圆内接四边形的性质判定定理习题及答案

圆内接四边形的性质与判定定理习题及答案

2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题

成两组,每一组推荐一名同学说出解题思路和答案.

例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为△ABC 的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根.

(1)证明:C,B,D,E四点共圆;

(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径. 1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆的基本知识与方法,考查推理论证能力及运算求解能力.

2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问题，那么要证四点共圆,我们有那些方法呢?通过提问让学生在大脑中搜索相关知识,寻找最佳解题方案这样问题可以转化为证明Rt△ADE与

似,从而利用本节的推论来证明四点共圆

题是计算问题，关键是引导学生如何确定圆心的位置.根据圆的性质可知,圆心即为该圆弦的中垂线的交点，问题就转化为在矩形AFHG

半径了.

3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四

能力锤炼:

能说的让学生说,学生能做的让学生做第(2)小题实际上是证明角相等问题,请一个学生用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有困难时，及时正确引导，同时注意引导方式3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用到几何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，推理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的技巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理.

如图6,已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧AC ⌒

上的点(不与A,C 重合),延长BD 到E. (1)求证:AD 的延长线平分∠CDE;

(2)若∠BAC=30°,△ABC 中

BC 边上的高为2+ 3 ,

求△ABC 外接圆的面积.

设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数学能力.

1. 如图7,在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点,D 为AC 的中点,连结BD 交⊙O 于F 点.求证:

BC BE = CF EF

. 2. 如图8,AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P,AC ⊥CD 于C,BD ⊥DC 于D,PQ ⊥AB 于Q,求证:PQ 2

=AC ·BD.

3. 如图9,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B,C 两点,圆心O 在∠PAC 的内部,点M 是BC 的中点.

(1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.

4.E,EG 平分∠E,且与BC 、AD F

5.如图11,已知PA 、PB 是圆O 的切线分别是切点,C 为圆O 上不与A 重合的另一点,若∠ 一、选择题

1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有

2. 3. 4.

C.12a

D.13a

5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有

A.5对

B.4对

C.3对

D.2对

6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为

163 B.8 C.323

T6 T7 T12

7.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P ,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF =

A.1:1

B.1:2

C.2:1

D.以上结论都不对

8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k = B.3 C.-6 D.6

二、填空题

9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .

12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=

，则ADC ∠= .

三、解答题

13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=

，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：

2BC DE =.

14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ?=?+?.

15.在等边三角形ABC 外取一点P ,若P A P B P C =+

，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.

16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.

17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)

(2)18.求证：19.E,交BC 于点F,(1)求⊙(2)设∠

圆内接四边形的性质与判定定理

(参考答案)

一、选择题

1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题

9. 0 10.132

11.90 12.110

三、解答题

13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=??=

在Rt 中，

A D A E D E A D E

A C

B A

C A B B C ???===∽ 法二：连接BE, 30ABE DE

∠=? 的度数为60

60DOE ?∠=

即ODE ?为正? OD DE ?=

14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又

A E

B C A D E B D C A E B D A D B C

A D

B D

??=??=?∽ ①

1A D E A D B C D E A B D A C D A B D E C D

∠=∠?∠=∠∠=∠??又得∽

AB BD

BD EC AB CD EC CD

=?=?即 ② ①+②即可

15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，

则A D P A B P A B P A C D ????∠=∠?P 、

A 、

B 、

C 四点共圆

16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=?=

M D E D E M ?∠

=∠ 90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ?∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=

17.(1)6,52AC BD ==

(2)49ACB ADB ABCD S S S ??=+=四边形

18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥?∠+∠=+=

?A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ?∠=∠?∠+∠

90180

B E D D E F C

D A F C =∠+∠+∠=+∠+∠=

321B

法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ?∠=∠

9090A E F D E F D A F C

?∠

=-∠=-∠=∠

19.(1)1015

6104

OE AO R R AEO ADC R CD AC -???

=?=?=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠?+=

(完整版)圆的性质定理

圆的性质定理一．定理： 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。 2.垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。（5个条件：①直径②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧，满足其中两个，其他三个也成立。注：当具备①③时，需对另一条弦增加它不是直径的限制。）3.圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 4．圆周角定理的推论：(1)同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；(2)半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 5.切线长定理：从圆外一点引两条切线，它们的切线长相等圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。 5.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 6.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 7.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 8.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与园的交点的两条线段长的

积相等。 8.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割二．性质： 1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。 2.确定圆的条件：定理：不在同一条直线上的三个点确定（有且只有）一个圆。（作法：连接任意两点并作其中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点到已知三点中任意一点的距离为半径作圆） 3.切线性质概述：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心，如果一条直线满足这三个条件中任意2个，那么就满足第3个。（遇到切点连半径）补充3：切线五大性质：（1）切线与圆只有一个公共点（2）圆心到切线的距离等于半径（3）切线垂直于过切点的半径（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 4.切线的判定方法：（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（3）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（切线判定定理）。续4：证明切线的辅助线作法：（1）连半径，证半径与该直线垂直（2）作垂直，证垂线长度等于半径。 5．在直角三角形中的内切圆，半径r=a+b+c/2或1/2周长-斜边；一般三角形中，r=2s/c

圆的内接四边形教案及课后练习

S3.6 圆内接四边形一、认识圆的内接四边形 1.知识要点（1）我们以前学习过圆的内接三角形圆的内接三角形：如果一个三角形的各个顶点在同一个圆上，那么这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆。（2）今天我们学习圆的内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。如右图中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。二、圆内接四边形的性质定理 1.知识要点定理一：圆内接四边形的对角互补．定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）． 2.典型例题 S3.6.1如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=110°，求∠BCD 的度数. S3.6.2如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PB PA ＝12，PC PD ＝13，求BC AD 的值. 三、圆内接四边形的判定定理 1.知识要点（1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）．（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

2.典型例题 S3.6.3如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：ABPQ四点共圆. S3．6 圆内接四边形练习 1.下列四边形中一定有外接圆的是（） A．对角线相等的四边形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形 2.过四边形ABCD的顶点D，B，C作一个圆，若∠A+∠C＞180°，则点A在( ) A．圆内B．圆外C．圆上D．不能确定 3.四边形ABCD内接于圆，∠A:∠B:∠C:∠D= 5:m:4:n，则m，n满足的条件是（） A．5m=4n B．4m=5n C．m+n=9 D．m+n=180° 4.如下图，圆心角∠AOB=120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC 等于（） A．45°B．60° C．75°D．85° 5.圆上四点，A、B、C、D分圆周为四段弧，:::=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______． 6.如下图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=BC，∠ADC=138°，E是梯形外一点，若点E在梯形ABCD 的外接圆上，则∠AEB=________．

圆的切线性质定理

圆的切线的判定与性质【知识点精析】 1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。这条直线叫圆的切线。 2. 圆的切线的判定与性质：（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径（2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。 3. 切线长定理：（1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。（2）切线长性质从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径（3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点【解题方法指导】一切线长定理的计算例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径 B C 2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。二等腰三角形在证明切线中的巧用例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．

圆的内接四边形

例圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数．解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ． ∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°， ∴x=18°， ∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°，又∵∠B+∠D=180°， ∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明：延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ．在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ． △ABC 是等边三角形．∴AB=AC ． ∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ． ∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°． ∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．例如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果?=∠30HAD ，那么=∠B （） A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° E

3.圆内接四边形的性质与判定

3．圆内接四边形的性质与判定一、基础知识回顾 1．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等，所对的也相等。 2. 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条、两条、两个中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对。 (1) 半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 90o的圆周角所对的弦是 . (2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 . 二、知识延伸拓展如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图1中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。圆内接四边形有以下性质：性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。已知：如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE 是四边形ABCD 的外角。求证：（1）∠A+∠BCD=180o，∠B+∠D=180o；（2）∠DCE=∠A 。证明：（1）∵ ，， ∴ ∵ 和的度数和是360 o ∴ 同理，∠B+∠D=180o。 (2) ∵∠DCE 是四边形ABCD 的外角， ∴∠DCE+∠BCD=180o 由（1）得∠A+∠BCD=180o ∴∠DCE=∠A 。图1 E 图2 BAD ⌒ BCD ⌒ ⌒ ∠A 所对的弧是BCD ∠BCD 所对的弧是BAD ⌒ ⌒ ⌒ m m .2 1 ,21A BAD BCD BCD =∠=∠.1803602 1 )(212121?=??=+=+=∠+∠BAD BCD BAD BCD BCD A m ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

什么叫圆的内接四边形

一、教学案例实录教学过程 : 1. 习旧引新 ⑴在⊙O 上 , 任到三个点 A 、 B 、 C, 然后顺次连接 , 得到的是什么图形 ? 这个图形与⊙O 有什么关系 ? ⑵由圆内接三角形的概念 , 能否得出什么叫圆的内接四边形呢 ( 类比 )? 2. 概念学习 ⑴什么叫圆的内接四边形 ? ⑵如图 1, 说明四边形 ABCD 与⊙O 的关系。 3. 探讨性质 ⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形 ---- 平行四边形 , 矩形 , 菱形 , 正方形 , 等腰梯形的性质 , 那么要探讨圆内接四边形的性质 , 一般要从哪几个方面入手 ? ⑵打开《几何画板》 , 让学生动手任意画⊙O 和⊙O 的内接四边形 ABCD 。 ( 教师适当指导 ) ⑶量出可试题的所有值 ( 圆的半径和四边形的边 , 内角 , 对角线 , 周长 , 面积 ), 并观察这些量之间的关系。 ⑷改变圆的半径大小 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? ⑸移动四边形的一个顶点 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? 移动四边形的四个顶点呢 ? 移动三个顶点呢 ? ⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢 ?( 让学生回答 ) 4. 性质的证明及巩固练习

⑴证明猜想已知 : 如图 1, 四边形 ABCD 内接于⊙O 。求证 :∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180°。 ⑵完善性质 ①若将线段 BC 延长到 E( 如图 2), 那么 ,∠DCE 与∠BAD 又有什么关系呢 ? ②圆的内接四边形的性质定理 : 圆内接四边形的对角互补 , 并且任何一个外角都等于它的内对角。 ⑶练习 ①已知 : 在圆内接四边形 ABCD 中 , 已知∠A=50°,∠D-∠B=40°, 求∠B,∠C,∠D 的度数。 ②已知 : 如图 3, 以等腰△ABC 的底边 BC 为直径的⊙O 分别交两腰 AB,AC 于点 E,D, 连结 DE, 求证 :DE∥BC 。 ( 演示作业本 ) 5. 例题讲解引例已知 : 如图 4,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线 , 它与△ABC 的外接圆交于点 D 。求证 :DB=DC 。 ( 引例由学生证明并板演 ) 教师先评价学生的板演情况 , 然后提出 , 若将已知中的“ AD 是△ABC 中的∠BAC 的平分线”改为“ AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线”, 又该如何证明 ? 引出例题。例已知 : 如图 5,AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线 , 与△ABC 的外接圆交于点 D, 求证 :DB=DC 。 6. 小结 : 为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象 , 让学生组成小组 , 从概念 , 性质 , 方法 , 特殊性进行讨论 , 然后对讨论的结果进行归纳。

圆的性质定理

3 圆的性质定理一．定理： 1.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并平分弦所对的两条弧。 2 。垂径定理的推论：（1)平分弦 ( 不是直径）的直径垂直于弦；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 (5个条件:①直径 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧，满足其中两个,其他三个也成立.注：当具备① ③时，需对另一条弦增加它不是直径的限制。) 3。圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 4.圆周角定理的推论:(１)同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；（2)半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 5．切线长定理：从圆外一点引两条切线,它们的切线长相等圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。５。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 6．弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 7。相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 8．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与园的交点的两条线段长的

2 / 3 积相等。 8。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线, 二．性质: 1。在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。 2。确定圆的条件:定理：不在同一条直线上的三个点确定（有且只有)一个圆.(作法：连接任意两点并作其中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点到已知三点中任意一点的距离为半径作圆) 3。切线性质概述：（1）垂直于切线(2)过切点(３)过圆心,如果一条直线满足这三个条件中任意2个，那么就满足第３个。(遇到切点连半径）补充3:切线五大性质:(１）切线与圆只有一个公共点(2)圆心到切线的距离等于半径（３）切线垂直于过切点的半径（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点(5)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 4.切线的判定方法：（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(２)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（3)经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（切线判定定理)。续4：证明切线的辅助线作法:(1）连半径，证半径与该直线垂直(2) 作垂直，证垂线长度等于半径. ５．在直角三角形中的内切圆,半径ｒ=a+b+c/2或1/２周长－斜边;一般三角形中，ｒ=2s/c

圆的性质和定理

【圆的平面几何性质和定理】 [圆的基本性质与定理] 1定理不在同一直线上的三点确定一个圆。(圆的确定） 2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 [有关圆周角和圆心角的性质和定理] 1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 [园内接四边形的性质与定理] 1定理圆的内接四边形的对角互补 2定理并且任何一个外角都等于它的内对角 3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 [有关切线的性质和定理] 1切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 [与圆有关的比例线段] 1相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

圆内接四边形的性质

11.2.5 圆内接四边形的性质 1、（1）圆的内接四边形对角互补。如图：四边形ABCD内接于⊙o ，则有：∠A＋∠B=1800.∠B＋∠C=1800. (2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。如图：∠CBE是圆内接四边形ABCDD的一外角，则有：∠CBE=∠D. 2、圆内接四边形的判定。（1）判定定理：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。（2）推论；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。〖例1〗如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于FG. 求证：∠CFG=∠DGF. 分析：已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE=∠BAD,又EG平分∠BEC,故△CFE∽△AGE.

[证明]因为四边形ABCD是圆内接四边形。所以∠ECF=∠EAG. 又因为EG平分∠BEC, 即∠CEF=∠AEG,所以△EFC∽△EGA. 所以∠EFC=∠EGA. 而∠DGF=1800-∠EGA,∠CFG=1800-∠EFC, 所以∠CFG=∠DGF. 3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。几何语言：∵PT切⊙0于T,PBA是⊙0的割线. ∴PT2=PA·PB(切割线定理) 4、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。几何语言：∵PT是⊙0的切线，PBA、PDC是⊙0的割线. ∴PO·PC=PA·PB (割线定理) 由上可知：PT2=PA·PB=PC·PD. 5、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）证明：连结AB，CD由圆周角定理的推论，得∠A=∠C，∠B=∠D。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等） ∴△PAB∽△PCD ∴PA∶PC=PB∶PD，PA·PD=PB·PC

圆内接四边形性质定理

C D ·O B A E P 圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则：一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC +∠A DC=180°，∠BC D +∠B AD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠D CE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△B C P∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP 五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD 一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。如图，连接OB 、OD 则∠A= 21β，∠C=2 1α ∵α+β=360° ∴∠A+∠C= 2 1 ×360°=180° 同理得∠B+∠D=180° （也可利用四边形内角和等于360°）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。设圆内接四边形ABCD 证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 连接BO 并延长，交⊙O 于E 。连接AE 、CE 。则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180° ∴∠BAE+∠BCE -∠D AE+∠DAE=180° 即∠BAE -∠DAE+∠BCE +∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DCE（同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE -∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）【证明】方法三：利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC 、BD ，将∠A 、∠B、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°） ∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等） ∴∠1+∠2+∠5+∠6= 2 1 ×360°=180° ∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180° C A B D ·O α β ·O B C D 1 2 4 3 5 6 7 8

圆内接四边形的性质判定定理习题及答案

圆内接四边形的性质与判定定理习题及答案

2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题成两组,每一组推荐一名同学说出解题思路和答案. 例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为△ABC 的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根. (1)证明:C,B,D,E四点共圆; (2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径. 1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆的基本知识与方法,考查推理论证能力及运算求解能力. 2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问题，那么要证四点共圆,我们有那些方法呢?通过提问让学生在大脑中搜索相关知识,寻找最佳解题方案这样问题可以转化为证明Rt△ADE与似,从而利用本节的推论来证明四点共圆题是计算问题，关键是引导学生如何确定圆心的位置.根据圆的性质可知,圆心即为该圆弦的中垂线的交点，问题就转化为在矩形AFHG 半径了. 3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四

能力锤炼: 能说的让学生说,学生能做的让学生做第(2)小题实际上是证明角相等问题,请一个学生用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有困难时，及时正确引导，同时注意引导方式3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用到几何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，推理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的技巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理. 如图6,已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧AC ⌒ 上的点(不与A,C 重合),延长BD 到E. (1)求证:AD 的延长线平分∠CDE; (2)若∠BAC=30°,△ABC 中 BC 边上的高为2+ 3 , 求△ABC 外接圆的面积. 设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数学能力.

圆的切线性质和判定教学设计

切线的判定和性质教学设计【教学目标】一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理,并能灵活运用。 2.会过圆上一点画圆的切线．二、过程与方法:以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据,探究切线的判定定理和性质定理,领会知识的延续性,层次性。三、情感态度与价值观:让学生感受到实际生活中存在的相切关系,有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理,并运用. 【教学难点】探索切线的判定方法。【教学方法】自主探索，合作交流【教学准备】尺规【教学过程】一、导语:通过上节课的学习,我们知道，直线和圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. 而相切最特殊,这节课我们专门来研究切线。师生行为:教师联系近期所学知识,提出问题,引起学生思考,为探究本节课定理作铺垫。二、探究新知 (一）切线的判定定理 1.推导定理:根据“直线l和⊙O相切d=r”,如图所示，因为d=r直线l和⊙O相切，这里的ｄ是圆心O到直线l的距离，即垂直,并由d=r就可得到l经过半径ｒ的外端，即半径ＯA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．分析: 1、垂直于一条半径的直线有几条? 2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线? 3、去掉定理中的“经过半径的外端"会怎样？去掉“垂直于半径”呢？师生行为:学生画一个圆,半径ＯA,过半径外端点A的切线l,然后将“d＝r直线ｌ和⊙O 相切”尝试改写为: 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。设计意图:过学生亲自动手画图，进行探究,得出结论。思考1：根据上面的判定定理,要证明一条直线是⊙O的切线,需要满足什么条件? 总结:①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线. 思考2:现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线? ①圆只有一个公共点的直线是圆的切线 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 ③切线的判定定理. 师生行为:教师引导学生汇总切线的几种判定方法思考3：已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线? 2. 定理应用

圆的切线判定定理及性质定理讲义

O A T O M T A B 圆的切线判定定理及性质定理讲义一、基础知识归纳 1.切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可。结论是“直线是圆的切线”。 2．切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心任意知道两个，这可以推出第三个。即知2推1。定理：①过圆心，过切点? 垂直于切线 OA 过圆心，OA 过切点A ，则OA ⊥AT ②经过圆心，垂直于切线?过切点 ()()12AB M AB M T ?? ??⊥?? 过圆心为切点 ③ 经过切点，垂直于切线?过圆心 ()()12A M M T AM M ⊥ ?? ???? 过圆心为切点二、典型例题解析【例1】PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于A ，BC ⊥OP 于C ，OA=6cm,OP=10cm,求AC 的长. l A O

A O B P C M 【例2】如图，⊙O 的直径A B =6cm ，点P 是A B 延长线上的动点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC ．若CPA 的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数【例3】如图,若⊙的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,切线CD 与AB 的延长线交于点D,且⊙O 的半径为2,则CD 的长是多少？【例4】如图，AB 为半圆O 的直径，CB 是半圆O 的切线，B 是切点，AC?交半圆O 于点D ，已知CD=1，AD=3，那么cos ∠CAB=________． B D A C

圆内接四边形教案

1. 知识结构 2. 重点、难点分析重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法．难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的相互对应位置． 3. 教法建议本节内容需要一个课时．（1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究；（2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法．一、教学目标：（一）知识目标（1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；（2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；

（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．（二）能力目标（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；（2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；（3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．（三）情感目标（1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理．难点：定理的灵活运用．三、教学过程设计（一）基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．（二）创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？

研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形）教师组织、引导学生研究． 1、边的性质：（1）矩形：对边相等，对边平行．（2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．（3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质． 2、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补．（三）证明猜想教师引导学生证明．（参看思路）思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢? ∠A=，∠C=

圆内接四边形的性质与判定定理

圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题 1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有 ①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫圆内接四边形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.圆内接四边形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于点E ，在下图中全等三角形的对数为 A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 3.圆内接四边形ABCD 中，39,25,60,52AB BC CD DA ====,则圆的直径为 A.62 B.63 C.65 D.66 T2 T4 T5 4.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，60,ACB AB a ∠==o ，则CD = C.12a D.13 a 5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P ,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有 A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为 A. 163 B.8 C.323 D. D T6 T7 T12 7.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P ,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF = A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.以上结论都不对 8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k =

A.-3 B.3 C.-6 D.6 二、填空题 9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= . 12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=o ，则ADC ∠= . 三、解答题 13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=o ，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =. B 14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ?=?+?. 15.在等边三角形ABC 外取一点P ,若PA PB PC =+，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆. 16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥. A D B C

圆的内接四边形

圆的内接四边形知识结构 2.重点、难点分析重点：圆内接四边形的性质定理.它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法. 难点：定理的灵活运用.使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的相互对应位置. 3.教法建议本节内容需要一个课时. (1)教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境(参看教学设计示例)，组织学生自主观察、分析和探究; (2)在教学中以发现证明应用为主线，以特殊一般的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法. 一、教学目标： (一)知识目标 (1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念; (2)掌握圆内接四边形的概念及其性质定理; (3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明. (二)能力目标 (1)通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力;

(2)通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维;(3)通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力. (三)情感目标 (1)充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情;(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点. 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理. 难点：定理的灵活运用. 三、教学过程设计 (一)基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆. (二)创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质? 研究：圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)教师组织、引导学生研究. 1、边的性质： (1)矩形：对边相等，对边平行. (2)正方形：对边相等，对边平行，邻边相等. (3)等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行. 归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质.2、角的关系

圆的基本性质与定理

[圆的基本性质与定理] 1定理: 不在同一直线上的三点确定一个圆。(圆的确定） 2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形[有关圆周角和圆心角的性质和定理] 1定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的性质与定理] 1定理圆的内接四边形的对角互补 2定理并且任何一个外角都等于它的内对角 3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆[有关切线的性质和定理] 1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 ：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 [圆的其他性质定理] 1弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等2①直线L和⊙O相交d＜r ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d＞r 3圆的外切四边形的两组对边的和相等 [圆与圆] 1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上2①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r ③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 3定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形（有关外接圆和内切圆的性质和定理） 5定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

【中考冲刺】圆内接四边形的性质

【中考冲刺】圆内接四边形的性质一、选择题（共15小题） 1．（2011?肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（） 2．（2010?北海）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为（） 3．（2006?宁德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（） 4．（2001?咸宁）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为85°，则∠ADC的度数为（） 5．（2010?台湾）如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，AB=18．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一线对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两对角线长度和（）

7．（2004?武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠C=80°，则∠A的度数是（） 8．（2004?丰台区）如图，ABCD为圆内接四边形，若∠A=60°，则∠C等于（） 9．（2003?泉州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD=110°，则∠BCD等于（） 10．（2003?海淀区）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠A=50°，则∠DCE等于（） 11．（2003?甘肃）如图，ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=45°，则∠BAE等于（）

12．（2002?苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=160°，则∠BCD=（） 13．（2000?西城区）如图，ABCD为圆内接四边形，如果∠C=50°，那么∠A等于（） 15．（1999?成都）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC=115°，那么∠AOC等于（）二、填空题（共14小题）（除非特别说明，请填准确值） 16．（2011?江津区）已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D=_________． 17．（2005?滨州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=110°，则∠BOD=_________度．

圆内接四边形性质定理

C D ·O B A E P 圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则：一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP ∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP 五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD 一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。如图，连接OB 、OD 则∠A= 21β，∠C=2 1 α ∵α+β=360° ∴∠A+∠C=2 1 ×360°=180° 同理得∠B+∠D=180° （也可利用四边形内角和等于360°）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。设圆内接四边形ABCD 证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 连接BO 并延长，交⊙O 于E 。连接AE 、CE 。则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180° ∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180° 即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DCE （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）【证明】方法三：利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC 、BD ，将∠A 、∠B 、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°） ∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等） ∴∠1+∠2+∠5+∠6=2 1 ×360°=180° ∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明如图，求证：∠DCE=∠BAD ∠BCD+∠DCE=180°（平角为180°） ∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证：△BCP ∽△ADP ，△ABP ∽△DCP 证明： ∵∠CBP=∠DAP ，∠BCP=∠ADP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）又∵∠APD=∠BPC （对顶角相等） C A B D ·O α β C D ·O B A E P ·O B C D 1 2 4 3 5 6 7 8