 滤波器的单位冲击频率响应：

)()()(n w n h n h d ；

4、求h(n)的频响，检查是否满足要求，否则重新选择合适的N 或窗类型重新设计。

六、 参考文献

[1] 程佩青．数字信号处理教程（第三版）．清华大学出版社，2007．2

[2] 张威．MATLAB 基础与编程入门.西安电子科技大学出版社（第二版），2009.2： [3] 陈亮,杨吉斌.信号处理算法的实时DSP 实现.北京.电子工业出版社.2008.2

[4] 张德丰.MATLAB在电子信息工程中的应用.北京.电子工业出版社.2009.6