初一数学第一章有理数教案
个性化教学辅导教案
学科: 数学 年级: 初一 任课教师: 李春雨 总课时: 共 16 讲
第一讲 有理数
一、 教学目标
1、 掌握正数和负数的概念及其意义
2、 掌握有理数的概念,会对有理数按照一定的标准进行分类
3、 掌握数轴的概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系,正确地画出数轴,会用数
轴上的点表示给定的有理数
4、 掌握相反数的概念,进一步理解数轴上的点与数的对应关系
5、 掌握绝对值的概念,有理数大小比较法则,学会绝对值的计算,会比较两个或多个
有理数的大小
6、 体验数学的概念、法则来自于实际生活,渗透数形结合和分类思想
二、 教学重难点
重点:1、正确区分两种不同意义的量
2、数轴的概念和用数轴上的点表示有理数
3、相反数、绝对值的概念
难点:1、正确理解有理数的概念及分类
2、归纳相反数在数轴上表示的点的特征
3、两个负数大小的比较
三、 教学过程
导入:以前学过的数,实际上主要有两大类,分别是整数和分数(包括小数),在生
活中,仅有整数和分数够用了吗?(简单讲解天气预报中的气温为零下的情
况,引入负数)
1、 正数和负数
正数:像+,+12,1.3,258这样大于0的数(“+”通常省略不写)叫正数。
负数:像-5,-3,-0.1这样在正数前加上“-”的数叫做负数,负数小于0。
例题:把下列各数填在相应的集合内:15,-6,-0.9,21,0,0.32,-411,5
1,8,-2,27,71,-4
3,3.4
正数集:{ };
负数集:{ };
正分数集:{ };
负分数集:{ };
整数集:{ };
自然数集:{ }.
(1)为了用数表示具有相反意义的量,我们把某种量的一种意义规定为正的,而把与它相反的一种意义规定为负的。负数是根据实际需要而产生的。
如:收入1000元与支出500元、向东走2km与向西走3km,上升1.5m与
下降0.8m,规定收入为正则收入记做+1000,支出记做-500,规定向东走
为正则向东走2km记做+2km,向西走记做-3km,上升与下降让学生解答。(2)0既不是正数也不是负数,它是一个非负、非正的数,正、负数以0为界,规定:0是最小的自然数。
例题:1、如果规定向南走10米记为+10米,那么-50米表示什么意义?
2、天气预报说某地12月某天的最高温度是零上5°C,最低温度是零下3°C,若规定零上温度为正,则零上5°C可记作°C,零下
3°C可记作°C
2、有理数及其分类
按有理数的定义进行分类:
按有理数的性质符号进行分类:
例题:1、下列关于0的叙述中,不正确的是( )
A.0是自然数
B.0既不是正数,也不是负数
C.0是偶数 D.0既不是非正数,也不是非负数
2、下列语句:①所有的整数都是正数;②所有的正数都是整数;③分数都是有
理数;④奇数都是正数;⑤在有理数中不是负数就是正数,其中哪些语句是正确的?
M N m n 103、 数轴及其三要素(重点)
定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
4、 数轴的画法
数轴的画法可分为四个步骤:(1)画一条水平的直线;(2)在直线上适当选取一
点为原点;(3)确定向右为正方向,用箭头表示出来(箭头标在画出部分的最右
边);(4)根据需要,选取适当的长度作为单位长度,从原点向右、向左每隔一个
单位长度取一点。
例题:1、把数-3,-1,1.2,- ,3.5, 在数轴上表示出来,再用“<”号把它们连接
起来.
2、如图所示,数轴上的点M 和N分别表示有理数m 和n,那么以下结论正确
的是( )
A.m>0,n>0 B .m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0 5、 相反数(重点)
像2与-2,与,4与-4这样,只有符号不同的两个数叫做互为相反数,把
其中一个数叫做另外一个数的相反数。0的相反数仍是0。
相反数的性质:若a,b 互为相反数,则a+b=0;反之,若a+b=0,则a,b 互为相反
数。
例题:1、914
的相反数是_________,—16与____互为相反数,—(+3)表示______的相反数.
2、下列各对数中,互为相反数的是( )
A.+(—8)和(—8)
B.—(—8)和+8
C.—(—8)和+(+8) D .+8和+(—8)
3、化简—[—(+3.6)]=________.
6、 绝对值(重点)
引入:星期天刘老师从学校出发,开车去游玩,她先向东行20千米,到三影塔,
下午她又向西行30千米,回到家中(学校、三影塔、家在同一直线上),如果规
定向东为正 1、用有理数表示刘老师两次所行的路程 2、刘老师从从家到学校的
距离是多少?
观察并思考:画一条数轴,原点表示学校,在数轴上画出表示三影塔和刘老师
家的点,观察图形,说出刘老师家与学校的距离.
学生回答后,教师说明如下:
数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离开原点的长度有关,而与它所
表示的数的正负性无关;
绝对值的几何定义: 一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离,数a的绝对
值记做|a|,读作a 的绝对值。 如:|-2|读作-2的绝对值。
绝对值的代数定义:正数的绝对值是正数,负数的绝对值是它的相反数,0的绝
对值是0,绝对值必须≥0。
1
0-1
a a a>0
对于任何有理数a,都有|a|= 0 a=0
-a a<0
例如:|20|=20,|-10|=10,|0|=0
例题:1、求下列各数的绝对值.
2
11- -0.3 0 )213(-- 2、若数a 在数轴上对应的点如下图所示,则化简|a+1|的结果是( )
A.a+1 B . -a +1
C.a-1 D. -a-1
3、已知|a -1|+|b+2|=0,求a 和b 的值.
7、 相反数、绝对值的几何意义
相反数的几何意义:在数轴上,互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧,并且
到原点的距离相等。
如图(数轴)所示,-2.5与2.5互为相反数,-1与1互
为相反数。
绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的
距离越远,绝对值越大,离原点的距离越近,绝对值越小。
如图所示,在数轴上表示-4的点与原点的距离是4,即-
4的绝对值是4,记作|-4|=4,在数轴上表示3的点与原点的
距离为3,即3的绝对值是3,记作|3|=3,表示0的点与原点
的距离是0,|0|=0.
例题: 1、若2x+1是-9的相反数,求x 的值.
2、如果x 与2互为相反数,那么|x —1|等于
3、若|x -2|+|y +3|=0,则x =_____,y=_____.当x =_____时,
1+|x+1|的最小值是________.
四、 教学目标
1、 能较为熟练地进行有理数的加法运算,并能解决简单的实际间题
2、 能较为熟练地进行两个有理数减法的运算
3、 理解加减法混合运算统一为加法运算的意义,学会把加减法统一成加法
4、 熟练有理数的乘法、除法运算并能用乘法运算律简化运算
5、 掌握除法法则,会进行有理数的除法运算
五、 教学重难点
重点:1、和的符号的确定
2、有理数的减法法则,减法转化为加法的条件,把减数变为它的相反数
3、多个有理数相乘时积的符号的确定
4、正确运用乘法运算律,使运算简化
5、有理数的除法法则
难点:1、异号两数相加
2、加法交换律和结合律,及其合理、灵活的运用
3、把加、减混合运算统一成加法运算
4、正确进行多个有理数的乘法运算
5、理解商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系
六、 教学过程
1、 有理数的加法
把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。
有理数加法法则:
1、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加
2、绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0
3、一个数同0相加,仍得这个数
例题 计算:
(1)(-3)+(-9); (2)(-5)+13;
(3)0十(-7); (4)(-4.7)+3.9.
2、 有理数的加法运算律
(1) 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=b+a
(2) 加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和
不变,即(a +b)+c=a +(b+c)
例题1、计算:
)7(8)13(12)1(-++-+ )6.0()81()523
(125.1)2(-+-+-+
)21()74(6571)3(-+-++
)852()75.1(833)5.6(431)4(++-++-+ 2、有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,则下列式子正确的有( )
①?b+c>0 ②a+b >a+c ③a+c<0 ④a+b>0
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3、 有理数的减法
已知两个有理数的和与其中的一个加数, 求另一个加数的运算,叫做有理数的减法。减法是加法的逆运算。
有理数的减法法则
减去一个数,等于加这个数的相反数,把有理数的减法利用相反数变成加法进行运算,可表示为:
a-b =a+(-b)
例题:1、计算
)())((431+-- )30()19)(2(+-+
变减为加 变为相反数
a b c 0 )217
(75.2)413()5.0)(3(+-+--- )314(4331|)214(312|)313(2151)4(---+------
2、设数轴上的点A、B 、C分别表示数-
3、 、4,利用数轴求A 与B,B 与C ,A与C 之间的距离,你能从中发现什么规律吗?
4、 有理数的乘法
1、 乘法法则
(1) 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘
(2) 任何数与0相乘,都得0
2、 乘法法则的推广
(1) 几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有
奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正
(2) 几个数相乘,如果其中有因数为0,那么积等于0
(3) 几个不等于0的数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘
例题:1)6×(—9)= . 2)(—4)×6= .
3)(—6)×(—1)= 4)(—6)×0= .
5)29×(-)34=
6)11()34
-?
= .
5、 倒数(重点)
乘积为1的两个数互为倒数。
根据定义,要求a (a ≠0)的倒数,只要求即可。
一个正数的倒数仍是正数,一个负数的倒数仍是负数,0没有倒数。
倒数的特性:若a ,b 互为倒数(a ≠0,b ≠0),则ab=1;反之,若a b=1,则ab 互为倒数
例题:
(3)下列说法中,错误的是()
A 、 一个非零数与其倒数之积为1
B 、 一个数与其相反数的商为-1
C 、 若两个数的积为1,则这两个数互为倒数
D 、 若两个数的商为-1,则这两个数互为相反数
6、有理数的乘法运算律
(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即ab=ba
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等,即(ab)c=a(bc)
(3)乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加,即a(b+c)=ab+ac
例题:1、(-5)×(-9)×(-)
2、30×(-+0.4)
3、(-3.59)×-2.41×+6×
4、[1
2
×(-
7
3
)]×(-4)与
1
2
×[(-
7
3
)×(-4)]
7、有理数的除法
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做有理数的除法
有理数的除法法则(一):除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数
有理数的除法法则(二):两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0
除以任何一个不等于0的数,都得0
过关练习;