52向量空间的定义和基本性质

5.2向量空间的定义和基本性质

授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质

教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质

授课时数：3学时

教学重点：线性空间的定义及基本性质

教学难点：性质及有关结论的证明

教学过程：

一、线性空间的定义

1. 引例―――定义产生的背景

例子． 设F b a F n ∈∈,,,,γβα则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.

（1）αββα+=+ （2）)()(γβαγβα++=++

（3）ααα=+??有零向量 （4）

0=-+-?）（使，有对αααα （5）βαβαa a a +=+)( （6）αααb a b a +=+)(

（7）)()(ααb a ab = （8）αα=?1

这里F b a F n ∈∈,,,,γβα

2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质

Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作 ,,,γβα；F 是一个数域F c b a ∈ ,,,如果在集合V 中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F ?V 到V 的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F 中元素a 与V 中α的乘积记作V a a ∈αα,）。如果加法和纯量乘法满足：

1）αββα+=+

2）)()(γβαγβα++=++

3）ααα=+∈?∈?0,0，有对V V （找出0元）

4）?∈?，V ααˊV ∈使得αα+ˊ=称αˊ为α的负向量（找出负元） 5）βαβαa a a +=+)(

6）αααb a b a +=+)(

7）)()(ααb a ab =

8）αα=?1

V 是F 上的一个线性空间，并称F 为基数域.

3. 进一步的例子――加深定义的理解

例1：复数域C 对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R 上的线性空间.

例2：任意数域F 可看作它自身的线性空间.

例3 {}V α=其加法定义为ααα+=, 数乘定义为a αα=, 则V 是数域F 上的线性空间.

注: V={0}对普通加法和乘法是数域F 上的线性空间, 称为零空间.

例4：设F 是有理数域，V 是正实数集合，规定),,(,F a V a a ∈∈=?=⊕βααααββα

练习 集合V 对规定的,⊕ 是否作成数域F 上的线性空间？

1212112212,(,,,)(,,,)

(,,,),

(,,,)(0,0,,0)

n n n n n n V F a a a b b b a b a b a b a a a a =⊕=+++=

解 显然V 对,⊕ 满足条件1）—7），但对任意的 12(,,,)n n a a a F ∈

有12121(,,,)(0,0,,0)(,,,),n n a a a a a a =≠

故集合V 对规定的不作成数域F 上的线性空间.

由此例可以看出, 线性空间定义中的条件8)是独立的, 它不能由其他条件推出.

二、线性空间的简单性质

1、线性空间V 的加法和纯量乘法有以下基本性质.

Th5.2.1

1） V 的零向量唯一，V 中每个向量的负向量是唯一的.

2） αα=--)(

证明：1）设120,0是V 的两个零向量，则11220000=+=.

设12,αα是α的负向量, 则有

120,0,αααα+=+= 于是 111212220()()0αααααααααα=+=++=++=+=

*由于负向量的唯一性, 以后我们把的α唯一负向量记作α-.

2） 因()0,αα+-= 所以().αα--=

3） *我们规定: (),αβαβ-=+- 且有.αβγαγβ+=?=-

定理5.2.2 对F 的任意数a, b 和V 中任意向量,αβ, 则有

1) 000.αα==

2) ()(),a a a ααα-=-=- 特别地, (1).αα-=-

3) 000.a a αα=?==或

4) (),().a a a a b a b αβαβααα-=--=-

证明: 1) 因为0(00)00.αααα=+=+ 所以00.α= 类似地可证00.α=

2) 因为()(())00,a a a a αααα+-=+-

== 所以()a α-是a α的负向量, 即()a a αα-=-.

同理可证 ().a a αα-=-

3) 设0,

a α= 如果0,a ≠ 则有1,a F -∈ 于是1111()()00.

a a a a a αααα---=?==== 4) ()(())(),a a a a a a αβαβαβαβ-=+-=+-=-

()(())().a b a b a b a b αααααα-=+-=+-=-

注: 线性空间的定义中1αα?=与定理5.2.2的性质3)在其他条件不变的情况下等价.

事实上, 由线性空间的定义可推出定理5.2.2的性质3).

反之, 由线性空间定义中的条件1)—7)及定理5.2.2的性质3）可推得1αα?=

因为 1(1)1(1())

1(1)1()(11)(1)1(1)0,

αααααααααα??-=??+-=??+?-=??+-?=?+-?=

由性质3） 10,1.αααα

?-=?=所以 课堂讨论题：

检验以下集合对于指定的线性运算是否构成相应数域上的线性空间：

1）起点在原点，终点在一条直线上的空间向量的全体作成的集合V ，按通常集合向量的加法及数乘运算；

2）11212{(,,,)1,}n n i V x x x x x x x F =+++=∈

21212{(,,,)0,}n n i V x x x x x x x F =+++=∈

按通常数域F 上n 维向量的加法及乘法运算；

3）3{()0,}n n V X Tr X X F ?==∈

3{}V =数域F 上n 阶对称与反对称方阵的全体

按通常数域F 上矩阵的加法及乘法运算；

4）32151321{}n n i V a x a x a x a F ++=+++∈

2160121011{1,}n n n i V a a x a x a x a a a a F ---=+++++++=∈

按通常数域F 上多项式的加法及数乘运算；

5）全体实数R 的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成复数域C 上线性空间？ 全体复数域C 的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成实数域R 上线性空间？

6）数域F 上的n 阶方阵全体，按通常数与矩阵乘法，但加法定义为

A B A B B A

⊕=- 三、子空间

1、子空间的定义

定义2：子空间的定义：V 是F 上一个线性空间，W 是V 的一个非空子集，如果W 对V 的加法和F ?V 到V 的纯量乘法，也作成F 上的一个线性空间，则称W 是V 的子空间。

例5：F n [x]是F[x]的子空间.

例6：V 是它本身的一个子空间. {0}也是V 的子空间.

V 和零空间叫做V 的平凡子空间，V 的其他子空间叫做V 的真子空间.

2、子空间的判断：

Th5.2.3 设V 是数域F 上的线性空间, W 是V 的一个非空子集，则W 是V 的子空间的充要条件：

（1）V V ∈+∈?βαβα有,,

（2）W a V F a ∈∈∈?αα有,

证明：

(1) W 对加法封闭, 即对任意,,.W W αβαβ∈+∈有

(2) W 对纯量乘法封闭, 即对任意,,.a F W a W αα∈∈∈有

证明: 必要性. 设W 是V 的子空间, 则V 的加法是W 的代数运算, 从而W 对V 的加法封闭; 另外, F V ?到V 的纯量乘法也是F W ?到W 的纯量乘法, 因此W 对纯量乘法也封闭.

充分性. 由于W 对V 的加法封闭, 对F V ?到V 的纯量乘法封闭, 所以V 的加法是W 的代数运算, F V ?到V 的纯量乘法也是F W ?到V 的纯量乘法的代数运算. 线性空间定义中的算律1), 2), 5), 6), 7), 8)对V 中任意向量都成立, 自然对W 的向量也成立. 由W 对纯量乘法的封闭性和定理5.2.2, 对于,00W W αα∈=∈, 所以V 中的零向量属于W, 它自然也是W 的零向量, 并且(1)W αα-=-∈, 因此条件3)和条件4)也成立, 故W 是

V 的子空间.

推论1：W 是V 的一个非空子集，则W 是V 的子空间的充要条件：

,,,a b F W a b W αβαβ?∈∈+∈有

3、生成子空间

例7：设12,,,n ααα 是数域F 上的线性空间V 的一组向量.

=),,,(21n L ααα }|{2211F a a a a i n n ∈+++ααα

则),,,(21n L ααα 作为V 的一个子空间. 1212,0(1,2,,),0000(,,,),

i n n a i n L αααααα===++∈ 事实上取于是

所以12(,,,).n L αααφ≠

又因11221122()()n n n n a a a b b b αααααα+++++ 11122212()()())(,,,)n n n n a b a b a b L αααααα=++++++∈ 1122()n n a a a a ααα++ 112212()()()(,,,),

n n n aa aa aa L αααααα=+++∈ 12(,,,).

n L V ααα 所以作成的一个子空间121212(,,,),,,,,,,.

n n n L ααααααααα 称为由生成的

子空间称为它的一组生成元

4、子空间的交与并 Th4: W 1,W 2是V 的两个子空间，则W 1? W 2仍是V 的子空间. (问W 1?W 2是否为V 的子空间.)

证明: 因为W 1,W 2是V 的两个子空间，所以12120,0,0,W W W W ∈∈∈?从而于是 12.W W φ?≠

12,,,,a b F W W αβ∈∈?对任意

12,,a b W a b W αβαβ+∈+∈有

12,a b W W αβ+∈?因而

所以12W W ?是V 的子空间.

推广：若W 1，W 2n W 是V 的子空间，则i W ),2,1(n i =也是V 的子空间.

例：A 是一个n 阶矩阵，S （A ）={B ∈][F M n |AB=BA}则S （A ）是][F U n 的一个子空间.

证：AI IA = Φ≠∈∴)(A S I

A B AB A B AB A S B B 221121),(,==∈?，于是

又

A

lB kB A

lB A kB lAB kAB lB kB A )()(21212

121+=+=+=+

)(21A S lB kB ∈+∴

2.两个子空间的并则不一定是子空间.（W 1 W 2={21|W W ∈∈ααα或}） .12212121V V V V V V V V V V ??或的子空间的充要条件是是的两个子空间，证明是，例：设

证：”（充分性）“? 当1V ?2V 时21V V =2V

当2V ?1V 时21V V ?=1V

由已知1V ，2V 均为V 的子空间.

“?”（反证）设21V V 是V 的子空间，且1V ?2V ，2V ?1V ，则存在α∈1V ，α∈2V ，也存在β∈1V ，β ∈2V ，由于βα,∈21V V 且21V V 是V 的子空间，因而βα+∈21V V ，于是βα+∈1V 或βα+∈2V ，故有β∈1V 或α?2V 与α?2V 且β∈1V 矛盾

因此 1V ?2V 或2V ?1V