高中数学必修1基本初等函数常考题型：对数函数及其性质的应用(复习课)

对数函数及其性质的应用(复习课)

【常考题型】

题型一、对数值的大小

【例1】 (1)下列大小关系正确的是( )

A ．30.4<0.43<4log 0.3

B ．30.4<0.44log 0.33<

C ．4log 0.3<30.40.43<

D ．0.434log 0.330.4<<

(2)比较下列各组值的大小． ①53log 4与54log 3

； ②13

log 2与15log 2； ③2log 3与5log 4.

(1)[解析] 300.41<<,0.43

1>，4log 0.30<，故选C. [答案] C

(2)[解] ①法一：对数函数5log y x =在()0,+∞上是增函数， 而3443<，∴53log 4<54log 3

. 法二：∵5

3log 04<，54log 03>， ∴53log 4<54log 3

. ②由于13log 2=

211log 3，15log 2=211log 5.

又因对数函数2log y x =在()0,+∞上是增函数，且1135

>，

∴210log 3>>21log 5，∴211log 3<211log 5

. ∴13

log 2<15log 2. ③取中间值1，

∵2log 3>2log 21==5log 5>5log 4，∴2log 3>5log 4.

【类题通法】

比较对数值大小的方法

比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．

(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．

(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较．

(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．

【对点训练】

比较下列各组中两个值的大小：

(1) ln 0.3，ln 2；

(2) log 3.1a ，log 5.2a (0a >，且1a ≠)；

(3) 3log 0.2，4log 0.2；

(4) 3log π，log 3π.

解：(1)因为函数ln y x =是增函数，且0.32<，

所以ln 0.3

(2)当1a >时，函数log a y x =在()0,+∞上是增函数，又3.1 5.2<，所以log 3.1a

当01a <<时，函数log a y x =在()0,+∞上是减函数，

又3.1 5.2<，所以log 3.1a >log 5.2a .

(3)因为0.20log 3>>0.2log 4，所以0.21log 3<0.21log 4

，即3log 0.2<4log 0.2.

(4)因为函数3log y x =是增函数，且3π>，所以3log π>3log 31=.

同理，1log ππ=>log 3π，所以3log π>log 3π.

题型二、求解对数不等式

【例2】 (1)

已知12a =

，若log a m >log 5a ，则m 的取值范围是________． (2)已知1log 12

a >，则a 的取值范围为________． (3)已知0.7log 2x <()0.7log 1x -，则x 的取值范围为________．

[解析] (1)∵01a <<，

∴()log a f x x =在()0,+∞上是减函数，

∴05m <<.

(2)由1log 12a >得1log 2

a >log a a . ①当1a >时，有12

a <，此时无解． ②当01a <<时，有

12a <， 从而112

a <<. ∴a 的取值范围是1,12??

???. (3)∵函数0.7log y x =在()0,+∞上为减函数，

∴由0.7log 2x <()0.7log 1x -得201021x x x x >??->??>-?

，解得1x >，

即x 的取值范围是()1,+∞．

[答案] (1)05m << (2)1,12??

???

(3)()1,+∞ 【类题通法】

常见对数不等式的解法

常见的对数不等式有三种类型：

(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助log a y x =的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分1a >与01a <<两种情况讨论．

(2)形如log a x b >的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助log a y x =的单调性求解．

(3)形如log a x >log b x 的不等式，可利用图象求解．

【对点训练】

若0a >且1a ≠，且()log 21a a +

解：不等式可化为()log 21a a +

等价于1210213031

a a a a a >??+>??+??>?， 解得113a <<，即a 的取值范围为1,13?? ???

. 题型三、对数函数性质的综合应用

【例3】 (1)下列函数在其定义域内为偶函数的是( )

A ．2y x =

B ．2x y =

C ．2log y x =

D ．2y x = (2)已知()()log x a f x a a =-(1a >)．

①求()f x 的定义域和值域；

②判断并证明()f x 的单调性．

(1)[解析] 指数、对数函数在其定义域内不具备奇偶性，故选D.

[答案] D

(2)[解] ①由1a >，0x a a ->，即x

a a >，得1x <.

故()f x 的定义域为(),1-∞．

由0x a a a <-<，可知()

log x a a a -

②()f x 在(),1-∞上为减函数，证明如下：

任取121x x >>，又1a >，∴1x a >2x a ，∴1x a a -<2x a a -，

∴log a (1x a a -)

a a -)，即()()12f x f x <，故()f x 在(),1-∞上为减函数． 【类题通法】

解决对数函数综合问题的方法

对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．

【对点训练】

已知函数()()log 3a f x ax =-，

(1)当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；

(2)是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)由题设，30ax ->对[]0,2x ∈恒成立，且0a >，1a ≠.

设()3g x ax =-，

则()g x 在[]0,2上为减函数，

∴()()min 2320g x g a ==->， ∴32

a <. ∴a 的取值范围是()30,11,2??

???U .

(2)假设存在这样的实数a ，则由题设知()11f =，

即()log 31a a -=，∴32

a =.

此时()323log 32f x x ?

?=- ???

. 但2x =时，()32log 0f x =无意义．故这样的实数a 不存在．

【练习反馈】

1．设5log 4a =，5log 3b =，4log 5c =，则( )

A ．a c b <<

B ．b c a <<

C ．a b c <<

D ．b a c <<

解析：选D 由于5log 3b a =<=5log 41<<4log 5c =，故b a c <<.

2．函数(

)lg f x ??=的奇偶性是( ) A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既奇又偶函数

D ．非奇非偶函数

解析：选A ()f x 定义域为R ， ()()f x f x -+

=lg ??+

lg ?? lg =22

11x x +-lg10==， ∴()f x 为奇函数，故选A.

3．不等式()12log 21x +>()12

log 3x -的解集为________________．

解析：由题意21030213x x x x +>??->??+<-?，∴12323x x x ?>-??

∴1223x -<<

. 答案：1223x x ?

?-<

4．设1a >，函数()log a f x x =在区间[],2a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =________.

解析：∵1a >，

∴()log a f x x =在[],2a a 上递增，

∴()log 2a a -1log 2a a =

， 即1log 22a =

， ∴1

22a =，4a =.

答案：4

5．已知函数()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，其中(0a >且1a ≠)，设()()()h x f x g x =-．

(1)求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由；

(2)若()32f =，求使()0h x <成立的x 的集合．

解：(1)∵()()log 1a f x x =+的定义域为{}

1x x >-， ()()log 1a g x x =-的定义域为{}1x x <，

∴()()()h x f x g x =-的定义域为{}1x x >-I {}{}111x x x x <=-<<． ∵()()()h x f x g x =-＝()log 1a x =+-()log 1a x -，

∴()h x -=()log 1a x --()log 1a x +=-[()log 1a x +-()log 1a x -]()h x =-， ∴()h x 为奇函数．

(2)∵()3f =()log 13a +=log 42a =，∴2a =.

∴()h x =()2log 1x +-()2log 1x -，

∴()0h x <等价于()2log 1x +<()2log 1x -，

∴111010x x x x +<-??+>??->?

，

解得10x -<<.

故使()0h x <成立的x 的集合为{}

10x x -<<．