2008年全国初中数学联赛

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式22

11

a b +的值为 （ ） A ．5

B ．7

C ．9

D ．11.

【答案】B

【解析】 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程

2310

x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--?+====． 故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ） A ．

185

B ．4

C ．215

D ．245

【答案】D

【解析】 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆，

于是AEF ABC △∽△，故

35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4

sin 5

BAC ∠=． 在Rt ABE △中，424

sin 655

BE AB BAC =∠=?=．故选D

3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）

A ．15

B ．

310

C ．

25

D ．

12

. 【答案】C

【解析】 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，

51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个．

所以所组成的数是3的倍数的概率是

82

205

=．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=，132ACB ∠=，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ） A ．BM CN > B ．BM CN =

E

F

D

C

B

A

C ．BM CN <

D ．BM 和CN 的大小关系不确定

【答案】B

【解析】

∵12ABC ∠=，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1

(18012)842

MBC ∠=-=． 又180********BCM ACB ∠=-∠=-=，∴180844848BMC ∠=--=， ∴BM BC =．

又11

(180)(180132)2422

ACN ACB ∠=-∠=-=，

∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=-∠-∠=--∠+∠168(13224)=-+

12ABC ==∠，

∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==．故选B

5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的

价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）

A ．398T ?? ???.

B ．498?? ???.

C ．5

98??

???

. D ．98.

【答案】B.

【解析】 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况．

设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为

()()98110%120%1010k

n k

k

n k

a a --??

???-?-=?? ?

???

??

，

其中k 为自然数，且0k n ≤≤．

要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：981010i

n i

a -??

???? ?

?????

，11

88(1010i n i a +--?????? ? ?

????

，

2

2

991010i n i a +--?????? ? ?????，3

3

981010i n i a +--?????? ? ?????

，4

4

981010i n i a +--?????? ?

???

??

，

其中i 为不超过n 的自然数.

所以r 的最小值为4

4

4

98910108981010i n i i n i

a a +---?????? ? ???

????

= ???

?????? ? ?

????

．故选B ．

6．已知实数x ，y 满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为（ ）

A ．2008-

B ．2008

C ．1-

D ．

1.

【答案】D ．

【解析】

∵(

2008x y

=

，

∴x

y

=

y x

=

由以上两式可得x y =．所以(2

2008x =，解得22008x =，所以

22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=．

故选D ．

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．

设a ，则

5432322a a a a a a a +---+=- ． 【答案】 2- 【解析】

∵2

21a a ==-??

，∴2

1a a +=，

∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a

+--+++---+=-?- ()()3333

22

212111(11)211a a a a a a a a a a a

--+--===-=-++=-+=-?----． 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD

所在直线上的两点，且AM 135MAN ∠=，则四边形AMCN 的面积为 ．

【答案】 5

2

【解析】 设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，

则AO BD ⊥

，AO OB =

MO

∴MB MO OB =-=

又135ABM NDA ∠=∠=，

13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=--∠45MAB AMB =-∠=∠， 所以ADN MBA △∽△，

故AD DN MB BA =

，从而1AD DN BA MB =?=

． 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积

115222222MAN S S MN AO ==???=??+

=?

△．

3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q += ．

【答案】 1

2

【解析】 根据题意，m ，n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =．

∵1m n +≤，∴1m n m n ++≤≤，1m n m n -+≤≤．

∵方程2

0x ax b ++=的判别式2

40a b ?=-≥，∴22()1

444a m n b +=≤≤．

22244()()()11b mn m n m n m n ==+--+--≥≥，故14b -≥，等号当且仅当1

2

m n =-=时取得；

O M

N

D

C

B

A

22244()()1()1b mn m n m n m n ==+----≤≤，故14b ≤，等号当且仅当1

2

m n ==时取得．

所以14

p =，14q =-，于是1

2p q +=．

4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 ． 【答案】

1 【解析】 21到2

3，结果都只各占1个数位，共占133?=个数位；

24到2

9，结果都只各占2个数位，共占2612?=个数位； 210到231，结果都只各占3个数位，共占32266?=个数位； 232到299，结果都只各占4个数位，共占468272?=个数位； 2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085?=个数位； 此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位．

2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570?=个数位．

所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1．

第二试 （A ）

一．（本题满分20分）

已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式

(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ ①

恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值．

【解析】 整理不等式①并将221a b +=代入，得

2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ ②

在不等式②中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥．

易知10a b ++>，

21012(1)

a a

b +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．

由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，

所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ?=+-++?≤，即1

4

ab ≥．

由方程组

221,1

4

a b ab ?+=?

?=?? ③ 消去b ，得42161610a a -+=

，所以2

a 或2a =． 又因为0a ≥，所以a 或a ，

于是方程组③

的解为a b ?=????=??

或a b ????

?=?? 所以ab 的最小值为1

4

，此时,a b 的值有两组，分别为

a

，b

和a =

，b =．

二．（本题满分25分）

如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，

且AB BC =．

⑴ 证明：点O 在圆D 的圆周上．

⑵ 设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值． 【解析】

⑴ 连OA ，OB ，OC ，AC ，因为O 为圆心，AB BC =， 所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠． 因为OD AB ⊥，DB BC ⊥，所以

9090DOB OBA OBC DBO ∠=-∠=-∠=∠， 所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上．

⑵ 设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知

BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，

22222222()2222()aS

l y a x y a ax x a ax a a x y

=++=+++=+=+=．

因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，

所以BDO ABC △∽△，所以BD BO

AB AC

=，即2r a l y =，故2al r y =．

所以3

2222

2224422a l a aS S a S r y y y y ??==?=? ???≥，

即r 其中等号当a y =时成立，这时AC

是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r

三．（本题满分25分）

设a 为质数，b 为正整数，且

()()2

925094511a b a b +=+

①

求a ，b 的值.

【解析】 ①式即2

634511509509a b a b

++??= ?

??

，设63509a b m +=，4511509a b n +=，则 509650943511

m a n a

b --=

= ② 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+=

③ 由①式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式251172a ?=-为完全平方数． 不妨设2251172a t ?=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．

由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：

C E O

A B

D