江西省抚州一中高三下学期第八次同步测试数学理

抚州一中高三第八次同步考试

数学试卷（理）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、

选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

１．设全集U R =，{}

110A x N x =∈≤≤，{}

2

60B x R x x =∈+-=

则右图中阴影表示的集合为

A ．{}2

B ．{}3

C ．{}3,2-

D ．{}2,3-

２．在2008

43)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，含3

x 项的系数是

A ．4

2008C

B ．4

2009C

C ．3

2008C

D ．3

2009C

３．已知),(b a A 是直线0),(:=y x f l 上的一点，),(q p B 是直线l 外一点，由方程(,)f x y +

(,)(,)0f a b f p q +=表示的直线与直线l 的位置关系是

A ．斜交

B ．垂直

C ．平行

D ．重合

４．如果数列{}n a 满足21=a ，12=a ，且

1

1

11++---=-n n n n n n a a a a a a (2)n ≥，则这个数列的第10项为

A ．

1021 B ．9

21 C ．101 D ．51

５．已知)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则函数[])()(2

2

x f x f y +=的最大值为

A ．6

B ．１３

C ．２２

D ．３３

6．若)(x f 是定义在R 上的连续函数，且21

)

(lim 1

=-→x x f x ，则=)1(f

A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

7．已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左右焦点分别为1F 与2F ，P 是准线上一点，且

ab PF PF PF PF 4,2121=?⊥，则双曲线的离心率是

A ．2

B ．3

C ．2

D ．3

8．已知点,,A B C 不共线，且有332

AB BC ?=

=

- A ．AB CA BC << B ．BC CA AB << C ．AB BC CA <<

D ．CA AB BC <<

9．如图，正三棱锥A BCD -中，点E 在棱AB 上，点F 在棱CD 上，且

AE CF

EB FD

=

，若异面直线EF 和AC 所成的角为

3π

，则异面直线EF 与BD 所成的角 A ．等于6π B ．等于4π

C ．等于2

π

D ．无法确定

１0．设动点()y x P ,满足条件(1)(4)0

3

x y x y x -++-≥??≥?OP 的最小值是

A .

5 B . 10 C .

2

17

D . １0 １１．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与此平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，

由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是

A ．60

B ．48

C ．36

D ．24

１２．在ABC ?中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ??==?=，P 为线段AB 上的一点，

且11

,||||

CA CB CP x y x y CA CB =?

+?+则的最小值为

A ．

7

6 B ．

712

C ．

73123

+ D ．

7363

+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１6分.把答案填在题中横线上.

１３．已知复数,z a bi z a bi =+=-，若i z +在映射f 下的象是z i ?，则i 21+-在映射f 下的原象

是 ；

１４．关于x 的不等式2

2x x a ->-至少有一个负数解，则a 的取值范围是 ；

１５．设正四面体ABCD 的棱长为2，点O 为正四面体内切球的球心，给出下列结论：

A B

D C

F E

１内切球的表面积为2

3

π； ２三棱锥O BCD -的体积为6

３直线AD 与平面ABC 所成角为；４平面ABC 与平面BCD 所成角为arctan .

其中正确的是 .（将你认为正确的结论的序号都填上）

１6．已知AB 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的长轴，若把该长轴n 等分，过每个等分点作AB 的垂线，

依次交椭圆的上半部分于点121,,,-n P P P ，设左焦点为1F ，则

()1111111

lim

n n F A F P F P F B n

-→∞++++= ．

三、解答题：本大题共6小题，共7４分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

１7．（本小题满分１２分）

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列. （１）求角B 的取值范围；

（２）若关于B 的表达式0)2

4sin()24

sin(42cos >+-+

-m B

B B ππ

恒成立，求实数m 的取值范围.

１8．（本小题满分１２分）

一种电脑屏幕保护画面，只有符号“O ”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“O ”和“×”之一，其中出现“O ”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“O ”，则1k a =；现出“×”，则1k a =-，记n n a a a S +++= 21.

（１）当1

2p q ==时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （２）当12

,33

p q ==时，求82S =且0(1,2,3,4)i S i ≥=的概率.

１9．（本小题满分１２分）

如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，0

90C ∠=，侧棱与底面所成的角 为α0

(090)α<<，点1B 在底面上的射影D 落在BC 上.

（１）求证：AC ⊥平面11BB C C ；

（２）当α为何值时，11AB BC ⊥，且使点D 恰为BC 的中点？ （３）若1

arccos 3

α=，且当1AC BC AA ==时，求二面角1C AB C --的大小.

２0．（本小题满分１２分）

已知函数???

??≤+>-=).0(3

1),0(1)(2

3x mx x x e x f x （１）当0x >时，设函数)(x f 的反函数为),(1

x f

-对120x x >>，

试比较12()f x x -与1

12()f

x x --，并说明理由.

（２）求函数)(x f 的极值；

２１．（本小题满分１２分）

如图，已知直线l 与抛物线y x 42

=相切于点(2,1)P ，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2,0).

（１）若动点M 满足20AB BM AM ?+=，求点M 的轨迹C ；

（２）若过点B 的直线l '（斜率不等于0）与（１）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

B 、F 之间）

，试求OBE ?与OBF ?

２２．（本小题满分１４分）

已知*

1111,)1(,,1N n a b n b a b a n n n n n ∈-+=+===++.

（１）求3a 与5a 的值； （２）求通项公式n a ； （３）求证：

4

13

11112321<+++n a a a a .

x

抚州一中高三第八次同步考试

数学参考答案（理）

一、选择题

二、填空题１３：２； １４：（2,4-）； １５：１３； １6：a ．

三、解答题

１7．解：（１）,2

ac b = ,2

1

222cos 222=-≥-+=

∴ac ac ac ac b b a B 当且仅当a=b=c 时，21cos =B ??

?

??∈∴3,0πB …………………………５分 （２）m B B B +-+

-)24sin()24sin(

42cos ππ

m B

B B +++-=)24cos()24sin(42cos ππ m B B ++-=)2sin(22cos π1cos 2cos 22-+-=m B B ,2

3

)21(cos 22-+-=m B …8分

1cos 21<≤B ]1,2

3

[23)21(cos 22--∈-+-∴m m m B

0)2

4sin()24sin(

42cos >+-+

-m B

B B ππ

不等式 恒成立。 ,23,023>>-∴m m 得故m 的取值范围是),2

3

(+∞……………………１２分

１8．解：（１）||3S =ξ的取值为１，３，又,2

1

==q p

,432)21()21()1(213=??==∴C p ξ ,4

1)21()21()3(33=+==ξp ……３分 ξ∴的分布列为

.2

4341=?+?=∴ξE ……………………6分

（２）当28=S 时，即前八秒出现“O ”５次和“×”３次，又已知)4,3,2,1(0=≥i S i 若第一、三秒出现“O ”，则其余六秒可任意出现“×”３次，

若第一、二秒出现“O ”，第三秒出现“×”，则后五秒可任意出现“×”３次，

故此时的概率为353

53

6)32()31()(??+=C C P )218780

(38038307

8或=?=

………１２分 １9．解：（１）略 （２）060α= （３）0

45

２0．解：（１）当x>0时，),0(1)(+∞-=在x

e x

f 上是增函数，且0)(>x f ；

当)2(2)(,02

m x x mx x x f x +=+='≤时

若m=0，]0,()(,0)(2

-∞≥='在x f x x f 上单调递增，

且)(,0)0(.03

1)(3

x f f x x f 所以又=≤=

在R 上单调递增，无极值…………２分 若m<0，]0,()(,0)(-∞>'在则x f x f 上单调递增， 从而)(x f 在R 上单调递增，无极值……………………３分 若m>0，则]2,()(m x f --∞在上单调递增， 在[—２m,0]上单调递减，此时03

4)2()(3

>=

-=m m f x f 极大 又),0()(+∞在x f 上递增，则.0)0()(==f x f 极小………………５分 综上所述，当0≤m 时，)(x f 无极值；

当m>0时.0)(,3

4)(3

==

极小极大x f m x f ，……………………6分 （２）先比较)()(211

21x x f x x f ---与的大小。

记)0(1)1ln()()()(1

>-+-=-=-x x e x f

x f x g x 则),0(1

1

)(∞+-

='在x e x g x 上单调递增。 ∴)0()(g x g '>'=0恒成立。 ∴),0()(∞在x g 上单调递增 ∴)(x g >)0(g =0 ∵,021>-x x ∴0)(21>-x x g 故)()(211

21x x f x x f ->-- 0

再比较)()()(21

11

211

x f

x f

x x f

-----与的大小。

)]1ln()1[ln()1ln(2121+-+-+-x x x x 1

1

ln

1)1()1ln(112

2211212+++-=++-+=x x x x x x x x x ]11)(ln[

1212++-=x x x x ∴.111

)

(1212>++-x x x x

∵021>>x x ∴0]11

)

(ln[

1212>++-x x x x

∴).1ln()1ln()1ln(2121+-+>+-x x x x 即)()()(21

11

211

x f

x f

x x f ---->-

综上所述，有)()()()(21

11

211

21x f x f

x x f x x f ---->->-…………１２分

２１．解：（I ）由,41422

x y y x =

=得

.21

x y ='∴ 故l 的方程为∴-=,1x y 点A 的坐标为（１，0） 设),1(),,2(),0,1(),,(y x AM y x BM AB y x M -=-==则

由0)1(20)2(022=+-?+?+-=+

?y x y x 得

整理12

22

=+y x ∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心，焦点在x 轴上， 长轴长为22，短轴长为２的椭圆。

（II ）如图，由题意知l '的斜率存在且不为零，

设l '方程为)0)(2(≠-=k x k y １

将１代入12

22

=+y x ，整理，得

.2

1

00,0)28(8)12(2222<<>?=-+?-+k k x k x k 得由

设),(11y x E 、),(22y x F ，

则,122812822

212221???

????+-=+=+k k x x k k x x ２

令,,BF

BE S S OBF OBE

==

??λλ则 由此可得.10,2

2

,21<<--=?=λλλ且x x BF BE 由２知,214

)2()2(2

21k x x +-=

-+-

,212

4)(2)2()2(2

212121k

x x x x x x +=

++-=-?-

81

2)

1(22

+=+∴k λλ，

即.21)

1(42

2

-+=

λλk ,2

102<

,21

21)

1(402

<-+<

∴λλ 解得.223223+<<-λ 又,1223,10<<-∴<<λλ

OBF OBE ??∴与面积之比的取值范围是)1,223(-

２２．解：代入时当，a ，b n a b n n n

n

n n 111)1(2,)1(--+-+=≥∴-+= n b a n n +=+1,得

n a a n n n +-+=--+111)1(

（１）541,2213513=+-==+-=a a a a （２）由（Ⅰ）知,113+=a a

,335+=a a

……

)32(3212-+=--n a a n n

222

)

321)(1(2112+-=-+-+

=∴-n n n n a a n

同理

426422222(1)(42)

4 6 2 2

n n n n n a a a a a a n a a --+=+=+=+∴=+

又n n a b a n +=∴=+=221221 故n n a n n a n n +=+-=-2

2212,22

222

22522 (21)4 (2)42

n n n k k n k a n n k k n k ?-+-+==-??=??+=+=?? （３）

2224

2111111111111

n n a n n n n a a a n ==-

++∴+++=-<+

n n n n a n n 222,32212->+-=≥-时当

)121(2111

2n n a n --<

∴

- )3111(2115-<∴a )4121(2117-

)111(21-1

1

2n

n a n --<- 43)111211(21111112975<---+<++++∴

-n n a a a a n 1234

21

224

213579

21

11111111111111

1()()()

n n n n a a a a a a a a a a a a a a a --∴

++++++

=+++

+++++++1313

1(1)244

<+++=