函数图像知识点梳理经典例题及解析高考练习题带答案

函数的图像

【考纲说明】

1、掌握基本函数的图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题。

2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。

【趣味链接】

你一定知道乌鸦喝水的故事吧！如图一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不到瓶中的水．于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随着石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中的水面就下降到乌鸦够不着的高度．乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，呱呱的飞走了．

【知识梳理】

一、函数的图像

1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面． 二、函数图像的变化

1、平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；

（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移

||a 个单位即可得到．

① y=f(x)h 左移→y=f(x+h);② y=f(x) h

右移→y=f(x -h); ③y=f(x) h 上移→y=f(x)+h;④y=f(x) h

下移→y=f(x)-h.

2、对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； （2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； （4）函数1

()y f

x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．

①y=f(x) 轴

x →y= -f(x);②y=f(x) 轴

y →y=f(-x);③y=f(x) a

x =→直线y=f(2a -x);④y=f(x) x

y =→直线y=f -1(x);

⑤y=f(x) 原点

→y= -f(-x).

提示：a.若f (a ＋x )＝f (b －x )，x ∈R 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于x ＝a ＋b

2

成轴对称图形，若f (a ＋x )＝－f (b

－x )，x ∈R ，则y ＝f (x )的图象关于点(

a ＋b

2

，0)成中心对称图形．

b.函数y ＝f (a ＋x )与函数y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝1

2

(b －a )对称.

3、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；

（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留

()y f x =在y 轴右边部分即可得到．

4、伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长

(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；

（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的

1

a

倍得到． ①y=f(x)ω

⨯→x y=f(

ω

x

);② y=f(x)ω

⨯→y y=ωf(x).

【经典例题】

【例1】函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）

A. B. C. D.

【解析】∵函数()()

y f x g x

=⋅的定义域是函数()

y f x

=与()

y g x

=的定义域的交集(,0)(0,)

-∞+∞，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。由于当x为很小的正数时()0

f x>且()0

g x<，故()()0

f x

g x

⋅<。∴选A. 【例2】说明由函数2x

y=的图像经过怎样的图像变换得到函数3

21

x

y--

=+的图像．

【解析】方法一：（1）将函数2x

y=的图像向右平移3个单位，得到函数3

2x

y-

=的图像；

（2）作出函数3

2x

y-

=的图像关于y轴对称的图像，得到函数3

2x

y--

=的图像；

（3）把函数3

2x

y--

=的图像向上平移1个单位，得到函数3

21

x

y--

=+的图像．

方法二：（1）作出函数2x

y=的图像关于y轴的对称图像，得到2x

y-

=的图像；

（2）把函数2x

y-

=的图像向左平移3个单位，得到3

2x

y--

=的图像；

（3）把函数3

2x

y--

=的图像向上平移1个单位，得到函数3

21

x

y--

=+的图像．

【例3】设曲线C的方程是3

y x x

=-，将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(0)

t≠个单位长度后得到曲线

1

C，

（1）写出曲线

1

C的方程；

（2）证明曲线C与

1

C关于点(,)

22

t s

A对称；

（3）如果曲线C与

1

C有且仅有一个公共点，证明：

2

4

t

s t

=-．

【解析】（1）曲线

1

C的方程为3

()()

y x t x t s

=---+；

（2）证明：在曲线C上任意取一点

111

(,)

B x y，设

222

(,)

B x y是

1

B关于点A的对称点，则有

1212,2222

x x t y y s

++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程，得22,x y 的方程：3222()()

s y t x

t x -=--- 即3222()()y x t x t s =---+可知点222(,)B x y 在曲线1C 上． 反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上． 因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．

（3）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，

∴方程组3

3

()()y x x

y x t x t s

⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解， 消去y ，整理得223

33()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根， ∴4

3

912()0t t t t s ∆=---=，即得3

(44)0t t t s --=，

因为0t ≠，所以3

4

t s t =-．

【例4】（1）试作出函数1

y x x

=+

的图像； （2）对每一个实数x ，三个数2

,,1x x x --中最大者记为y ，试判断y 是否是x 的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？ 【解析】（1）∵1

()f x x x

=+

，∴()f x 为奇函数，从而可以作出0x >时()f x 的图像，又∵0x >时，()2f x ≥， ∴1x =时，()f x 的最小值为2，图像最低点为(1,2)， 又∵()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上是增函数，

同时1

()(0)f x x x x x

=+>>即以y x =为渐近线，

于是0x >时，函数的图像应为下图①，()f x 图象为图②：

（2）y 是x 的函数,作出2123(),(),()1g x x g x x g x x ==-=-的图像可知，()f x 的图像是图③中实线部分．定义

域为R ；值域为[1,)+∞；单调增区间为[1,0),[1,)-+∞；单调减区间为(,1),[0,1)-∞-；当1x =±时，函数有最小值1；函数无最大值．

【例5】已知函数f (x )＝|x 2

－4x ＋3|

(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；

(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 【解析】作出图象如图所示．

(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]．

(2)原方程变形为|x 2

－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图． 则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；

当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由 ⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋a y ＝－x 2

＋4x －3⇒x 2

－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0.得a ＝－3

4.

由图象知当a ∈[－1，－3

4]时方程至少有三个不等实根．

【例6】 作图：(1)y ＝a |x －1|，(2)y ＝log |x －1|

a ，(3)y ＝|log a (x －1)|(a >1)． 【解析】

(1)的变换是：y ＝a x

→y ＝a |x |

→y ＝a |x －1|

，而不是：y ＝a x →y ＝a x －1→y ＝a |x －1|

，这需要理解好y ＝f (x )→y ＝f (|x |)的交换．(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别．

【课堂练习】

1、下列每组两个函数的图象中，正确的是（ ）

A. B. C. D.

2、已知函数f(x)=(x-1)/a (a>0,a≠1),在同一坐标系中，y=f-1(x)与y=a|x-1|的图象只可能是()

3、在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=x

a

b

)

(的图象只可能是（）

4、已知函数y=a/x与y=ax2+bx, 则下列图象正确的是（）

5、函数y=|

1|2x

-的图象是（）

6、函数y=(3x-1)/(x+2)的图象（）

A. 关于点(-2,3)对称

B. 关于点(2,-3)对称

C. 关于直线x= -2对称

D. 关于直线y= -3对称

7、若第一个函数y=f(x), 它的反函数是第二个函数，又第三个函数图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数的图象是（）

A. y= -f-1(x)

B. y= -f-1(-x)

C. y= -f(x)

D. y= -f(-x)

8、设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x-1)与y= -f(1-x)的图象关于（）对称

A.直线x=0

B.直线x=1

C.点(0,0)

D.点(1,0)

9、在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确

．．．的是（）

A．y=|log2x| B. y=2|x|C. y=log0.5x2D. y=|x-1/3

|

10、已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1-x)的图象是（）

11、下列命题中：①函数y=f(x)的图象与x=f(y)的图象关于直线y=x 对称；②若f(x)= -f(-x),则f(x)的图象关于原点对称；③若f(x)=f(-x)则f(x)的图象关于y 轴对称；④y=f(x)的图象与y= -f(x)的图象关于y 轴对称，其中真命题是（ ）

A 、②③

B 、②③④

C 、①②③

D 、全都是

12、把函数y=cosx 的图象向右平移1/2个单位，再把图象上点的横坐标缩小到原来的1/2，所得图象的解析式为. 13、画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|; (2)y=(x+2)/(x+3). 14、若函数y=log 2|ax -1|图象的对称轴是x=2,则非零实数a 的值为 . 15、函数y=f(|x -m|)的图象与y=f(|x|)的图象关于直线对称.

16、将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位，再把图象上点的横坐标变为原来的1/3，所得图象的解析式为_______. 17、如下图所示，向高为H 的水瓶,,,A B C D 同时以等速注水，注满为止；

A. B. C. D.

（1）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的a ，则水瓶的形状是； （2）若水量v 与水深h 的函数图像是下图中的b ，则水瓶的形状是； （3）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的c ，则水瓶的形状是； （4）若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的d ，则水瓶的形状是．

a b c d 18、已知f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则b 的取值范围是 . 19、说出作出函数y=log 2(1-x) 的图象的过程.

20、方程|x 2+2x -3|=a(x

-2)有四个实数根，求实数a 的取值范围.

【课后作业】

1、函数y ＝ln

1

|2x

－3|

的图象为(

)

2、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图象重合的函数是( )

A ．y ＝2x

B ．y ＝log 12x

C ．y ＝4x 2

D ．y ＝log 21x

＋1

3、若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( )

A ．f (2)>f (3)

B ．f (2)>f (5)

C ．f (3)>f (5)

D ．f (3)>f (6) 4、（2009安徽）设a

5、已知下图①的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )

A ．y ＝f (|x |)

B ．y ＝|f (x )|

C ．y ＝f (－|x |)

D ．y ＝－f (|x |)

6、函数f (x )＝1

1＋|x |

的图象是( )

7、已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数f (|x |)的图象大致是( )

8、若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－1 B ．|a |≤1C ．|a |<1 D ．a ≥1

9、f (x )定义域为R ，对任意x ∈R ，满足f (x )＝f (4－x )且当x ∈[ 2，＋∞)时，f (x )为减函数，则( ) A ．f (0)

10、若函数y ＝(12

)|1－

x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．

11、若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________． 12、设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上

的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝(1

2

)x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数

g (x )的解析式为________．

【参考答案】

【课堂练习】

1、 D

2、 C D

3、 A

4、 C

5、 C

6、 A

7、D

8、D

9、 C 10、 C 11、 C

12．y=cos(2x-1/2). 设P1(x1,y1)为原图象上的点,通过变换后得到新图象上一点P(x,y)，则x=(x1+1/2)/2, ∴x1=2x-1/2, y1=y, 代入y1=cosx1得到 y=cos(2x-1/2).

13． (1)此函数由函数y=lg|x|向左平移1个单位而得到；

(2)y=1-1/(x+3)由函数y=1/x向左平移3个单位再向上平移1个单位而得到，注意渐近线的变化。

14． 1/2 15. x=m/2 16. y=f(3x-2)。

17. （1）C；（2）A；（3）D；（4）B．18． (-∞,0)

19.先作y=log2x关于y轴对称的图象，再沿x轴向右平移一个单位得到。

20． x2+(2+a)x-2a-3=0, 由Δ=0以及-(2+a)/2<1可得a= -6+25,

∴-6+25

【课下作业】

1、A

2、C

3、D

4、C

5、C

6、C

7、B

8、B

9、C

10、－1≤m<0

11、1≤m< 2

12、g(x)＝2|x|