一题多解一题多变

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初中数学解题教学设计——复习《三角形》

具体操作：限定时间15分钟 1、学生先在学习卡上独立完成； 2、4人小组互相补充； 3、教师多媒体对答案。

二、典型例题学习卡：

例：如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，BD 交OC 于点P,AC 交OB 于点Q,连结BC ．求证：BD=AC. 你还能得出哪些正确的结论呢？请选择其中的一个进行证明。

具体操作： 1、对于第一个问题要求学生独立思考并寻求解题方法； 2、

学生在学习卡上单独完成至少一种解答，鼓励多种解答；（给

予充分的时间）

P Q C B

O D

3、 4人小组互相讨论补充不同的解题方法并将不同的方法汇总

到小组长处；

（学生答题讨论时教师多巡视、指导、发现不同的解题方法） 4、

教师将各小组不同的解题方法汇总，并用多媒体进行展示，同

时提供解题方法者上台讲解，教师给予适当点评和表扬； 5、

根据不同的解答过程学生进一步思考，还能得出哪些正确的结

论，要求结论尽可能多； 6、教师将各小组不同结论汇总、筛选并要求学生证明。 7、

各组挑选代表讲演，教师适时作出鼓励与点评。

8、请4人小组讨论交流，选出比较简单、合理又具有普遍意义的解法。

学生解题方法摘录：方法一：（用得最多）

用SAS 证明⊿BOD ≌⊿AOC,再用全等三角形对应边相等证明AC=BD. 方法二：（用得较多）

用ASA 或SAS 或AAS 证明⊿ABD 与⊿DCA 是全等三角形，再用全等三角形对应边相等得到AC=BD 方法三：

先证明BO=DO CO=AO AB=BC=CD ∠BOD=∠AOC=∠BCD=∠ABC=120°

再利用等腰三角形的性质等边对等角，计算出∠EDA=∠EAD=∠EBC=

P Q C B

A E

∠ECB=30°

然后运用等腰三角形的判定等角对等边证明AE=DE,BE=CE 从而得到AC=BD. 方法四：

先证明四边形ABCD 是等腰梯形，再利用等腰梯形的性质对角线相等得到AC=BD 。方法五：

先证明⊿AOB 、⊿COD 、⊿BOC 是全等的等边三角形，从而高相等，再证明DP 、BP 、AQ 、CQ 分别是等边三角形的高，所以AC=BD=2倍高方法六：

先证明⊿ABD 与⊿DCA 是直角三角形，再用HL 证明全等，根据对应边相等得到AC=BD ；或是用勾股定理正得AC 2=BD 2,从而得到AC=BD 。方法七：

证明四边形ABCO 和四边形DCBO 是全等的菱形，而对角线BO=CO,从而AC=BD. 方法八：

如图,先证明A 、B 、C 、D 在以O 为圆心，以 AO 为半径的一个圆上，再证明弧BD=弧AC ，

从而得到AC=BD.或者利用圆心角∠BOD=∠AOC ，从而得到AC=BD.

学生得出的结论摘录：

四边形ABCD 为等腰梯形，四边形ABCO 为菱形，OP=OQ, ⊿CEB ∽⊿AED

P Q C B

O D

且相似比为1︰2,

⊿BQE ∽⊿AQO, ∠AEB=60°, BE ︰PE ︰DP=2︰1︰3, CE 2=PE ·DE, OP 为⊿ABD 的中位线， ⊿OPQ 为等边三角形等。

教学反思：

学生开始单独完成解答时，一般都只能想到一两种解题方法，后来通过小组讨论交流之后，基本上每个小组都能拿出四种以上的方法，效果非常显著，在这个环节，小组合作起到了至关重要的作用。将每个小组的方法汇总、点评之后，为后来得出其他一些正确结论作了恰当的铺垫，所以学生都能得到五种以上不同的正确结论。这时，学生思路被完全打开，也为证明其他没能想到的正确结论打下了基础。非常难得的是学生能广泛进行联想把所学的圆、四边形等知识与三角形密切联系起来，创造性地应用所学到的各种知识和方法去解决问题，实现了知识的正向迁移，真正有效地提高了学生的问题解决能力。

三、课后变式训练学习卡：

变式一：（利用旋转进行变式）

⊿AOB 固定不动，保持⊿COD 形状大小不变，将⊿COD 绕点O 旋转（两三角形不重叠），则以上所得结论还成立吗？

P C

变式二：（利用平移进行变式）

若点O 是线段AD 上一动点，则以上结论还成立吗？ ⊿COD 再绕点O 旋转呢？

变式三：（改变条件进行变式）

若将⊿AOB 和⊿COD 改为全等的等腰三角形呢？

教学反思：

由于课堂时间有限，这个环节没能在课堂上完成，所以只能请学生课后完成。将例题变化、拓展后，要求学生找出变式与例题的相同和不同之处，从而找出问题的实质，从而顺利的解决这些问题。特别提示∠AEB=60°、OP=OQ 等结论是否还成立？若成立，要求学生进行证明。并从中总结、概括解题方法，得出一般规律。

C O

设计意图：

本堂课是初三的一节复习课，立足于使学生牢固掌握基础知识和基本技能，并能灵活运用知识进行独立思考，选择具有典型性、探索性、多解性、拓展性的例题，并通过小组合作培养了学生思维的灵活性、深刻性、广阔性、批判性和创造性等良好的思维品质，从而有效地提高解题能力。

设计框架:

学生复习知识点——学生独立思考例题——学生书写证明过程——小组讨论交流——汇总不同解题方法——学生上台讲解展示——教师点评——学生思考得出其他结论——汇总不同结论——选择结论证明——小组讨论交流优选方法——变式拓展训练——学生总结概括解题方法。

设计特色：

1、本堂课通过精选例题，要求学生一题多解、一题多变，真正使

学生做到活学活用，培养了学生思维的多发性、探索性。通过从特殊到一般和一般到特殊的联想，培养了学生思维的深刻性和跳跃性，使学生的解题能力得到了提高。

2、本堂课几乎全部由学生自己完成，克服了传统复习课的以教师

讲解为主的沉闷、压抑的弊端。教师把讲台真正让给学生，让学

生自己讲解，这样既锻炼了学生的勇气及语言表达能力，也激发了学生学习积极性，更加强了学生的成就感，真正培养了学生的综合应用能力。

3、本堂课采用4人小组合作的学习方式，为学生创造了一个和

谐、愉悦的学习氛围，为学生互相学习提供了条件，化被动学习为主动学习，促进了学生之间的情感交流，使对数学不感兴趣的学生，都有了表现的欲望，使学生个性得到了良好的发展，从而使课堂效率得到很大的提高。