抛物线经典性质总结

抛物线焦点弦性质总结30条

基础回顾

1.以AB为直径的圆与准线L相切;

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

11.

12.

2

“ o P

x1gx2—;

2

y1gy2p ；

AC'B 90°；

A'FB' 90°;

AB % x2 p 2(x3#)

丄_L 1

AF||BF| P;

A、O B'三点共线；

B、O A'三点共线；

P2

2sin '

(P)3(定值)；

2

S VAOB

2

Sv AOB

|AB

AF

1 cos

BF

2p

sin2

1 cos

P

；

13. BC 垂直平分BF ； 14. AC '垂直平分A 'F ; 15. C 'F AB ； 16.

AB 2P ;

1

17. CC' -AB

2

“ P

18. K AB =-；

y 3

19. tan =-^;

X 2-号

2

20.

A'B' 4AF| |BF

21. C'F ^A'B'. 2

22.切线方程 y 0y m x 0 x

性质深究

）焦点弦与切线

1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有 何特殊之

处？

结论1：交点在准线上

先猜后证：当弦AB x 轴时，则点P 的坐标为 卫,0在准线上.

2

证明：从略

结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3弦AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点

AB 的弦必过焦点.

结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径.

3、AB 是抛物线y 2 2px （ p > 0）焦点弦，Q 是AB 的中点，I 是抛物线的准线，AA l , BB 1 l , 过A , B 的切线相交于P, PQ 与抛物线交于点M 则有

结论 6PALPB. 结论7PF 丄AB. 结论8 M 平分 PQ

结论9 PA 平分/ AAB PB 平分/ BBA 结论 10 F A |FB PF 2 结论 11S PAB min p '

1(AA'

BB')；

)非焦点弦与切线

思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时, 也有与上述结论类似结果：

结论12①x p警,y p

2p y1 y2

2

结论13PA平分/ AAB同理PB平分/ BBA

结论14PFA PFB

结论15点M平分PQ

结论16F A F B PF2

相关考题

1、已知抛物线x2 4y的焦点为F, A B是抛物线上的两动点，且AF FB ( > 0),过A, B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M

(1)证明：F M A B的值；

(2)设ABM的面积为S,写出S f 的表达式，并求S的最小值.

2、已知抛物线C的方程为x2 4y，焦点为F,准线为I，直线m交抛物线于两点A, B；

(1)过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D,求证：AF DF ;

(2)若直线m过焦点F,分别过点A, B的两条切线相交于点M求证：AML BM且点M在直线I 上.

3、对每个正整数n, A n X n,y n是抛物线x? 4y上的点，过焦点F的直线FA交抛物线于另一点

B n S n,t n , ( 1 )试证：X. S. 4 ( n> 1 )

(2)取X n 2n，并C为抛物线上分别以A与B为切点的两条切线的交点，求证：

FC1 FC2 FC n 2n2 n 11 (n> 1)

抛物线的一个优美性质

几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当重要的作用。因此，在研究圆锥曲线的过程中，有意识地得到一些有关圆锥曲线的几何性质并且加以归纳，并在教学中与学生一起进行一些可行的研究，一方面，作为高考命题也会往这个方向上尝试，另一方面，作为新课程的一个理念，让学生进行一些学有余力的研究，提高学生学习数学的兴趣，提高学生自己研究问题的能力也很有帮助。本人从一个在教学中学生遇到的习题结合该知识点有关的一些性质，并结合高考的热点题对

这一性质作了一些研究。

题：抛物线y2=2px （p>0）的准线与x轴交于Q点，过点Q作斜率为k的直线L。则“直线L与抛物线有且只有一个交点”是“ k=± 1”的__________ 件。

本题设计意图是考查学生对于直线与抛物线有且只有一个交点的问题的了解，要求学生掌握直线与抛物线相切时是只有一个交点，还有当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，因此，经过简单的验证可知道上题的答案是必要不充分条件。

结合抛物线的下面的性质及上题的图形，我们发现了一些共同点。

性质1:已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与

抛物线的准线相

切。

图1 图2

■I ■/

证明：由图 2 可知，BF=BB, AF=AA，2PR=AA+BB。所以2PR=AB

其中图1是图2的一个特例，即当焦点弦是通径时，图2即变成了图1。这就引导

我们思考在图2中的两条直线PA、P1B是否也是抛物线的两条切线，这样我们得出了抛物线的一个性质：

性质2:已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦，则以A B为切点的两条切线的交点P落在其准线上。

证明：设A（X1，y1），B（X2，y2），P（x，y）