数学实验教程实验(级数)

实验9 级数

实验目的

1．理解幂级数的概念，并会用软件将函数展开成幂级数 2．理解Fourier 级数的概念，并将函数展开成Fourier 级数

实验准备

1．数项级数、幂级数的收敛性判断； 2．幂级数的展开、级数求和； 3．Fourier 级数的概念、展开方法；

实验内容

1．函数的幂级数展开 2．收敛级数的和 3．Fourier 级数展开

软件命令

表9-1 Matlab 级数操作命令

实验示例

【例9.1】级数观察

观察下列级数的部分和序列的变化趋势，并求和。

1. 11n n ∞

=∑； 2. 1

1(1)n n n ∞

=-∑。 【步骤】：

Step1：计算部分和n S ； Step2：描点观察。 【程序】：

clear

clc clf

for n=1:100 for k=1:n

p1(k)=1/k;

p2(k)=(-1)^k/k; end

s1(n)=sum(p1); s2(n)=sum(p2); end

plot(s1) plot(s2) syms i;

symsum(1/i,i,1,inf))

symsum((-1)^i/i,i,1,inf))

【输出】：

图 9-1 部分和序列收敛性观察

级数（1）发散；调和级数（2）收敛，收敛于ln2。 【例9.2】调和级数实验—欧拉常数

记11

()n

i H n i

==

∑，()()ln C n H n n =-，研究C(n)的极限值是否存在。 【程序】：%图形观察

h(1)=1;

for i=2:10^5

h(i)=h(i-1)+double(1/i); c(i)=h(i)-log(i); end plot(c)

% 求极限

syms k n

limit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf) 【例9.3】函数的幂级数展开

将下列函数在指定点处展开成幂级数，并计算近似值，至少保留三位小数。 1

．0(),f x x = 2．011

()arctan

,1,arctan 12

x f x x x -==+； 3．0()sin(1),0,sin1f x x x =+=。

【步骤】：

Step1：利用函数 taylor(f,n,v,a)将函数f(x)在指定点处展开； Step2：利用函数subs(s)求出近似值。 【输出】：略。 【例9.4】级数求和

求下列幂级数的和函数。

1．21121n n x n -∞

=-∑（积分）； 2． 1(1)

n

n x n n ∞=+∑（微分）；3．1(1)n n n n x ∞

=+∑（积分）。

【步骤】：

Step1：定义通项 f(n)；

Step2：利用symsum(f,n,1,inf)求级数的和。 【程序】：

clear

clc

syms n x ;

f1=x^(2*n-1)/(2*n-1); s1=symsum(f1,n,1,inf);

f2=x^n/(n*(n+1));

s2=symsum(f2,n,1,inf); f3=n*(n+1)*x^n;

s3=symsum(f3,n,1,inf);

【输出】：

s1 =1/2*log((1+x)/(1-x)) s2 =1-(x-1)/x*log(1-x) s3 =-2*x/(x-1)^3

【例9.5】Fourier 级数展开及其和函数的逼近

设()f x 是以2π为周期，振幅为1的方波函数，它在[,]ππ-上的表达式为

1,0

()1,0x f x x ππ--≤

<≤?

试将()f x 展开成Fourier 级数，并画出图形观察该函数的部分和逼近()f x 的情形。 【原理】：

以2l 为周期的函数()f x 的Fourier 级数为

01()

(cos sin )2n n n a n x n x f x a b l l

ππ∞=++∑，

其中 1()cos

,0,1,2,l n l n x

a f x dx n l l

π-==?，1()sin

,1,2,l n l n x

b f x dx n l l

π-==?。

【步骤】：

Step1：求出f(x)的Fourier 系数；

由于函数f(x)为奇函数，由Fourier 系数的公式知道，a n =0，因此它的Fourier 级数只含有正弦项，又因为f(x)sin(nx)为偶函数，故级数中的系数

2

2(1(1))

()sin(),1,2,

n n b f x nx dx n n π

π

π

--=

==

?

Step2：绘制逼近图形 【程序】：参见Exm09Demo05.m 。 【输出】：如下图。

图9-2 Fourier 级数逼近

实验练习

1．求下列级数的和：

（1）121(1)(21)

n n n x n n -∞

=--∑（提示：微分，2

2arctan ln(1),||1x x x x -+≤）；

（2）221

(21)2n n n n x ∞

-=-∑

（提示：积分，2

22

2,||(2)x x x +≤-； （3）123n n n ∞

=∑（提示：考虑幂级数1

n

n nx ∞

=∑，32）。

2．求下列函数在指定点处的幂级数展开式：

（1）01(),1(3)f x x x x =

=+；参考：1011

(1)(1)(1),|1|134

n n n n x x ∞+=----<∑； （2）00

()cos ,0x

f x t tdt x ==?；参考：22

0(1),||(22)(2)!

n n n x x n n +∞

=-<+∞+∑。

3．设()f x 是以2π为周期的函数，它在[,]ππ-上的表达式为

,0

(),0x x f x x x ππππ

+-≤≤?=?

-<≤? 试将()f x 展开成Fourier 级数，并绘图观察部分和逼近()f x 的情形。