经济数学微积分-经济数学微积分教案-多元函数微积分学

第4章多元函数微积分学

本章知识结构导图

一、教学要求

1、理解空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点间的距离；理解常见曲面方程的表达式；理解平面区域的相关概念.

2、理解二元函数的概念及几何意义；了解多元函数的概念.

3、了解二元函数的极限与连续的概念；了解有界闭区域上二元连续函数的性质.

4、理解二元函数偏导数与全微分的概念；了解全微分存在的必要条件与充分条件，掌握求偏导数和全微分的方法；理解偏导数在经济分析中的应用.

5、掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导（对抽象复合函数的二阶偏导数，只做简单训练）.

6、会求由一个方程确定的隐函数的一阶偏导数.

7、理解二元函数极值与条件极值概念；会求二元函数极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求解比较简单的最大值和最小值问题.

8、理解二重积分的概念及几何意义；了解二重积分性质；掌握二重积分的计算方法（直

角坐标、极坐标）；会计算无界区域上的较简单的反常二重积分.

9、会用多元函数的微积分知识解决一些简单的经济问题.

二、教学重点、难点

1、教学重点：偏导数；全微分及其应用；多元复合函数和隐函数的求导公式；二元函数极值；二重积分的计算方法.

2、教学难点：二次曲面的方程；偏导数在经济分析中的应用；多元复合函数和隐函数的求导法则；二元函数极值的必要条件和充分条件；条件极值；二重积分的计算及应用.

三、教学内容及课时划分

4.1 空间解析几何基础知识 3课时

4.2 多元函数的概念 3课时

4.3 偏导数及其应用 4课时

4.4 全微分及其应用 2课时

4.5 多元复合函数与隐函数的求导公式 3课时

4.6 多元函数的极值及其应用 3课时

4.7 二重积分的概念和性质 2课时

4.8 直角坐标下二重积分 2课时

4.9 极坐标下二重积分的计算 2课时

习题课 4课时

计28课时

4.1空间解析几何基础知识

教学要求：1、了解空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点间的距离；

2、了解常见曲面的方程及其图形；

3、了解空间曲线的一般方程及在坐标面上的投影曲线的方程.

教学重难点：

1、教学重点：两点间的距离公式；平面方程的表达式及其图形.

2、教学难点：常见曲面的方程及其图形；空间曲线的一般方程及在坐标面上的投影曲线的

方程.

教学课时：3

教学过程：

一、空间直角坐标系

1、空间点的坐标

2、空间两点间的距离

21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==

特别地，如果两点分别为),,(z y x M ，(0,0,0)O ，那么

d OM ==【例1】求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。

【证明】 12==M M

23==M M

31==M M 由于 1332M M M M =，原结论成立。

【例2】设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标。

【解】因为P 在x 轴上，设P 点坐标为)0,0,(x ()

1132222

21+=++

=

x x PP ()211222

22+=+-+=x x PP

212PP PP = 2x 211x 22+=+∴

1±=?x 所求点为：)0,0,1(，)0,0,1(-

【例3】已知：)2,3,4(),2,4,3(B A ，求与A B 等距离的点。 【解】设所求的动点为),,,(z y x M ,2

2

BM AM

=

222222)2()3()3()2()4()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x

化简得：x = y

到空间两点等距离的点的轨迹是这两点连成线段的垂直平分面，这里=x y 就是空间线段AB 的垂直平分面的方程.

【例4】建立球心在),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程.

【解】设(,,)M x y z 是球面上的任一点，那么

R M M =0

即

R z z y y x x =-+-+-202020)()()(

或

2202020)()()(R z z y y x x =-+-+-

特别地，如果球心在原点，那么球面方程为

2222R z y x =++

二、常见的空间曲面及其方程

定义4.1如果曲面S 与三元方程

0),,(=z y x F

有下述关系：

（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ； （2）满足方程0),,(=z y x F 的点都在曲面S 上.

那么，方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程，而曲面S 称为方程0),,(=z y x F 的图形. 下面介绍几种常见曲面及其方程. 1.平面

空间平面方程的一般形式为

0Ax By Cz D +++=

其中,,,A B C D 均为常数，且,,A B C 不全为零.

考虑一些特殊情况，例如，当0D =时，表示通过原点的平面；当0A =，,,B C D 不为零，表示一个平行于x 轴的平面；当0A B ==，,C D 不为零，方程为0Cz D +=，表示一个平行于xoy 面的平面.

2.柱面

平行于定直线L 并沿定曲线C 移动的直线l 所形成的轨迹称为柱面，其中定曲线C 称为该柱面的准线，动直线l 称为该柱面的母线（如图4.4）.

图 4.4 图 4.5

这里我们只讨论母线平行于坐标轴的柱面（如图4.5）.

一般地，如果曲面方程(,)0F x y =中只含,x y 而不含z ，那么表示母线平行于z 轴的

柱面，xoy 面上的曲线(,)0F x y =是柱面的一条准线.

例如，22

221x y a b +=表示母线平行于z 轴的椭圆柱面（如图4.6），当a b =时，表示母

线平行于z 轴的圆柱面；2

2y x =表示母线平行于z 轴抛物柱面（如图4.7）；22

221

x y a b

-+=表示母线平行于z 轴的双曲柱面（如图4.8）.

图 4.6 图 4.7 图 4.8

3.二次曲面

三元二次方程所表示的空间曲面称为二次曲面.这里主要讨论几个常用的二次曲面及其方程.

（1）椭球面

222

222

1(,,0)x y z a b c a b c ++=> 其图形如图4.9所示，,,a b c 分别为椭球面的三个半轴的长度，其中任意两个半轴的长度相等时，称为旋转椭球面，当三个半轴都相等时，即为球面. （2）椭圆抛物面

22

222(,0)x y pz a b a b

+=> 其中0p >时，开口向上，其图形如图4.10所示；0p <时，开口向下. 当a b =时，称为旋转抛物面.

（3）双曲抛物面（又称马鞍面）

22

222x y pz a b

-= (,0)a b > 0p <时的图形如图4.11所示.

图 4.9 图 4.10 图

4.11

（

4）单叶双曲面

1

2

2

2

2

2

2

=

-

+

c

z

b

y

a

x

其图形如图4.12所示，当a b

=时，称为旋转单叶双曲面.

（5）双叶双曲面

222

222

1

x y z

a b c

+-=-

其图形如图4.13所示，当a b

=时，称为旋转双叶双曲面.

（6）二次锥面

222

222

x y z

a b c

+-=(,,0)

a b c>

其图形如图4.14所示，当a b

=时，称为圆锥面.

图 4.12 图 4.13 图 4.14

三、空间曲线及其在坐标面上的投影曲线

空间曲线可以看出空间两个曲面的交线，曲面(,,)0

F x y z=与(,,)0

G x y z=的交线Γ可以用方程组

(,,)0

(,,)0

F x y z

G x y z

=

?

?

=

?

来表示，该方程组称为曲线Γ的一般方程.

如方程组

22

21

326

x y

x z

?+=

?

+=

?

图4.15

中第一个方程表示母线平行于z轴的椭圆柱面，第二个方程表示平行于y轴的平面.方程组则表示上述椭圆柱面与平面的交线，如图4.15所示.该曲线在xoy平面上的投影曲线就是

2221

x y z ?+=?

=? 其图形就是xoy 平面上的椭圆.

四、作业：

习题4.1 4、 7（2）（3）（4）、 9（2）

§4.2 多元函数的概念

教学要求：1、了解平面区域的相关概念.

2、了解二元函数的概念及几何意义,了解多元函数的概念；

3、了解二元函数的极限与连续的概念；

4、了解有界闭区域上二元连续函数的性质.

教学重难点：

1、 教学重点：二元函数的概念；二元函数的极限.

2、 教学难点：二元函数的极限与连续性. 教学课时：3 教学过程：

一、平面区域的相关概念

1.平面点集

2.邻域

3.内点、外点和边界点

4.开集、开区域与闭区域

5.有界区域和无界区域

二、多元函数的概念

定义4.2 设D 是xoy 平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点(,)x y ，按照某

对应法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称变量z 为,x y 的二元函数，通常记为

),(y x f z =，(,)x y D ∈

其中点集D 称为该函数的定义域，x ,y 称为自变量，z 称为因变量.数集

{(,),(,)}W z z f x y x y D ==∈

称为该函数的值域.

z 是x

,y 的函数也可记为),(y x z z =，(,)z x y ?=等等.

在定义4.2中，由于自变量构成的有序数组(,)x y 与xoy 平面上的点(,)P x y 一一对应，因此f 又可以看成是点P 的函数，记为

()z f P =，P D ∈

类似地，可以定义三元函数),,(z y x f u =以及三元以上的函数. 当2≥n 时，n 元函数就统称为多元函数.

与一元函数类似，关于多元函数的定义域，我们作如下约定：当用某个算式表达多元函数时，凡能使这个算式有意义的自变量的值所组成的点集称为这个多元函数的自然定义域.例如，函数ln()z x y =+的定义域为{(,)0}x y x y +>（如图4.21）.

【例1】求函数222

z x y

=

-的定义域.

【解】 自变量,x y 应满足下列不等式

22

2

31

x y x y ?--≤??->?? 所以，函数的定义域为

{}222(,)24,D x y x y x y =≤+≤>（如图4.22）

图 4.22 图 4.23

设函数),(y x f z =的定义域为D .对于任意取定的D 内的一点(,)x y ，对应的函数值为),(y x f z =，在空间就确定一点(,,)P x y z .当),(y x 遍取D 上的一切点时，得到一个空间点集

}),(),,(),,{(D y x y x f z z y x ∈=

这个点集也即P 点的轨迹，称为二元函数),(y x f z =的图形.通常，二元函数的图形是空间的一张曲面（如图4.23），而定义域D 就是该曲面在xOy 平面上的投影.

例如，二元函数224z x y =--2的上半球面，其定义域为{}

22(,)4x y x y +≤.

三、二元函数的极限

定义 4.3设二元函数(,)z f x y =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义.如果当点

(,)P x y 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数

(,)z f x y =当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作

00(,)(,)

lim

(,)x y x y f x y A →= 或 (,)f x y A →（00(,)(,)x y x y →）

也记作 0

lim ()P P f P A →= 或 ()f P A →（0P P →）

二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则.为了区别于一元函数的极限，称二元函数的极限为二重极限.

【例2】 设函数2222

22,0(,)0,0xy

x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?

，证明当(,)(0,0)x y →时，(,)

f x y 的极限不存在.

【证】 当点),(y x P 沿x 轴趋于点)0,0(时，

(,)(0,0)0

lim (,)lim (,0)0x y x y f x y f x →→===

又当点),(y x P 沿y 轴趋于点)0,0(时，

(,)(0,0)

lim (,)lim (0,)0x y y x f x y f y →→===

再找一条更为一般的路径，当点),(y x P 沿着直线kx y =趋于点)0,0(时，有

2222222(,)(0,0)0lim lim 1x y x y kx

xy kx k

x y x k x k →→===+++ 因此，(,)f x y 在(,)(0,0)x y →的极限不存在.

【例3】 求

(,)(0,2)sin()

lim

x y xy x →

【解】 这里x

xy y x f )

sin(),(=的定义域为{}(,)0,D x y x y R =≠∈.由极限运算法则得

(,)(0,2)02sin()sin()

lim

lim lim 122x y xy y xy xy y x xy →→→=?=?=

【例4】 求

22

(,)(0,1)

lim arctan

+x y xy

x x y

→

【解】由于

(,)(0,1)

lim 0x y x →=，而

22

arctan

+2

xy x y π

≤ 由无穷小的性质，可得

22

(,)(0,1)

lim arctan

0+x y xy

x x y →=

四、二元函数的连续性

定义4.4 设函数(,)z f x y =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，如果

0000(,)(,)

lim

(,)(,)x y x y f x y f x y →=

则称函数(,)z f x y =在点),(000y x P 连续. 如果函数(,)z f x y =在开区域（或闭区域）D 内的每一点连续，那么就称函数(,)z f x y =在D 内连续，或者称(,)z f x y =是D 内的连续函数.在区域D 上连续的二元函数的图形是区域D 上的一张连续曲面.

设函数(,)z f x y =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，分别给00,x y 增量,x y ??，并使得00(,)x x y y +?+?在该邻域内，这时(,)z f x y =的相应增量为

0000(,)(,)f x x y y f x y +?+?-

称为函数(,)f x y 在点),(000y x P 的全增量，记为z ?.如果

(,)(0,0)

lim 0x y z ??→?=

那么称函数),(y x f 在点),(000y x P 连续.

实际上，

(,)(0,0)

lim 0x y z ??→?=与

0000(,)(,)

lim

(,)(,)x y x y f x y f x y →=是等价的.

如果函数(,)z f x y =在点),(000y x P 不连续，那么称0P 为函数(,)z f x y =的间断点. 前面例2中讨论过的函数

2222

22,0,(,)0,0,xy

x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?

当(,)(0,0)x y →时的极限不存在，所以点)0,0(是该函数的一个间断点.

二元函数的间断点还可以形成一条曲线，称为间断线.例如，函数

1

1

sin

2

2-+=y x z 在整个圆周12

2

=+y x 上没有定义，所以12

2

=+y x 是该函数的间断线.

性质1（有界性与最大值最小值定理） 定义在有界闭区域D 上的多元连续函数，在D 上一定有界，且能取到最大值和最小值.

性质2（介值定理） 定义在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.

由多元初等函数的连续性，如果要求函数在点0P 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则其极限值就是函数在该点的函数值，即

)()(lim 00

P f P f P P =→

【例5】 求22

(,)(1,2)lim xy x y x e xy

-→+

【解】 22

(,)(1,2)lim

(1,2)1xy x y x e f xy

-→+== 【例6】 求

(,)lim

x y →

【解】

(,)(,)(0,0)lim

lim

x y x y →→=

(,)lim 12x y →=

=

在(0,0)处无定义，所以在(0,0)处间断，但并不影响在(0,0)处极限的存

在，1在(0,0)处连续，因此直接将(0,0)代入求其函数值即可.

五、作业：

习题4.2 1（3）、2（2）、3（3）（4）、4（1）

4.3 偏导数及其应用

教学要求：1、了解二元函数偏导数的概念和几何意义；

2、掌握求偏导数的方法；

3、掌握求二阶偏导数的方法；了解二阶以上的高阶偏导数的概念.

4、理解偏导数的经济意义，会进行偏弹性分析；

教学重难点：

1、教学重点：偏导数的计算.

2、教学难点：高阶偏导数的计算;偏导数的经济意义. 教学课时：4 教学过程：

一、偏导数

1.偏导数的概念

定义 4.5设函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ?时，00(,)x x y +?在该邻域内,函数),(y x f z =有相应的增量

),(),(0000y x f y x x f -?+，称为函数),(y x f z =在000(,)P x y 处对x 的偏增量.记为x z ?.

如果

0lim

x x z

x

???→

存在，那么称此极限为函数),(y x f z =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数，记为

0y y x x x

z ==??，

0y y x x x

f ==??，0

x x x

y y z =='或00(,)x f x y '

即

00000000(,)(,)

(,)lim

lim

x x x x z f x x y f x y f x y x x

?→?→?+?-'==?? 类似地，函数),(y x f z =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数为

0000000

(,)(,)

(,)lim

lim

y y y y z f x y y f x y f x y y

y

?→?→?+?-'==??

记作

0y y x x y

z ==??，

0y y x x y

f ==??，0

x x y

y y z =='或00(,)y f x y '

如果函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x ,y 的函数，称为函数(,)z f x y =对自变量x 的偏导函数，简称为偏导数，记为

x z ??，x

f ??，x z '或(,)x f x y ' 类似地，可以定义函数),(y x f z =对自变量y 的偏导数，记为

y z ??，y

f ??，y z '或(,)y f x y ' 【注】偏导数的记号,x x z f ''也记为,x x z f ，后面高阶偏导数也有类似的情况.

【例1】 求223z x xy y =++在点(1,2)处的偏导数. 【解】

23z

x y x

?=+? 32z x y y ?=+? 将(1,2)代入上面的结果，就得

12

8x y z

x

==?=?，

12

7x y z y

==?=?

【例2】

设3

222(,)f x y x y =+(-2)求(2,1)x f '，(0,1)y f '的偏数. 【解】 22(,1)(2)f x x =- 2(,1)4(2)x f x x x '=-

故 (2,1)16x f '=

又 32

(0,)4f y y = 1

38(0,)3

y

f y y -'= 于是 8

(0,1)3y

f '=

【例3】设)10(≠>=x x x z y

，，求证：

12ln x z z

z y x x y

??+=??. 【证】 因为

1y z

yx x

-?=?，ln y z x x y ?=? 所以

111ln ln ln y y

x z z x yx x x y x x y y x

-??+=+?? 2y y x x z =+=

【例4】 求222z y x r ++=

的偏导数.

【解】 对x 求偏导数，把y 和z 都看作常量，得

2r x

x x r

?==? 由所给函数关于自变量的对称性，得

r y y r ?=?，r z

z r

?=?

2.偏导数的几何意义

3.偏导存在与连续

例如，函数

2222

22,0(,)0,0xy

x y x y

z f x y x y ?+≠?+==??+=?

在点(0,0)对x 的偏导数为

(0,0)(0,0)

(0,0)lim

0x x f x f f x

?→+?-'==?

同样有

(0,0)(0,0)

(0,0)lim

0y y f y f f y

?→+?-'==?

但是在上节例4.6中我们已经知道该函数在点(0,0)并不连续.

二、高阶偏导数

【例5】 设3

4

2

3z x y xy =+-，求22x

z

??，x y z ???2，y x z ???2，22y z ??.

【解】

2233z

x y x

?=-?，346z y xy y ?=-?

22

6z x x

?=?，222126z

y x y ?=-? 26z y x y ?=-??，26z

y y x

?=-??

定理4.1 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x

y z

???2在区域D 内连续，

那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等，即

x

y z

y x z ???=

???22 【例6】

验证函数z =

222

20z z

x y

??+=??. 【证】 因为)ln(2

1

ln

2222y x y x z +=

+=，所以 22z x x x y ?=?+，22z y y x y

?=?+

于是 22222

2222222

()2()()

z x y x x y x x x y x y ?+-?-==?++

22222

2222222

()2()()z x y y y x y y x y x y ?+-?-==?++

因此 222222

222

22222

0()()z z y x x y x y x y x y ??--+=+=??++

三、偏导数在经济分析中的应用

1.常见经济函数偏边际分析 (1)需求函数的边际分析

【例7】设,A B 两种商品彼此相关，它们的需求函数分别为

A B Q Q =

=

试确定,A B 两种商品的关系.

【解】可以求出四个偏导数：

1231

332250=25,3A A

A B A B A B Q Q P P P P P P ---??-=?? 25

3375,50B B

B A B A B

Q Q P P P P P --??==-?? 因为0,0,A B P P >>所以

0,A B Q P ?>?0B

A

Q P ?>? 说明,A B 两种商品是替代品.

(2)科布——道格拉斯生产函数的边际分析

科布——道格拉斯生产函数是经济学中一个著名的生产模型：

1Q AL K αα-=，0,01A α><<

其中Q 为产量,,A α为参数，,L K 分别为人力和资本的投入量.偏导数

Q L ??和Q

K

?? 表示在另一个投入要素不变时，该单位要素对产量Q 的贡献，分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力.

【例8】设某商品的生产函数为0.60.4120Q L K =，求32L =和1024K =时的边际生产力.

【解】

0.40.40.40.41200.672Q

L K L K L

--?=??=? 0.60.60.60.61200.448Q

L K L K K

--?=??=? 当32L =和1024K =时，

0.40.4321024

72321024288L K Q L -==?=??=?

0.60.6321024

483210246L K Q K

-==?=??=?

【思考】这里计算的结果288，6分别表示怎样的经济意义？

2.偏弹性分析

【例9】某种数码相机的销售量A Q ,除与其自身价格A P 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格B P 有关，满足关系

2250

12010A B B A

Q P P P =+

-- 求50,5A B P P ==时，（1）A Q 对A P 的弹性；（2）A Q 对B P 的交叉弹性；（3）判断这种数码相机是奢侈品还是必需品，并判断与彩色喷墨打印机的关系.

【解】（1）A Q 对A P 的弹性

A A AA A A Q P E P Q ?=

??22

250

250

12010A

A

B B A

P P P P P =-?+--

当50,5A B P P ==时， 110

AA E =-

(2)A Q 对B P 的交叉弹性

A B

AB B A

Q P E P Q ?=

??2

(102)25012010B

B B B A

P P P P P =-+?+--

当50,5A B P P ==时， 2AB E =-

（3）由1AA E <,可知这种数码相机是必需品；由2AB E =-,可知这种数码相机与彩色喷墨打印机是互补品的关系.

四、作业:

习题4.3 1.(2)(4)(7)(8)、4、 6.(1) 、 8

4.4全微分及其应用

教学要求：1、了解二元函数全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件.

2、会求全微分；

3、了解全微分在近似计算中的应用.

教学重难点：

1、教学重点：全微分的计算.

2、教学难点：全微分的近似计算. 教学课时：2 教学过程：

一、全微分

1.全微分的概念

定义4.6 如果函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的全增量

0000(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-

可表示为

()z A x B y o ρ?=?+?+

其中A ,B 与,x y ??无关，而仅与点00(,)x y 有关，22)()(y x ?+?＝ρ，则称函数

),(y x f z =在点000(,)P x y 可微分，而y B x A ?+?称为函数),(y x f z =在点

000(,)P x y 的全微分，记作0

(,)d x y z ，即

(,)d x y z A x B y ??=+

如果函数),(y x f z =在区域D 内每一点处都可微分，则称函数),(y x f z =在区域D 内可微分.函数),(y x f z =在D 内任意点(,)x y 处的全微分记作

d z A x B y ??=+

2.多元函数可微分与连续

如果函数),(y x f z =在点000(,)P x y 可微分，那么函数在该点必定连续. 事实上，如果在点000(,)P x y 可微分，由()z A x B y o ???ρ=++可得

00

lim 0x y z ???→→=

从而

000000

lim[(,)(,)]0x y f x x y y f x y ????→→++-=

即

000000

lim (,)(,)x y f x x y y f x y ????→→++=

因此函数),(y x f z =在点000(,)P x y 处连续.

3.函数),(y x f z =在点),(y x P 可微分的条件

定理 4.2（必要条件） 如果函数),(y x f z =在点),(y x P 可微分，那么该函数在点

),(y x P 的偏导数

x z ??，y

z ??必定存在，且有 ,z z

A B x y

??=

=

?? 【证】 设函数),(y x f z =在点),(y x P 可微分.于是，对于点P 的某个邻域的任意一点

(,)P x x y y '+?+?，总有()z A x B y o ???ρ=++

若令0=?y ，0x ?≠,则

|)(|),(),(x o x A y x f y x x f ?+??=-?+

两边同除以x ?，当0→?x 时,有

00000

0(,)(,)lim

lim x x x f x x y f x y z z

A x x x

?→?→+?-??===??? 从而偏导数

x z ??存在，且等于A .同样可证z

B y

?=?.证毕. 由定理4.2可得 d z z

z x y x y

????=

+?? 又当z x =时，d d z x x ?==，当z y =时，d d z y y ?== 因此全微分d z 可以写成 d d d z z z x y x y

??=

+?? 例如，函数

22220(,)0,0x y z f x y x y +≠==+=?

在点)0,0(P 处有(0,0)0x f =及(0,0)0y f =，所以

[(0,0)(0,0)]x y z f x f y ?-??+??=

而

2200

lim

lim

()()x x y y x y

x y ?→?→?→?→???=?+?

由例4.6可知，该极限不存在.说明

[(0,0)(0,0)]x y z f x f y ?-??+??

不能表示为ρ的高阶无穷小，因此函数在点)0,0(P 处的全微分并不存在，即函数在点)0,0(P 处不可微.

定理 4.3（充分条件） 如果函数),(y x f z =的偏导数x z ??,y

z

??在点),(y x P 连续，则函数在该点可微分.

证明略.

综上讨论，在多元函数微分学中，可微、偏导存在、连续之间的关系是：

偏导数存在 偏导数存在且连续 可微

连续 但反之均不成立.

以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以类似地推广到三元和三元以上的多元函数.

如果三元函数(,,)u x y z ?=可微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即

d d d d u u u

u x y z x y z

???=

++???. 【例1】 计算函数e xy z =在点)1,2(处的全微分. 【解】 因为

e xy z

y x

?=?，e xy z x y ?=? 221

e x y z

x

==?=?，

221

2e x y z y

==?=?

所以 22

d e d 2e d z x y =+

【例2】 计算函数(ln )z u x y =-的全微分. 【解】 因为

1(ln )z u

z x y x -?=-?

()11ln z u z x y y y -???=-?- ????

()ln ln(ln )z

u x y x y z

?=--?

所以 ()()11

d (ln )d ln d ln ln(ln )d z z

z z u z x y x x y y x y x y z y

--=--

-+--

二、全微分在近似计算中的应用

如果函数(,)z f x y =在点00(,)P x y 处可微分，并且当||,||x y ??都较小时, 那么有近

似公式(1)0000d (,)(,)x y z z f x y x f x y y ''?≈=?+?

(2)00000000 (

,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+? 【例3】 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20.05cm , 高度由100cm 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.

【解】 设圆柱体的半径、高和体积依次为r h 、和V , 则有

2 V r h π=

已知20,100,0.05,1.r h r h ==?=?=- 根据近似公式(1), 有

2d 2r h V V V r V h rh r r h ππ''?≈=?+?=?+?3200()cm π=-

即此圆柱体在受压后体积约减少了3200cm π. 【例4】计算 2.02(0.97)的近似值.

【解】 设函数(,).y

f x y x = 显然, 要计算的值就是函数在0.97, 2.02x y ==时的函数值(0.97,2.02)f

取001,2,0.03,0.02.x y x y ==?=-?=由近似公式(2),得

00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?

y x x x x y x y

y y

??+?+=-001

00ln 000

所以 2.02(0.97)0.94≈.

三、作业：

习题4.4 1.（1）、 3 、4.(2) 、5

4.5 多元复合函数与隐函数的求导公式

教学要求：1、掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求简单复合函数的二阶偏导；

2、会求由一个方程确定的隐函数的一阶、二阶偏导数；

3、了解抽象复合函数偏导数的求法.

教学重难点：